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三、解答题
1. 如图3,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2. 求∠DAB的度数.
1. 如图3,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2. 求∠DAB的度数.
答案
解：连接AC。
∵ ∠B=90°，AB=BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，
且$∠ BAC = 45°$。
又∵ $DA=2$，$CD=6$，
∴ $AD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，
$CD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $AD^2 + AC^2 = CD^2$，
∴ $△ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
答：$∠ DAB$的度数为$135°$。
∵ ∠B=90°，AB=BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，
且$∠ BAC = 45°$。
又∵ $DA=2$，$CD=6$，
∴ $AD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，
$CD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $AD^2 + AC^2 = CD^2$，
∴ $△ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
答：$∠ DAB$的度数为$135°$。
解析
【分析】
要求∠DAB的度数，可通过作辅助线将其拆分为两个易求的角之和。观察到△ABC中∠B=90°且AB=BC，首先连接AC：第一步先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出AC的长度以及∠BAC的度数；第二步将AC的长度代入△ADC的三边关系中，用勾股定理的逆定理判断△DAC是否为直角三角形，得到∠DAC的度数；最后将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
【解析】
连接AC。
∵ ∠B=90°，AB=BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，
且等腰Rt△ABC中$∠ BAC = 45°$。
又
∵ $DA=2$，$CD=6$，
∴ $AD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，
$CD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $AD^2 + AC^2 = CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理与其逆定理的综合应用题，解题关键是通过连接辅助线AC，将四边形问题转化为三角形问题求解，考查了学生对勾股定理相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠DAB的度数，可通过作辅助线将其拆分为两个易求的角之和。观察到△ABC中∠B=90°且AB=BC，首先连接AC：第一步先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出AC的长度以及∠BAC的度数；第二步将AC的长度代入△ADC的三边关系中，用勾股定理的逆定理判断△DAC是否为直角三角形，得到∠DAC的度数；最后将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
【解析】
连接AC。
∵ ∠B=90°，AB=BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，
且等腰Rt△ABC中$∠ BAC = 45°$。
又
∵ $DA=2$，$CD=6$，
∴ $AD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，
$CD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $AD^2 + AC^2 = CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ DAC$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理与其逆定理的综合应用题，解题关键是通过连接辅助线AC，将四边形问题转化为三角形问题求解，考查了学生对勾股定理相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图4,小方格都是边长为1的正方形.
(1)四边形ABCD的边BC的长为;CD的长为.
(2)∠BCD是直角吗,请说明理由.
(1)四边形ABCD的边BC的长为;CD的长为.
(2)∠BCD是直角吗,请说明理由.
答案
解：
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角，理由：
连接BD，$BD^2=3^2+4^2=25$，$BC^2+CD^2=5+20=25$，由勾股逆定理得∠BCD=90°。
最终输出：
解：
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，
由勾股定理可得 $BD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
又 $BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$，$CD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
$\therefore BC^2 + CD^2 = 5 + 20 = 25 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠BCD为直角。
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角，理由：
连接BD，$BD^2=3^2+4^2=25$，$BC^2+CD^2=5+20=25$，由勾股逆定理得∠BCD=90°。
最终输出：
解：
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，
由勾股定理可得 $BD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
又 $BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$，$CD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
$\therefore BC^2 + CD^2 = 5 + 20 = 25 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠BCD为直角。
解析
【分析】
(1) 求解方格中斜线段的长度，核心思路是运用勾股定理：把待求线段看作直角三角形的斜边，数出该直角三角形两条直角边的格数（即长度），代入勾股定理计算即可。其中BC对应的直角边长度分别为1和2，CD对应的直角边长度分别为2和4。
(2) 判断角是否为直角，可使用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。因此我们连接BD，计算△BCD三边的平方，验证BC²+CD²是否等于BD²即可得出结论。
【解析】
(1) 已知小方格的边长为1，
对于BC：以BC为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，由勾股定理可得$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于CD：以CD为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为2、4，由勾股定理可得$CD=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(2) ∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理可得，以BD为斜边的直角三角形的两条直角边长为3、4，因此$BD^2=3^2+4^2=25$。
又$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，$CD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore BC^2+CD^2=5+20=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且BD为最长边，因此∠BCD为直角。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格背景下的基础题型，重点考查勾股定理求线段长度、勾股定理逆定理判定直角的应用，解题关键是准确找到线段对应的直角边长度，熟练掌握两个定理的适用条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求解方格中斜线段的长度，核心思路是运用勾股定理：把待求线段看作直角三角形的斜边，数出该直角三角形两条直角边的格数（即长度），代入勾股定理计算即可。其中BC对应的直角边长度分别为1和2，CD对应的直角边长度分别为2和4。
(2) 判断角是否为直角，可使用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。因此我们连接BD，计算△BCD三边的平方，验证BC²+CD²是否等于BD²即可得出结论。
【解析】
(1) 已知小方格的边长为1，
对于BC：以BC为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，由勾股定理可得$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于CD：以CD为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为2、4，由勾股定理可得$CD=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(2) ∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理可得，以BD为斜边的直角三角形的两条直角边长为3、4，因此$BD^2=3^2+4^2=25$。
又$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，$CD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore BC^2+CD^2=5+20=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且BD为最长边，因此∠BCD为直角。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；$2\sqrt{5}$
(2) ∠BCD是直角
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格背景下的基础题型，重点考查勾股定理求线段长度、勾股定理逆定理判定直角的应用，解题关键是准确找到线段对应的直角边长度，熟练掌握两个定理的适用条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 定义:如图5,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.
