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1. 如图29－2－35，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ D=100°$，则$∠ B$的度数是（
A.$50°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
B
）A.$50°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确本题是圆内接四边形的角度计算类题目，解题时先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补。观察可知∠B与∠D是四边形ABCD的一组对角，已知∠D的度数，直接利用对角互补的性质计算即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵ $∠ D=100°$，
∴ $∠ B = 180° - 100° = 80°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，是对圆内接四边形性质的直接考查，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，不需要复杂推导。
【难度系数】
0.9
首先明确本题是圆内接四边形的角度计算类题目，解题时先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补。观察可知∠B与∠D是四边形ABCD的一组对角，已知∠D的度数，直接利用对角互补的性质计算即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵ $∠ D=100°$，
∴ $∠ B = 180° - 100° = 80°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，是对圆内接四边形性质的直接考查，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，不需要复杂推导。
【难度系数】
0.9
2.如图29－2－36，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°，则∠ADC的度数为（
A.110°
B.70°
C.80°
D.60°
B
）A.110°
B.70°
C.80°
D.60°
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其外角∠CBE=70°，目标是求∠ADC的度数。首先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角（即和该外角不相邻的内角）。我们可以通过两种思路推导：一是直接利用外角等于内对角的性质直接求解；二是先通过平角定义得到∠CBE与邻角∠ABC互补，再结合圆内接四边形对角互补，利用同角的补角相等推导∠ADC与∠CBE相等。
【解析】
解法1：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，∠CBE是四边形ABCD的外角，对应的内对角为∠ADC，
∴∠ADC=∠CBE=70°。
解法2：
∵∠ABC+∠CBE=180°（平角的定义），
又
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=∠CBE=70°（同角的补角相等）。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的外角与内对角的关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其外角∠CBE=70°，目标是求∠ADC的度数。首先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角（即和该外角不相邻的内角）。我们可以通过两种思路推导：一是直接利用外角等于内对角的性质直接求解；二是先通过平角定义得到∠CBE与邻角∠ABC互补，再结合圆内接四边形对角互补，利用同角的补角相等推导∠ADC与∠CBE相等。
【解析】
解法1：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，∠CBE是四边形ABCD的外角，对应的内对角为∠ADC，
∴∠ADC=∠CBE=70°。
解法2：
∵∠ABC+∠CBE=180°（平角的定义），
又
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=∠CBE=70°（同角的补角相等）。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的外角与内对角的关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.如图29−2−37，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE//AD，交CD于点E。若∠BEC=50°，则∠ABC的度数是（
A.50°
B.100°
C.130°
D.150°
C
）A.50°
B.100°
C.130°
D.150°
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行线条件，利用平行线同位角相等的性质，推导出∠ADC的度数；再根据圆内接四边形对角互补的核心性质，即可求出∠ABC的度数。具体思考路径：第一步找平行线被CD截得的同位角，得到∠ADC的大小；第二步利用圆内接四边形对角互补的性质计算∠ABC。
【解析】
解：
∵BE//AD，CD为两条平行线的截线
∴∠ADC = ∠BEC = 50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∴∠ABC = 180° - 50° = 130°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考察平行线性质和圆内接四边形性质的结合运用，解题关键是通过平行线搭建已知角和圆内接四边形内角的关联，再代入互补关系计算即可，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的平行线条件，利用平行线同位角相等的性质，推导出∠ADC的度数；再根据圆内接四边形对角互补的核心性质，即可求出∠ABC的度数。具体思考路径：第一步找平行线被CD截得的同位角，得到∠ADC的大小；第二步利用圆内接四边形对角互补的性质计算∠ABC。
【解析】
解：
∵BE//AD，CD为两条平行线的截线
∴∠ADC = ∠BEC = 50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∴∠ABC = 180° - 50° = 130°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考察平行线性质和圆内接四边形性质的结合运用，解题关键是通过平行线搭建已知角和圆内接四边形内角的关联，再代入互补关系计算即可，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
4.【教材P131例4变式】如图29－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=
60
°。答案
4.60
解析
【分析】
解题时可结合已知条件逐步推导角的数量关系：① 由四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质可得对角互补，即∠D + ∠B = 180°；② 由四边形OABC是菱形，根据菱形对角相等的性质可得∠B = ∠AOC；③ ∠D是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可知同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC = 2∠D。将上述关系联立，即可求出∠D的度数。
【解析】
设∠D的度数为$x$。
1. 根据圆周角定理：同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠D的2倍，因此$∠ AOC = 2∠ D = 2x$。
2.
∵ 四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，
∴ $∠ B = ∠ AOC = 2x$。
3.
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ D + ∠ B = 180°$。
将$∠ D=x$、$∠ B=2x$代入得：$x + 2x = 180°$，解得$x=60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；菱形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆和菱形的核心性质考查，解题的关键是准确梳理不同图形性质对应的角的等量关系，建立方程求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知条件逐步推导角的数量关系：① 由四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质可得对角互补，即∠D + ∠B = 180°；② 由四边形OABC是菱形，根据菱形对角相等的性质可得∠B = ∠AOC；③ ∠D是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可知同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC = 2∠D。将上述关系联立，即可求出∠D的度数。
【解析】
设∠D的度数为$x$。
1. 根据圆周角定理：同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠D的2倍，因此$∠ AOC = 2∠ D = 2x$。
2.
∵ 四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，
∴ $∠ B = ∠ AOC = 2x$。
3.
