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5.如图29－2－32，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是弦AB所对的优弧上的一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β.
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.
图29－2－32
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.
图29－2－32
答案
5.解:(1)连接 $OB,\because OA=OB$,
$\therefore∠ OBA=∠ OAB=35°$,
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=110°$.
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=55°$.
(2)$α$ 与 $β$ 的关系为 $β=90°-α$. 证明如下：
$\because OA=OB,\therefore∠ OBA=∠ OAB=α$,
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=$$180°-2α$.
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=90°-α$.
$\therefore∠ OBA=∠ OAB=35°$,
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=110°$.
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=55°$.
(2)$α$ 与 $β$ 的关系为 $β=90°-α$. 证明如下：
$\because OA=OB,\therefore∠ OBA=∠ OAB=α$,
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=$$180°-2α$.
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=90°-α$.
解析
【分析】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题思路如下：1. 首先OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形，可利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠OBA=∠OAB；2. 结合三角形内角和为180°，即可求出圆心角∠AOB的度数；3. 最后根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。第二问将第一问的特殊角度替换为一般的α，按照同样的逻辑推导即可得到α和β的关系。
【解析】
(1) 连接$OB$，
$\because OA=OB$，
$\therefore∠ OBA=∠ OAB=35°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=180°-35°-35°=110°$，
$\because∠C$是弧$AB$所对的圆周角，$∠ AOB$是弧$AB$所对的圆心角，根据圆周角定理，
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
(2) $α$与$β$的关系为$β=90°-α$，证明如下：
$\because OA=OB$，$\therefore∠ OBA=∠ OAB=α$，
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=180°-2α$，
根据圆周角定理，$β=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×(180°-2α)=90°-α$。
【答案】
(1) $β=55°$；
(2) $β=90°-α$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合圆周角定理建立圆心角和圆周角的数量关系即可求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题思路如下：1. 首先OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形，可利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠OBA=∠OAB；2. 结合三角形内角和为180°，即可求出圆心角∠AOB的度数；3. 最后根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。第二问将第一问的特殊角度替换为一般的α，按照同样的逻辑推导即可得到α和β的关系。
【解析】
(1) 连接$OB$，
$\because OA=OB$，
$\therefore∠ OBA=∠ OAB=35°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=180°-35°-35°=110°$，
$\because∠C$是弧$AB$所对的圆周角，$∠ AOB$是弧$AB$所对的圆心角，根据圆周角定理，
$\thereforeβ=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
(2) $α$与$β$的关系为$β=90°-α$，证明如下：
$\because OA=OB$，$\therefore∠ OBA=∠ OAB=α$，
$\therefore∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=180°-2α$，
根据圆周角定理，$β=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×(180°-2α)=90°-α$。
【答案】
(1) $β=55°$；
(2) $β=90°-α$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合圆周角定理建立圆心角和圆周角的数量关系即可求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
1. 如图29－2－33，已知AB为半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点(C，D均不与A，B重合)，E是AB上除O，A，B外的一点，AC与DE相交于点F，现有三个关系：①$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，②$DE⊥ AB$，③$AF=DF$。
(1)写出以①②③中的任意两个为条件，推出第三个(结论)的一个正确命题，并加以证明；
(2)以①②③中的任意两个为条件，推出第三个(结论)，可以组成多少个正确的命题？(不必说明理由)
图29－2－33
(1)写出以①②③中的任意两个为条件，推出第三个(结论)的一个正确命题，并加以证明；
(2)以①②③中的任意两个为条件，推出第三个(结论)，可以组成多少个正确的命题？(不必说明理由)
图29－2－33
答案
1.解:(1)命题:如果 $AF=DF,DE⊥ AB$,
那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
证明:如答图 29-2-6,连接 $BD,AD$.
答图 29-2-6
因为 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径,
所以$∠ ADE+∠ BDE=90°$.
又因为 $DE⊥ AB$,
所以$∠ B+∠ BDE=90°$,
所以$∠ B=∠ ADE$.
因为 $AF=DF$,
所以$∠ CAD=∠ ADE$.
所以$∠ B=∠ CAD$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2)可以得到三个正确的命题：
①如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},DE⊥ AB$,
那么 $AF=DF$;
②如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},AF=DF$,
那么 $DE⊥ AB$;
③如果 $DE⊥ AB,AF=DF$,
那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
解析
【分析】
本题考查圆的相关性质与三角形性质的综合应用，解题思路如下：若选择两个条件推导第三个结论，首先考虑连接辅助线AD、BD，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合垂直条件推导角的等量关系，借助等腰三角形的等边对等角性质得到相等的圆周角，最后根据相等的圆周角所对的弧相等完成证明；第二问可逐一验证三个条件两两组合的情况，判断能否推出第三个结论即可。
【解析】
(1) 选取命题：如果$AF=DF$，$DE⊥AB$，那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，证明如下：
如图，连接$BD$，$AD$。
因为$AB$为半圆$O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ADB=90°$，即$∠ADE+∠BDE=90°$。
又因为$DE⊥AB$，所以$∠DEB=90°$，在$Rt△BDE$中，$∠B+∠BDE=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠B=∠ADE$。
因为$AF=DF$，所以$△AFD$是等腰三角形，$∠CAD=∠ADE$。
等量代换得$∠B=∠CAD$，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
(2) 对①②③的两两组合逐一验证，可得到3个正确的命题。
【答案】
(1) 命题：如果 $AF=DF,DE⊥ AB$,那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，证明如下：
如答图 29-2-6,连接 $BD,AD$.
