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1. 二次根式:一般地,形如$\boldsymbol{\sqrt{a} \ (a≥0)}$的式子叫作二次根式,$\boldsymbol{a}$叫作被开方数。
答案
a
解析
【分析】
这道题考查二次根式基本定义的识记，解题时直接回忆教材中二次根式的定义内容，找到定义里对应“被开方数”的表示字母即可，无需复杂推导或计算，对照定义表述就能直接得到答案。
【解析】
根据二次根式的定义：一般地，形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫作二次根式，其中位于根号下的$a$叫作被开方数，因此本题应填入$a$。
【答案】
$a$
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考察对二次根式定义中各部分名称的记忆，熟练掌握教材基础概念是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式基本定义的识记，解题时直接回忆教材中二次根式的定义内容，找到定义里对应“被开方数”的表示字母即可，无需复杂推导或计算，对照定义表述就能直接得到答案。
【解析】
根据二次根式的定义：一般地，形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫作二次根式，其中位于根号下的$a$叫作被开方数，因此本题应填入$a$。
【答案】
$a$
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考察对二次根式定义中各部分名称的记忆，熟练掌握教材基础概念是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 二次根式的乘法法则：
$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ \ (a \_\_\_\_\_\_ 0, b \_\_\_\_\_\_ 0)$
$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ \ (a \_\_\_\_\_\_ 0, b \_\_\_\_\_\_ 0)$
答案
$\sqrt{ab}\quad a≥0\quad b≥0$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关要求：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此参与乘法运算的$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$要保证有意义，就需要a、b都大于等于0；再回忆二次根式乘法的运算规则：两个二次根式相乘，根指数保持不变，将两个被开方数的乘积作为结果的被开方数，即可得到对应的运算结果。
【解析】
首先，二次根式的被开方数必须是非负数，因此要使$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，需满足$a≥0$，$b≥0$；
根据二次根式乘法运算规则，根指数2不变，被开方数相乘，因此$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$；$≥$；$≥$
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对二次根式乘法法则的掌握，需要牢记法则的内容以及对应的被开方数的取值限制，避免遗漏取值条件导致错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的相关要求：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此参与乘法运算的$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$要保证有意义，就需要a、b都大于等于0；再回忆二次根式乘法的运算规则：两个二次根式相乘，根指数保持不变，将两个被开方数的乘积作为结果的被开方数，即可得到对应的运算结果。
【解析】
首先，二次根式的被开方数必须是非负数，因此要使$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，需满足$a≥0$，$b≥0$；
根据二次根式乘法运算规则，根指数2不变，被开方数相乘，因此$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$；$≥$；$≥$
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对二次根式乘法法则的掌握，需要牢记法则的内容以及对应的被开方数的取值限制，避免遗漏取值条件导致错误。
【难度系数】
0.9
3. 二次根式的除法法则：
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$
$\sqrt{\frac{a}{b}}$
$(a$ $≥$
$0, b$ $＞$
$0)$。答案
$\sqrt{\frac{a}{b}}\quad a≥0\quad b＞0$
解析
【分析】
解题时可从两方面入手思考：一是回忆二次根式除法法则的核心内容，二是明确式子有意义的限制条件。首先二次根式的被开方数必须是非负数，同时分母不能为0，先确定a、b的取值范围，再根据除法法则的运算规则写出等式右侧的结果即可。
【解析】
根据二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，根指数保持不变，被开方数相除，因此$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
再确定取值范围：
1. 要使分子$\sqrt{a}$有意义，需满足被开方数$a≥0$；
2. 要使分母$\sqrt{b}$有意义且不为0（分母为0时式子无意义），需满足被开方数$b＞0$。
【答案】
$\sqrt{\frac{a}{b}}$；$≥$；$＞$
【知识点】
二次根式除法法则；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础概念考查题，易错点是容易忽略分母不能为0的要求，误将b的取值写为$b≥0$，学习时要结合式子有意义的条件理解记忆法则，不要死记硬背。
【难度系数】
0.8
解题时可从两方面入手思考：一是回忆二次根式除法法则的核心内容，二是明确式子有意义的限制条件。首先二次根式的被开方数必须是非负数，同时分母不能为0，先确定a、b的取值范围，再根据除法法则的运算规则写出等式右侧的结果即可。
【解析】
根据二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，根指数保持不变，被开方数相除，因此$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
