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9. 如图29－2－27，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC，求证：
(1)AB＝AP；
(2)$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)AB＝AP；
(2)$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
答案
9.证明:(1)连接 AC,$\because AB$ 是$\odot O$的直径,
$\therefore∠ ACB=90°$. 又$\because BC=PC$,
$\therefore AB=AP$.
(2)连接 $BD,CD,\because AB$ 是$\odot O$的直径,
$\therefore∠ ADB=90°$. 又$\because BC=PC$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}PB=CB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore∠ ACB=90°$. 又$\because BC=PC$,
$\therefore AB=AP$.
(2)连接 $BD,CD,\because AB$ 是$\odot O$的直径,
$\therefore∠ ADB=90°$. 又$\because BC=PC$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}PB=CB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
解析
【分析】
(1) 要证AB=AP，可通过证明AC是PB的垂直平分线推导：首先看到AB是圆的直径，联想到直径所对的圆周角是直角，因此连接AC可得AC⊥PB；结合已知BC=PC，可知AC垂直平分PB，根据垂直平分线的性质即可得到AB=AP。
(2) 要证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中只需证明对应弦BC=CD即可：连接BD，由AB是直径可得∠ADB=90°，即△PDB是直角三角形，C是PB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=BC，进而得到两段弧相等。
【解析】
证明：
(1) 连接AC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ PB$，
又
∵$BC=PC$，
∴AC垂直平分线段PB，
∴$AB=AP$。
(2) 连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ PDB$为直角三角形，
∵$BC=PC$，即C为斜边PB的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}PB=BC$，
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
(1)连接AC，$\because AB$ 是$\odot O$的直径，$\therefore∠ ACB=90°$。又$\because BC=PC$，$\therefore AC$垂直平分$PB$，$\therefore AB=AP$。
(2)连接 $BD$，$\because AB$ 是$\odot O$的直径，$\therefore∠ ADB=90°$。又$\because BC=PC$，$\therefore C$是$Rt△ PDB$斜边$PB$的中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}PB=CB$，$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形斜边中线性质，等弦对等弧
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心考查直径所对圆周角为直角的应用，解题的关键是合理连接辅助线构造直角三角形，再结合三角形的相关性质即可求解，需熟练掌握此类问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AB=AP，可通过证明AC是PB的垂直平分线推导：首先看到AB是圆的直径，联想到直径所对的圆周角是直角，因此连接AC可得AC⊥PB；结合已知BC=PC，可知AC垂直平分PB，根据垂直平分线的性质即可得到AB=AP。
(2) 要证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中只需证明对应弦BC=CD即可：连接BD，由AB是直径可得∠ADB=90°，即△PDB是直角三角形，C是PB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=BC，进而得到两段弧相等。
【解析】
证明：
(1) 连接AC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ PB$，
又
∵$BC=PC$，
∴AC垂直平分线段PB，
∴$AB=AP$。
(2) 连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ PDB$为直角三角形，
∵$BC=PC$，即C为斜边PB的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}PB=BC$，
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
(1)连接AC，$\because AB$ 是$\odot O$的直径，$\therefore∠ ACB=90°$。又$\because BC=PC$，$\therefore AC$垂直平分$PB$，$\therefore AB=AP$。
(2)连接 $BD$，$\because AB$ 是$\odot O$的直径，$\therefore∠ ADB=90°$。又$\because BC=PC$，$\therefore C$是$Rt△ PDB$斜边$PB$的中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}PB=CB$，$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形斜边中线性质，等弦对等弧
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心考查直径所对圆周角为直角的应用，解题的关键是合理连接辅助线构造直角三角形，再结合三角形的相关性质即可求解，需熟练掌握此类问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
1.如图29－2－28，A，B，C是$\odot O$上的三点，且A是$\overset{\frown}{BAC}$上与点B，C不同的一点，若$△ BOC$是直角三角形，则$△ BAC$必是(
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.有一个角是$30°$的三角形
D.有一个角是$45°$的三角形
D
)A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.有一个角是$30°$的三角形
D.有一个角是$45°$的三角形
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先结合圆的半径相等的性质，分析△BOC的形状：已知△BOC是直角三角形，且OB=OC，因此直角只能是顶角∠BOC，可得∠BOC=90°；再回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BAC和∠BOC都对应弧BC，据此可求出∠BAC的度数，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC。
∵△BOC是直角三角形，等腰三角形的底角不可能为直角，
∴∠BOC=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BAC与∠BOC同为弧BC所对的角，∠BOC是圆心角，∠BAC是圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$，即△BAC必有一个角为45°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是先确定圆心角的度数，再利用定理推导对应圆周角的度数，需注意区分同弧对应的圆心角和圆周角，避免出现倍数关系混淆的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先结合圆的半径相等的性质，分析△BOC的形状：已知△BOC是直角三角形，且OB=OC，因此直角只能是顶角∠BOC，可得∠BOC=90°；再回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BAC和∠BOC都对应弧BC，据此可求出∠BAC的度数，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC。
∵△BOC是直角三角形，等腰三角形的底角不可能为直角，
∴∠BOC=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BAC与∠BOC同为弧BC所对的角，∠BOC是圆心角，∠BAC是圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$，即△BAC必有一个角为45°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是先确定圆心角的度数，再利用定理推导对应圆周角的度数，需注意区分同弧对应的圆心角和圆周角，避免出现倍数关系混淆的错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图29－2－29，△ABC内接于⊙O，D是$\overset{\frown}{AB}$上的一点（点D不与A，B重合），E是$\overset{\frown}{AC}$上的一点（点E不与A，C重合），若∠BAC＝50°，则∠D＋∠E的度数为（
A.220°
B.230°
C.240°
D.250°
B
）A.220°
B.230°
C.240°
D.250°
答案
2.B 点拨:如答图 29-2-5,因为四边形
ADBC 内接于$\odot O$,所以$∠ 2+∠ D=180°$.