因为 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径,所以$∠ ADE+∠ BDE=90°$.
又因为 $DE⊥ AB$,所以$∠ B+∠ BDE=90°$,所以$∠ B=∠ ADE$.
因为 $AF=DF$,所以$∠ CAD=∠ ADE$.
所以$∠ B=∠ CAD$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2) 可以组成3个正确的命题，分别为：
①如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},DE⊥ AB$,那么 $AF=DF$;
②如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},AF=DF$,那么 $DE⊥ AB$;
③如果 $DE⊥ AB,AF=DF$,那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的弧、圆周角性质和三角形的角的关系结合考查，解题的关键是正确添加辅助线构建角的等量关系，能有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关性质与三角形性质的综合应用，解题思路如下：若选择两个条件推导第三个结论，首先考虑连接辅助线AD、BD，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合垂直条件推导角的等量关系，借助等腰三角形的等边对等角性质得到相等的圆周角，最后根据相等的圆周角所对的弧相等完成证明；第二问可逐一验证三个条件两两组合的情况，判断能否推出第三个结论即可。
【解析】
(1) 选取命题：如果$AF=DF$，$DE⊥AB$，那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，证明如下：
如图，连接$BD$，$AD$。
因为$AB$为半圆$O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ADB=90°$，即$∠ADE+∠BDE=90°$。
又因为$DE⊥AB$，所以$∠DEB=90°$，在$Rt△BDE$中，$∠B+∠BDE=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠B=∠ADE$。
因为$AF=DF$，所以$△AFD$是等腰三角形，$∠CAD=∠ADE$。
等量代换得$∠B=∠CAD$，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
(2) 对①②③的两两组合逐一验证，可得到3个正确的命题。
【答案】
(1) 命题：如果 $AF=DF,DE⊥ AB$,那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，证明如下：
如答图 29-2-6,连接 $BD,AD$.
因为 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径,所以$∠ ADE+∠ BDE=90°$.
又因为 $DE⊥ AB$,所以$∠ B+∠ BDE=90°$,所以$∠ B=∠ ADE$.
因为 $AF=DF$,所以$∠ CAD=∠ ADE$.
所以$∠ B=∠ CAD$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2) 可以组成3个正确的命题，分别为：
①如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},DE⊥ AB$,那么 $AF=DF$;
②如果$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},AF=DF$,那么 $DE⊥ AB$;
③如果 $DE⊥ AB,AF=DF$,那么$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的弧、圆周角性质和三角形的角的关系结合考查，解题的关键是正确添加辅助线构建角的等量关系，能有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图29－2－34，A，P，B，C是$\odot O$上的四个点，$∠ APC=∠ CPB=60°$.
（1）判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论；
（2）试探究线段$PA$，$PB$，$PC$之间的数量关系，并证明你的结论.
图29－2－34
（1）判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论；
（2）试探究线段$PA$，$PB$，$PC$之间的数量关系，并证明你的结论.
图29－2－34
答案
2.解:(1)$△ ABC$ 是等边三角形.
证明:$\because∠ APC=∠ CPB=60°$,
$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore AC=BC$.
又$\because∠ ABC$ 与$∠ APC$ 所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore∠ ABC=∠ APC=60°$,
$\therefore△ ABC$ 为等边三角形.
(2)$PC=PA+PB$.
证明:在 $PC$ 上取一点 $D$,
使 $PD=AP$,连接 $AD$.
$\because∠ APC=60°,\therefore△ APD$ 是等边三角形.
$\therefore AD=AP,∠ ADP=60°$,
$\therefore∠ ADC=120°$.
$\because∠ APB=∠ APC+∠ BPC=120°$,
$\therefore∠ ADC=∠ APB$.
$\because∠ ABP$ 与$∠ ACD$ 所对的弧都是$\overset{\frown}{AP}$,
$\therefore∠ ABP=∠ ACD$.
在$△ APB$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases}∠ ABP=∠ ACD,\\∠ APB=∠ ADC,\\AP=AD,\end{cases}$
$\therefore△ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BP=CD$.
$\therefore PC=PD+CD=PA+PB$.
证明:$\because∠ APC=∠ CPB=60°$,
$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore AC=BC$.
又$\because∠ ABC$ 与$∠ APC$ 所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore∠ ABC=∠ APC=60°$,
$\therefore△ ABC$ 为等边三角形.