再确定取值范围：
1. 要使分子$\sqrt{a}$有意义，需满足被开方数$a≥0$；
2. 要使分母$\sqrt{b}$有意义且不为0（分母为0时式子无意义），需满足被开方数$b＞0$。
【答案】
$\sqrt{\frac{a}{b}}$；$≥$；$＞$
【知识点】
二次根式除法法则；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础概念考查题，易错点是容易忽略分母不能为0的要求，误将b的取值写为$b≥0$，学习时要结合式子有意义的条件理解记忆法则，不要死记硬背。
【难度系数】
0.8
1. 当$a=-2$时，二次根式$\sqrt{2 - a}$的值为（
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\pm2$
A
）。A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\pm2$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的代入求值，解题思路很清晰：第一步，先明确二次根式的意义，它表示的是非负的算术平方根，结果一定是非负数，所以可以先排除带正负号的错误选项；第二步，把已知的$a=-2$代入被开方数$2-a$中，计算出被开方数的数值；第三步，对得到的被开方数求算术平方根，匹配正确选项即可。
【解析】
首先将$a=-2$代入被开方部分计算：
$2-a=2-(-2)=2+2=4$
再计算二次根式的值，二次根式的结果为非负的算术平方根：
$\sqrt{2-a}=\sqrt{4}=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式求值；算术平方根性质；代数式代入计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础计算，解题时要注意两个细节：一是代入负数计算时不要搞错符号，二是牢记二次根式的结果是算术平方根，恒为非负数，避免错选带正负号的干扰项。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式的代入求值，解题思路很清晰：第一步，先明确二次根式的意义，它表示的是非负的算术平方根，结果一定是非负数，所以可以先排除带正负号的错误选项；第二步，把已知的$a=-2$代入被开方数$2-a$中，计算出被开方数的数值；第三步，对得到的被开方数求算术平方根，匹配正确选项即可。
【解析】
首先将$a=-2$代入被开方部分计算：
$2-a=2-(-2)=2+2=4$
再计算二次根式的值，二次根式的结果为非负的算术平方根：
$\sqrt{2-a}=\sqrt{4}=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式求值；算术平方根性质；代数式代入计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础计算，解题时要注意两个细节：一是代入负数计算时不要搞错符号，二是牢记二次根式的结果是算术平方根，恒为非负数，避免错选带正负号的干扰项。
【难度系数】
0.9
2. 如果$\sqrt{3-x}$是二次根式，那么$x$应满足的条件是（
A.$x≠3$
B.$x≤3$
C.$x≥3$
D.$x＞0$且$x≠3$
B
）。A.$x≠3$
B.$x≤3$
C.$x≥3$
D.$x＞0$且$x≠3$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们先找到题目中二次根式的被开方数，根据条件列出不等式，再解不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，要求被开方数$a$为非负数。
本题中二次根式$\sqrt{3-x}$的被开方数是$3-x$，因此可列不等式：
$3-x≥0$
移项解得：$x≤3$
因此x应满足的条件是$x≤3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考察对二次根式定义的理解，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，只需根据条件列不等式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们先找到题目中二次根式的被开方数，根据条件列出不等式，再解不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，要求被开方数$a$为非负数。
本题中二次根式$\sqrt{3-x}$的被开方数是$3-x$，因此可列不等式：
$3-x≥0$
移项解得：$x≤3$
因此x应满足的条件是$x≤3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考察对二次根式定义的理解，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，只需根据条件列不等式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果是(
A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$9$
B
)。A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$9$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式的意义，$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，运算结果一定是非负的。解题分两步走：第一步先计算被开方数（根号内的部分）的值，第二步再求这个值的算术平方根即可得到结果，要注意避免直接将根号和平方抵消错得负数。
【解析】
第一步：计算被开方数的值：$(-3)^2=9$，原式可化简为$\sqrt{9}$。
第二步：根据算术平方根的定义，若正数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
因此计算结果为3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，有理数乘方运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的非负性和算术平方根的计算，易错点是忽略算术平方根的非负性，直接将根号与平方抵消错误得到-3，计算时需先算出被开方数的结果，再求其算术平方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次根式的意义，$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，运算结果一定是非负的。解题分两步走：第一步先计算被开方数（根号内的部分）的值，第二步再求这个值的算术平方根即可得到结果，要注意避免直接将根号和平方抵消错得负数。