答案
解：(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
$\because AM^2 + BN^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，
$MN^2 = 2.5^2 = 6.25$，
$\therefore AM^2 + BN^2 = MN^2$，
$\therefore$ 以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，
$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，
$\because AB=24$，$AM=6$，
$\therefore MN = AB - AM - BN = 24 - 6 - x = 18 - x$。
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + BN^2 = MN^2$，
即$6^2 + x^2 = (18 - x)^2$，
解得$x=8$；
② 当BN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + MN^2 = BN^2$，
即$6^2 + (18 - x)^2 = x^2$，
解得$x=10$。
综上，BN的长为8或10。
$\because AM^2 + BN^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，
$MN^2 = 2.5^2 = 6.25$，
$\therefore AM^2 + BN^2 = MN^2$，
$\therefore$ 以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，
$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，
$\because AB=24$，$AM=6$，
$\therefore MN = AB - AM - BN = 24 - 6 - x = 18 - x$。
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + BN^2 = MN^2$，
即$6^2 + x^2 = (18 - x)^2$，
解得$x=8$；
② 当BN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + MN^2 = BN^2$，
即$6^2 + (18 - x)^2 = x^2$，
解得$x=10$。
综上，BN的长为8或10。
解析
【分析】
(1)判断是否为勾股分割点的核心是验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形，只需计算三条线段的平方，查看是否满足勾股定理（两小边平方和等于最大边平方）即可。
(2)已知AM为直角边，斜边存在两种可能：MN为斜边或BN为斜边，需分类讨论。首先根据线段AB的总长和AM的长度，用含BN的代数式表示出MN的长度，再针对两种斜边情况分别根据勾股定理列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
$\because AM^2 + BN^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，
$MN^2 = 2.5^2 = 6.25$，
$\therefore AM^2 + BN^2 = MN^2$，
$\therefore$ 以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，
$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，
$\because AB=24$，$AM=6$，
$\therefore MN = AB - AM - BN = 24 - 6 - x = 18 - x$。
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + BN^2 = MN^2$，
即$6^2 + x^2 = (18 - x)^2$，
解得$x=8$；
② 当BN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + MN^2 = BN^2$，
即$6^2 + (18 - x)^2 = x^2$，
解得$x=10$。
综上，BN的长为8或10。
【答案】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点；(2) $\boldsymbol{8}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题为新定义类考题，解题关键是读懂新定义的内涵，将问题转化为勾股定理相关的常规问题求解；第二问要注意斜边的不确定性，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)判断是否为勾股分割点的核心是验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形，只需计算三条线段的平方，查看是否满足勾股定理（两小边平方和等于最大边平方）即可。
(2)已知AM为直角边，斜边存在两种可能：MN为斜边或BN为斜边，需分类讨论。首先根据线段AB的总长和AM的长度，用含BN的代数式表示出MN的长度，再针对两种斜边情况分别根据勾股定理列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
$\because AM^2 + BN^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，
$MN^2 = 2.5^2 = 6.25$，
$\therefore AM^2 + BN^2 = MN^2$，
$\therefore$ 以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，
$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，
$\because AB=24$，$AM=6$，
$\therefore MN = AB - AM - BN = 24 - 6 - x = 18 - x$。
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + BN^2 = MN^2$，
即$6^2 + x^2 = (18 - x)^2$，
解得$x=8$；
② 当BN为斜边时，由勾股定理得：
$AM^2 + MN^2 = BN^2$，
即$6^2 + (18 - x)^2 = x^2$，
解得$x=10$。
综上，BN的长为8或10。
【答案】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点；(2) $\boldsymbol{8}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题为新定义类考题，解题关键是读懂新定义的内涵，将问题转化为勾股定理相关的常规问题求解；第二问要注意斜边的不确定性，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