同理可得$∠ 1+∠ E=180°$. 所以$∠ 1+$$∠ 2+∠ D+∠ E=360°$. 又因为$∠ 1+$$∠ 2=180°-∠ BAC=130°$, 所以$∠ D+$$∠ E=230°$.
答图 29-2-5
解析
【分析】
求解圆中角度和问题时，可优先考虑圆内接四边形对角互补的性质。观察图形可知四边形ADBC、ABCE均为⊙O的内接四边形，可分别得到∠D与∠ACB互补、∠E与∠ABC互补，将两式相加后，结合三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，代入即可计算出∠D+∠E的度数。
【解析】
∵四边形ADBC内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ D + ∠ ACB = 180°$，
同理，四边形ABCE内接于⊙O，可得$∠ E + ∠ ABC = 180°$，
将两式相加得：$∠ D + ∠ E + ∠ ACB + ∠ ABC = 360°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=50°$，
则$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 50° = 130°$，
代入上式可得：$∠ D + ∠ E = 360° - 130° = 230°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用圆内接四边形对角互补的性质实现角度转化，结合三角形内角和定理即可求解，解题时需准确识别图中的圆内接四边形，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
求解圆中角度和问题时，可优先考虑圆内接四边形对角互补的性质。观察图形可知四边形ADBC、ABCE均为⊙O的内接四边形，可分别得到∠D与∠ACB互补、∠E与∠ABC互补，将两式相加后，结合三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，代入即可计算出∠D+∠E的度数。
【解析】
∵四边形ADBC内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ D + ∠ ACB = 180°$，
同理，四边形ABCE内接于⊙O，可得$∠ E + ∠ ABC = 180°$，
将两式相加得：$∠ D + ∠ E + ∠ ACB + ∠ ABC = 360°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=50°$，
则$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 50° = 130°$，
代入上式可得：$∠ D + ∠ E = 360° - 130° = 230°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用圆内接四边形对角互补的性质实现角度转化，结合三角形内角和定理即可求解，解题时需准确识别图中的圆内接四边形，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
3.如图29－2－30，△ABC内接于$\odot O$，BD是$\odot O$的直径，交AC于点E，$BC=CE$.若$∠ C=50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰△BCE入手，利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠CBE的度数；再结合BD是直径的条件，根据“直径所对的圆周角是直角”得到直角△BCD，求出同弧BC所对的圆周角∠BDC的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠A的度数。
【解析】
1. 在△BCE中，
∵BC=CE，∠ACB=50°，
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=$\frac{180°-50°}{2}$=65°。
2. 连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
3. 在Rt△BCD中，∠BDC=90°-∠CBE=90°-65°=25°。
4.
∵∠A与∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC=25°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理及其推论、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，核心考查角度转化的思想，解题的关键是结合直径的性质构造直角三角形，再利用同弧所对圆周角相等完成待求角度的推导，是圆中角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等腰△BCE入手，利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠CBE的度数；再结合BD是直径的条件，根据“直径所对的圆周角是直角”得到直角△BCD，求出同弧BC所对的圆周角∠BDC的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠A的度数。
【解析】
1. 在△BCE中，
∵BC=CE，∠ACB=50°，
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=$\frac{180°-50°}{2}$=65°。
2. 连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
3. 在Rt△BCD中，∠BDC=90°-∠CBE=90°-65°=25°。
4.
∵∠A与∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC=25°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理及其推论、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，核心考查角度转化的思想，解题的关键是结合直径的性质构造直角三角形，再利用同弧所对圆周角相等完成待求角度的推导，是圆中角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
4.【生活应用】如图29－2－31，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器
4
台。答案
4.4
解析
【分析】
解题时首先明确监视器的监控角度为圆周角，根据圆周角定理可推出它所对的圆心角度数；要覆盖整个圆形展区，所有监视器对应的圆心角之和需至少为周角360°，通过计算确定满足要求的最小整数台数即可。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知每台监视器的监控角度（圆周角）为55°，则每台监视器可覆盖的圆弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设最少需要安装$n$台监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足：
$n×110°≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$必须为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，周角的概念，进一法取整
【点评】
本题结合生活实际考查圆周角定理的应用，解题关键是将监控的圆周角转化为对应圆心角，再结合周角度数计算所需设备数量，注意结果需采用进一法取整，保证完全覆盖整个展区。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确监视器的监控角度为圆周角，根据圆周角定理可推出它所对的圆心角度数；要覆盖整个圆形展区，所有监视器对应的圆心角之和需至少为周角360°，通过计算确定满足要求的最小整数台数即可。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知每台监视器的监控角度（圆周角）为55°，则每台监视器可覆盖的圆弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设最少需要安装$n$台监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足：
$n×110°≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$必须为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，周角的概念，进一法取整
【点评】
本题结合生活实际考查圆周角定理的应用，解题关键是将监控的圆周角转化为对应圆心角，再结合周角度数计算所需设备数量，注意结果需采用进一法取整，保证完全覆盖整个展区。
【难度系数】
0.7