【解析】
第一步：计算被开方数的值：$(-3)^2=9$，原式可化简为$\sqrt{9}$。
第二步：根据算术平方根的定义，若正数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
因此计算结果为3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，有理数乘方运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的非负性和算术平方根的计算，易错点是忽略算术平方根的非负性，直接将根号与平方抵消错误得到-3，计算时需先算出被开方数的结果，再求其算术平方根。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式，一定有意义的是（
A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{x^3 + 1}$
C.$\sqrt{1 - x^2}$
D.$\sqrt{2x^2 + 1}$
D
）。A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{x^3 + 1}$
C.$\sqrt{1 - x^2}$
D.$\sqrt{2x^2 + 1}$
答案
D
解析
【分析】
要判断二次根式是否一定有意义，核心依据是：二次根式的被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们需要逐个分析每个选项中被开方数的取值范围，找到无论字母取任意实数，被开方数都恒大于等于0的选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，逐一分析选项：
A. 被开方数为$a$，当$a＜0$时，$\sqrt{a}$无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$x^3+1$，例如取$x=-2$时，$x^3+1=(-2)^3+1=-7＜0$，此时$\sqrt{x^3+1}$无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$1-x^2$，例如取$x=2$时，$1-x^2=1-4=-3＜0$，此时$\sqrt{1-x^2}$无意义，不符合要求；
D. 任意实数的平方都为非负数，即$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，可得$2x^2+1≥1＞0$，无论$x$取任意实数，被开方数都是正数，$\sqrt{2x^2+1}$一定有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题关键是明确“一定有意义”要求被开方数在字母取任意值时都满足非负的要求，结合平方的非负性即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式是否一定有意义，核心依据是：二次根式的被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们需要逐个分析每个选项中被开方数的取值范围，找到无论字母取任意实数，被开方数都恒大于等于0的选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，逐一分析选项：
A. 被开方数为$a$，当$a＜0$时，$\sqrt{a}$无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$x^3+1$，例如取$x=-2$时，$x^3+1=(-2)^3+1=-7＜0$，此时$\sqrt{x^3+1}$无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$1-x^2$，例如取$x=2$时，$1-x^2=1-4=-3＜0$，此时$\sqrt{1-x^2}$无意义，不符合要求；
D. 任意实数的平方都为非负数，即$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，可得$2x^2+1≥1＞0$，无论$x$取任意实数，被开方数都是正数，$\sqrt{2x^2+1}$一定有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题关键是明确“一定有意义”要求被开方数在字母取任意值时都满足非负的要求，结合平方的非负性即可快速判断。
【难度系数】
0.8
5.当$x=$
$-5$
时，$\sqrt{5+x}$的值为0。答案
-5
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的计算结果是非负数，若算术平方根的值为0，仅当被开方数为0时成立，同时还要保证二次根式有意义（被开方数≥0）。因此我们只需要令根号内的代数式等于0，解出x后验证是否满足二次根式有意义的条件即可。
【解析】
根据题意可列等式：$\sqrt{5+x}=0$
由算术平方根的性质可得，当算术平方根为0时，其被开方数为0，因此：
$5+x=0$
解得：$x=-5$
检验：将$x=-5$代入被开方数，$5+x=5+(-5)=0≥0$，满足二次根式有意义的条件，故$x=-5$是正确解。
【答案】
-5
【知识点】
二次根式的定义、算术平方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式值为0的成立条件，解题时要注意既要满足被开方数为0，也要保证被开方数非负，符合二次根式有意义的要求，掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的计算结果是非负数，若算术平方根的值为0，仅当被开方数为0时成立，同时还要保证二次根式有意义（被开方数≥0）。因此我们只需要令根号内的代数式等于0，解出x后验证是否满足二次根式有意义的条件即可。
【解析】
根据题意可列等式：$\sqrt{5+x}=0$
由算术平方根的性质可得，当算术平方根为0时，其被开方数为0，因此：
$5+x=0$
解得：$x=-5$
检验：将$x=-5$代入被开方数，$5+x=5+(-5)=0≥0$，满足二次根式有意义的条件，故$x=-5$是正确解。
【答案】
-5
【知识点】
二次根式的定义、算术平方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式值为0的成立条件，解题时要注意既要满足被开方数为0，也要保证被开方数非负，符合二次根式有意义的要求，掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6. 如果一个无理数$a$与$\sqrt{8}$的积是一个有理数，写出$a$的一个值：
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
。答案