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ D + ∠ B = 180°$。
将$∠ D=x$、$∠ B=2x$代入得：$x + 2x = 180°$，解得$x=60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；菱形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆和菱形的核心性质考查，解题的关键是准确梳理不同图形性质对应的角的等量关系，建立方程求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 如图29－2－39，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径，若$∠ BEC=20°$，则$∠ ADC$的度数为(
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
图29－2－39
图29－2－40
图29－2－41
B
)A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
图29－2－39
图29－2－40
图29－2－41
答案
1.B
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠BEC的度数得到∠BAC的度数；第二步，结合AB是直径的条件，利用直径所对的圆周角为直角，在直角三角形ABC中求出∠ABC的度数；第三步，根据圆内接四边形对角互补的性质，由∠ABC的度数计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠BEC = 20°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，
在Rt△ABC中，∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 20° = 70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - 70° = 110°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形性质；直径所对圆周角特征
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆周角相关定理和圆内接四边形的性质，理清各个角之间的等量关系即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠BEC的度数得到∠BAC的度数；第二步，结合AB是直径的条件，利用直径所对的圆周角为直角，在直角三角形ABC中求出∠ABC的度数；第三步，根据圆内接四边形对角互补的性质，由∠ABC的度数计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠BEC = 20°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，
在Rt△ABC中，∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 20° = 70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - 70° = 110°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形性质；直径所对圆周角特征
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆周角相关定理和圆内接四边形的性质，理清各个角之间的等量关系即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图29－2－40，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径为
2
.答案
2.2
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ADC的度数，求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；第三步，因为OA、OC都是圆的半径，二者相等，结合∠AOC=60°，可判定△AOC是等边三角形，从而得到半径与AC的等量关系，代入AC的长度即可求出半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠ADC = 150°
∴∠ABC = 180° - 150° = 30°
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴∠AOC = 2∠ABC = 2×30° = 60°（圆周角定理）
又
∵OA = OC（同圆的半径相等）
∴△AOC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴OA = AC = 2
即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆相关性质与特殊三角形判定的结合应用，解题的突破口是利用圆内接四边形的性质求出对应圆周角的度数，进而构造等边三角形得到半径长度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ADC的度数，求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；第三步，因为OA、OC都是圆的半径，二者相等，结合∠AOC=60°，可判定△AOC是等边三角形，从而得到半径与AC的等量关系，代入AC的长度即可求出半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠ADC = 150°
∴∠ABC = 180° - 150° = 30°
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴∠AOC = 2∠ABC = 2×30° = 60°（圆周角定理）
又
∵OA = OC（同圆的半径相等）
∴△AOC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴OA = AC = 2
即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆相关性质与特殊三角形判定的结合应用，解题的突破口是利用圆内接四边形的性质求出对应圆周角的度数，进而构造等边三角形得到半径长度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
3.如图29－2－41，AB是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上.若∠C＝α，∠E＝β，则α与β之间的关系式为
α+β=270°
.答案
3.$α+β=270°$
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：首先回忆圆的相关性质，考虑通过作辅助线构造特殊角和圆内接四边形。第一步，连接AE，利用直径所对圆周角是直角的性质得到90°的角；第二步，判断四边形ACDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补得到∠C和∠AED的数量关系；第三步，分析∠E的组成，把∠AED用α表示后代入角的和差关系，整理即可得到α和β的关系式。
【解析】
解：连接AE。
1. 因为AB是半圆O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得$∠ AEB=90°$。
2. 因为A、C、D、E四点都在圆O上，所以四边形ACDE是圆内接四边形，根据“圆内接四边形的对角互补”可得：$∠ C+∠ AED=180°$，已知$∠ C=α$，因此$∠ AED=180°-α$。
3. 由图形可知$∠ BED=∠ AED+∠ AEB$，题目中$∠ BED=β$，代入角度得：
$β=(180°-α)+90°$
整理后得$α+β=270°$。
【答案】
$α+β=270°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、直径所对圆周角为直角、角的和差运算
【点评】
本题是圆的性质的基础综合应用题，解题核心是正确作出辅助线，构造出符合性质的特殊图形，再结合角的数量关系推导结论，能较好地考查学生对圆的基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
解决本题可按以下思路思考：首先回忆圆的相关性质，考虑通过作辅助线构造特殊角和圆内接四边形。第一步，连接AE，利用直径所对圆周角是直角的性质得到90°的角；第二步，判断四边形ACDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补得到∠C和∠AED的数量关系；第三步，分析∠E的组成，把∠AED用α表示后代入角的和差关系，整理即可得到α和β的关系式。
【解析】
解：连接AE。
1. 因为AB是半圆O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得$∠ AEB=90°$。
2. 因为A、C、D、E四点都在圆O上，所以四边形ACDE是圆内接四边形，根据“圆内接四边形的对角互补”可得：$∠ C+∠ AED=180°$，已知$∠ C=α$，因此$∠ AED=180°-α$。
3. 由图形可知$∠ BED=∠ AED+∠ AEB$，题目中$∠ BED=β$，代入角度得：
$β=(180°-α)+90°$
整理后得$α+β=270°$。
【答案】
$α+β=270°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、直径所对圆周角为直角、角的和差运算
【点评】
本题是圆的性质的基础综合应用题，解题核心是正确作出辅助线，构造出符合性质的特殊图形，再结合角的数量关系推导结论，能较好地考查学生对圆的基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