(2)$PC=PA+PB$.
证明:在 $PC$ 上取一点 $D$,
使 $PD=AP$,连接 $AD$.
$\because∠ APC=60°,\therefore△ APD$ 是等边三角形.
$\therefore AD=AP,∠ ADP=60°$,
$\therefore∠ ADC=120°$.
$\because∠ APB=∠ APC+∠ BPC=120°$,
$\therefore∠ ADC=∠ APB$.
$\because∠ ABP$ 与$∠ ACD$ 所对的弧都是$\overset{\frown}{AP}$,
$\therefore∠ ABP=∠ ACD$.
在$△ APB$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases}∠ ABP=∠ ACD,\\∠ APB=∠ ADC,\\AP=AD,\end{cases}$
$\therefore△ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BP=CD$.
$\therefore PC=PD+CD=PA+PB$.
解析
【分析】
（1）判断△ABC的形状时，先从已知的两个相等的60°圆周角出发，根据圆周角定理的推论，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AC等于弧BC，进而得到AC=BC，确定△ABC是等腰三角形；再利用同弧所对的圆周角相等，推出∠ABC=60°，结合有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可判定形状。
（2）探究三条线段的数量关系时，采用截长补短的常用思路：在较长的PC上截取PD=PA，结合∠APC=60°可得到等边△APD，再通过证明△APB和△ADC全等，将PB转化为CD，即可推导出三条线段的和差关系。
【解析】
（1）△ABC是等边三角形，证明如下：
$\because∠ APC=∠ CPB=60°$，
$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AC=BC$，
又$\because∠ ABC$与$∠ APC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore∠ ABC=∠ APC=60°$，
$\therefore△ ABC$为等边三角形。
（2）线段数量关系为$PC=PA+PB$，证明如下：
在$PC$上取一点$D$，使$PD=AP$，连接$AD$。
$\because∠ APC=60°$，$\therefore△ APD$是等边三角形，
$\therefore AD=AP$，$∠ ADP=60°$，$\therefore∠ ADC=180°-∠ ADP=120°$，
$\because∠ APB=∠ APC+∠ BPC=60°+60°=120°$，
$\therefore∠ ADC=∠ APB$，
$\because∠ ABP$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AP}$，
$\therefore∠ ABP=∠ ACD$，
在$△ APB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}∠ ABP=∠ ACD\\∠ APB=∠ ADC\\AP=AD\end{cases}$
$\therefore△ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BP=CD$，
$\because PC=PD+CD$，$PD=PA$，
$\therefore PC=PA+PB$。
【答案】
（1）$\boxed{△ ABC是等边三角形}$；
（2）$\boxed{PC=PA+PB}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆周角性质的应用，以及截长补短法处理线段和差问题的思路，解题时需灵活运用同弧所对圆周角相等推导角的等量关系，结合全等、等边三角形的性质转化线段，是圆中常见的经典题型。
【难度系数】
0.7
（1）判断△ABC的形状时，先从已知的两个相等的60°圆周角出发，根据圆周角定理的推论，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AC等于弧BC，进而得到AC=BC，确定△ABC是等腰三角形；再利用同弧所对的圆周角相等，推出∠ABC=60°，结合有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可判定形状。
（2）探究三条线段的数量关系时，采用截长补短的常用思路：在较长的PC上截取PD=PA，结合∠APC=60°可得到等边△APD，再通过证明△APB和△ADC全等，将PB转化为CD，即可推导出三条线段的和差关系。
【解析】
（1）△ABC是等边三角形，证明如下：
$\because∠ APC=∠ CPB=60°$，
$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AC=BC$，
又$\because∠ ABC$与$∠ APC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore∠ ABC=∠ APC=60°$，
$\therefore△ ABC$为等边三角形。
（2）线段数量关系为$PC=PA+PB$，证明如下：
在$PC$上取一点$D$，使$PD=AP$，连接$AD$。
$\because∠ APC=60°$，$\therefore△ APD$是等边三角形，
$\therefore AD=AP$，$∠ ADP=60°$，$\therefore∠ ADC=180°-∠ ADP=120°$，
$\because∠ APB=∠ APC+∠ BPC=60°+60°=120°$，
$\therefore∠ ADC=∠ APB$，
$\because∠ ABP$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AP}$，
$\therefore∠ ABP=∠ ACD$，
在$△ APB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}∠ ABP=∠ ACD\\∠ APB=∠ ADC\\AP=AD\end{cases}$
$\therefore△ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BP=CD$，
$\because PC=PD+CD$，$PD=PA$，
$\therefore PC=PA+PB$。
【答案】
（1）$\boxed{△ ABC是等边三角形}$；
（2）$\boxed{PC=PA+PB}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆周角性质的应用，以及截长补短法处理线段和差问题的思路，解题时需灵活运用同弧所对圆周角相等推导角的等量关系，结合全等、等边三角形的性质转化线段，是圆中常见的经典题型。
【难度系数】
0.7