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的化简方法，先把$\sqrt{8}$化成最简形式，再分析乘积为有理数的条件：要使无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积是有理数，说明$a$需要能抵消$\sqrt{8}$化简后的根号部分，同时$a$本身必须是无理数，最后代入最简单的符合条件的数值即可。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
第二步：分析$a$的特征，题目要求无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积为有理数，即$a×2\sqrt{2}$是有理数，因为2是有理数，因此只需$a×\sqrt{2}$为有理数，且$a$为无理数。
第三步：取值验证，取$a=\sqrt{2}$，计算得：$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，4是有理数，且$\sqrt{2}$是无理数，符合题意。
注：答案不唯一，$2\sqrt{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$等含$\sqrt{2}$的无理数均符合要求。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1.二次根式化简 2.二次根式乘法 3.无理数的概念
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查二次根式的运算性质及无理数的定义，解题关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为有理数的条件确定$a$的特征，注意需保证$a$本身是无理数，避免误写为有理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的化简方法，先把$\sqrt{8}$化成最简形式，再分析乘积为有理数的条件：要使无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积是有理数，说明$a$需要能抵消$\sqrt{8}$化简后的根号部分，同时$a$本身必须是无理数，最后代入最简单的符合条件的数值即可。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
第二步：分析$a$的特征，题目要求无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积为有理数，即$a×2\sqrt{2}$是有理数，因为2是有理数，因此只需$a×\sqrt{2}$为有理数，且$a$为无理数。
第三步：取值验证，取$a=\sqrt{2}$，计算得：$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，4是有理数，且$\sqrt{2}$是无理数，符合题意。
注：答案不唯一，$2\sqrt{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$等含$\sqrt{2}$的无理数均符合要求。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1.二次根式化简 2.二次根式乘法 3.无理数的概念
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查二次根式的运算性质及无理数的定义，解题关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为有理数的条件确定$a$的特征，注意需保证$a$本身是无理数，避免误写为有理数。
【难度系数】
0.8
7. 计算：
(1) $(\sqrt{40} - \sqrt{\frac{2}{5}}) × \sqrt{10}$；
(2) $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2$；
(3) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}$。
(1) $(\sqrt{40} - \sqrt{\frac{2}{5}}) × \sqrt{10}$；
(2) $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2$；
(3) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}$。
答案
(1)18 (2)3 (3)0
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题思路可结合整式运算律和二次根式的性质简化计算：
(1) 观察算式是两个根式的差乘$\sqrt{10}$，可利用乘法分配律展开计算，避免先化简括号内的复杂运算，展开后用二次根式乘法法则计算再化简即可；
(2) 算式是两个二次根式的和除以$\sqrt{3}$再减2，可将分子拆分分别除以分母，利用二次根式除法法则化简后计算，也可先化简分子的二次根式再合并运算；
(3) 前半部分是两数和乘两数差的形式，符合平方差公式，先利用平方差公式计算，再化简二次根式做减法即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{40} - \sqrt{\frac{2}{5}}) × \sqrt{10}&=\sqrt{40}×\sqrt{10} - \sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{10}\\&=\sqrt{40×10} - \sqrt{\frac{2}{5}×10}\\&=\sqrt{400} - \sqrt{4}\\&=20 - 2\\&=18\end{aligned}$
(2) 拆分分子分别除以分母计算：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2&=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2\\&=\sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{\frac{12}{3}} - 2\\&=\sqrt{9} + \sqrt{4} - 2\\&=3 + 2 - 2\\&=3\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}&=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 - 4\\&=7 - 3 - 4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{3}$；(3) $\boxed{0}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，重点考察整式运算律在二次根式运算中的迁移应用，熟练掌握二次根式的乘除法则、化简方法以及常用乘法公式，就能快速准确完成计算，计算时注意运算顺序不要出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题思路可结合整式运算律和二次根式的性质简化计算：
(1) 观察算式是两个根式的差乘$\sqrt{10}$，可利用乘法分配律展开计算，避免先化简括号内的复杂运算，展开后用二次根式乘法法则计算再化简即可；
(2) 算式是两个二次根式的和除以$\sqrt{3}$再减2，可将分子拆分分别除以分母，利用二次根式除法法则化简后计算，也可先化简分子的二次根式再合并运算；
(3) 前半部分是两数和乘两数差的形式，符合平方差公式，先利用平方差公式计算，再化简二次根式做减法即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{40} - \sqrt{\frac{2}{5}}) × \sqrt{10}&=\sqrt{40}×\sqrt{10} - \sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{10}\\&=\sqrt{40×10} - \sqrt{\frac{2}{5}×10}\\&=\sqrt{400} - \sqrt{4}\\&=20 - 2\\&=18\end{aligned}$
(2) 拆分分子分别除以分母计算：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2&=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2\\&=\sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{\frac{12}{3}} - 2\\&=\sqrt{9} + \sqrt{4} - 2\\&=3 + 2 - 2\\&=3\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}&=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 - 4\\&=7 - 3 - 4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{3}$；(3) $\boxed{0}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，重点考察整式运算律在二次根式运算中的迁移应用，熟练掌握二次根式的乘除法则、化简方法以及常用乘法公式，就能快速准确完成计算，计算时注意运算顺序不要出错。
【难度系数】
0.8
8. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{8} = 16$
D.$(2\sqrt{3})^2 = 6$
B
)。A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{8} = 16$
D.$(2\sqrt{3})^2 = 6$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与基础运算，解题思路是逐一验证每个选项，结合算术平方根的定义、二次根式乘法法则、乘方运算法则判断各选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，而非$\pm5$，该选项错误。
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$，该选项正确。
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$，结果不是16，该选项错误。
选项D：根据积的乘方运算法则，$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4×3=12$，结果不是6，该选项错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式乘法法则；二次根式的乘方运算
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查对二次根式基本性质和运算法则的掌握程度，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，进行乘方运算时不要遗漏对系数的乘方计算。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的性质与基础运算，解题思路是逐一验证每个选项，结合算术平方根的定义、二次根式乘法法则、乘方运算法则判断各选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，而非$\pm5$，该选项错误。
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$，该选项正确。
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$，结果不是16，该选项错误。
选项D：根据积的乘方运算法则，$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4×3=12$，结果不是6，该选项错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式乘法法则；二次根式的乘方运算
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查对二次根式基本性质和运算法则的掌握程度，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，进行乘方运算时不要遗漏对系数的乘方计算。
【难度系数】
0.8
9. 计算$\sqrt{16} ÷ \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}}$的结果是（
A.4
B.2
C.$\sqrt{7}$
D.$\pm2$
B
）。A.4
B.2
C.$\sqrt{7}$
D.$\pm2$
答案
B
解析
【分析】
这是一道二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确二次根式乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右计算，也可以利用二次根式的运算性质：多个同次二次根式乘除，可先将被开方数进行乘除运算，再开方，简化计算；其次要注意算术平方根的结果是非负数，可先排除带正负号的错误选项D。计算时可以先化简$\sqrt{16}$再逐步计算，也可以统一放到根号下计算被开方数的结果，最后开方得到答案。
【解析】
方法一：利用二次根式乘除运算法则计算
根据二次根式乘除运算规则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} × \sqrt{c} = \sqrt{a ÷ b × c}$（$a≥0,b＞0,c≥0$），代入数值计算：
$\sqrt{16} ÷ \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{16 ÷ 2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
方法二：按运算顺序从左到右计算
先化简$\sqrt{16}=4$，再依次计算：
$4 ÷ \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$
注意：算术平方根的结果为非负数，因此结果不可能为$\pm2$，排除D选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时需注意同级运算的顺序，也可灵活运用二次根式的运算性质简化计算，同时要牢记算术平方根的非负性，避免错选带负号的选项，是二次根式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确二次根式乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右计算，也可以利用二次根式的运算性质：多个同次二次根式乘除，可先将被开方数进行乘除运算，再开方，简化计算；其次要注意算术平方根的结果是非负数，可先排除带正负号的错误选项D。计算时可以先化简$\sqrt{16}$再逐步计算，也可以统一放到根号下计算被开方数的结果，最后开方得到答案。
【解析】
方法一：利用二次根式乘除运算法则计算
根据二次根式乘除运算规则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} × \sqrt{c} = \sqrt{a ÷ b × c}$（$a≥0,b＞0,c≥0$），代入数值计算：
$\sqrt{16} ÷ \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{16 ÷ 2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
方法二：按运算顺序从左到右计算
先化简$\sqrt{16}=4$，再依次计算：
$4 ÷ \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$
注意：算术平方根的结果为非负数，因此结果不可能为$\pm2$，排除D选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时需注意同级运算的顺序，也可灵活运用二次根式的运算性质简化计算，同时要牢记算术平方根的非负性，避免错选带负号的选项，是二次根式运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 计算$(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$的结果是（
A.1
B.0
C.-1
D.-7
C
）。A.1
B.0
C.-1
D.-7
答案
C
解析
【分析】
拿到本题，首先观察两个相乘的因式的结构特征：两个因式中，相同的项是$\sqrt{3}$，互为相反数的项是$+2$和$-2$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，优先使用平方差公式可简化计算；如果暂未联想到乘法公式，也可以用多项式乘多项式的运算法则展开计算，注意计算时不要弄错符号，牢记$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的运算规则即可。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
将原式变形为$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{3}$，$b=2$，代入得：
原式=$(\sqrt{3})^2 - 2^2$
=$3 - 4$
=$-1$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
根据$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$展开得：
原式=$2×\sqrt{3} + 2×(-2) + \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×(-2)$
=$2\sqrt{3} - 4 + 3 - 2\sqrt{3}$
合并同类项后得结果为$-1$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式乘法的基础题型，两种解题方法都符合运算要求，熟练掌握乘法公式能大幅提升解题速度和准确率，计算时要注意二次根式平方的结果以及正负号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
拿到本题，首先观察两个相乘的因式的结构特征：两个因式中，相同的项是$\sqrt{3}$，互为相反数的项是$+2$和$-2$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，优先使用平方差公式可简化计算；如果暂未联想到乘法公式，也可以用多项式乘多项式的运算法则展开计算，注意计算时不要弄错符号，牢记$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的运算规则即可。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
将原式变形为$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{3}$，$b=2$，代入得：
原式=$(\sqrt{3})^2 - 2^2$
=$3 - 4$
=$-1$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
根据$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$展开得：
原式=$2×\sqrt{3} + 2×(-2) + \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×(-2)$
=$2\sqrt{3} - 4 + 3 - 2\sqrt{3}$
合并同类项后得结果为$-1$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式乘法的基础题型，两种解题方法都符合运算要求，熟练掌握乘法公式能大幅提升解题速度和准确率，计算时要注意二次根式平方的结果以及正负号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
