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1.二次根式的混合运算顺序:先算
乘方
（或开方）,再算乘除
,最后算加减
,有括号的先算括号
里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算。答案
1. 乘方 乘除 加减 括号
解析
【分析】
这道题考查二次根式混合运算的顺序，我们可以结合已经学过的整式四则混合运算的规律来推导记忆：运算遵循从高级到低级的计算规则，乘方和开方属于同级的最高级运算，需要优先计算；其次是乘除这一级运算，最后计算加减这种低级运算；如果算式中含有括号，要优先计算括号内部的内容，符合简便运算条件的也可适当调整运算顺序简化计算。
【解析】
根据二次根式混合运算的顺序规定：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，因此对应空缺依次填入乘方、乘除、加减、括号即可。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号
【知识点】
二次根式混合运算顺序、四则混合运算规则
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考察对运算顺序的掌握情况，牢记运算顺序是正确完成二次根式混合运算的核心前提，可类比整式的运算顺序进行记忆，降低记忆难度。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式混合运算的顺序，我们可以结合已经学过的整式四则混合运算的规律来推导记忆：运算遵循从高级到低级的计算规则，乘方和开方属于同级的最高级运算，需要优先计算；其次是乘除这一级运算，最后计算加减这种低级运算；如果算式中含有括号，要优先计算括号内部的内容，符合简便运算条件的也可适当调整运算顺序简化计算。
【解析】
根据二次根式混合运算的顺序规定：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，因此对应空缺依次填入乘方、乘除、加减、括号即可。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号
【知识点】
二次根式混合运算顺序、四则混合运算规则
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考察对运算顺序的掌握情况，牢记运算顺序是正确完成二次根式混合运算的核心前提，可类比整式的运算顺序进行记忆，降低记忆难度。
【难度系数】
0.9
2.二次根式的混合
运算是指二次根式的加、
。
运算是指二次根式的加、减
、乘、除
、乘方及开方
这六种运算中含有两种或两种以上的运算。同时注意合理地运用运算律及相关的公式、法则、性质等。在运算过程中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式
。。
答案
2. 减 除 开方 乘法公式
解析
【分析】
这是一道二次根式混合运算相关的概念识记题，解题思路如下：首先回忆初中阶段学习的基本代数运算的种类，按常见顺序为加、减、乘、除、乘方、开方六种，对应题目给出的已有运算，就能依次补充空缺的运算类型；最后结合“能用乘法公式简化运算”的基本要求，就能填出最后一个空。
【解析】
初中阶段的基本代数运算包括加、减、乘、除、乘方、开方共六种，二次根式的混合运算指的就是这六种运算中含有两种及两种以上的运算；在运算过程中，使用乘法公式可以简化计算步骤，因此能用乘法公式的要尽量使用乘法公式。
因此空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
减；除；开方；乘法公式
【知识点】
二次根式混合运算；基本代数运算；简便运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对课本基础定义的识记能力，熟练掌握教材相关内容即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
这是一道二次根式混合运算相关的概念识记题，解题思路如下：首先回忆初中阶段学习的基本代数运算的种类，按常见顺序为加、减、乘、除、乘方、开方六种，对应题目给出的已有运算，就能依次补充空缺的运算类型；最后结合“能用乘法公式简化运算”的基本要求，就能填出最后一个空。
【解析】
初中阶段的基本代数运算包括加、减、乘、除、乘方、开方共六种，二次根式的混合运算指的就是这六种运算中含有两种及两种以上的运算；在运算过程中，使用乘法公式可以简化计算步骤，因此能用乘法公式的要尽量使用乘法公式。
因此空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
减；除；开方；乘法公式
【知识点】
二次根式混合运算；基本代数运算；简便运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对课本基础定义的识记能力，熟练掌握教材相关内容即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{12} + \sqrt{3} = \sqrt{15}$
B.$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 36$
C.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = 3$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} = 2$
D
)。A.$\sqrt{12} + \sqrt{3} = \sqrt{15}$
B.$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 36$
C.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = 3$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} = 2$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的四则运算，解题时首先将非最简二次根式$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再分别按照二次根式加减、乘除的运算法则计算每个选项的结果，最后对比选项选出计算正确的一项即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠\sqrt{15}$，计算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6≠36$，计算错误；
C选项：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠3$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，解题的关键是先把二次根式化为最简形式再进行运算，避免出现直接对被开方数进行加减运算的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的四则运算，解题时首先将非最简二次根式$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再分别按照二次根式加减、乘除的运算法则计算每个选项的结果，最后对比选项选出计算正确的一项即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠\sqrt{15}$，计算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6≠36$，计算错误；
C选项：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠3$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，解题的关键是先把二次根式化为最简形式再进行运算，避免出现直接对被开方数进行加减运算的错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5} × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{15}$
C.$(2\sqrt{2})^2 = 16$
D.$\frac{3}{\sqrt{3}} = 1$
B
)。A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5} × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{15}$
C.$(2\sqrt{2})^2 = 16$
D.$\frac{3}{\sqrt{3}} = 1$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查二次根式的各类运算规则，解题时需逐个分析每个选项对应的运算类型，结合对应法则判断计算是否正确。首先明确核心规则：1.只有被开方数相同的同类二次根式才能直接合并加减；2.二次根式乘法运算为系数相乘作为新系数，被开方数相乘作为新的被开方数；3.二次根式乘方运算要分别给系数和被开方数乘方后再相乘；4.分母含二次根式的要先分母有理化再化简，按照以上规则逐一核对选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此A计算错误；
B选项：二次根式乘法运算中，系数相乘得$3×2=6$，被开方数相乘得$\sqrt{5×3}=\sqrt{15}$，所以结果为$6\sqrt{15}$，因此B计算正确；
C选项：$(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8≠16$，因此C计算错误；
D选项：对$\frac{3}{\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}≠1$，因此D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的性质；同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查各类运算的核心规则，解题时要注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现直接把被开方数加减、乘方时漏算系数这类常见错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的各类运算规则，解题时需逐个分析每个选项对应的运算类型，结合对应法则判断计算是否正确。首先明确核心规则：1.只有被开方数相同的同类二次根式才能直接合并加减；2.二次根式乘法运算为系数相乘作为新系数，被开方数相乘作为新的被开方数；3.二次根式乘方运算要分别给系数和被开方数乘方后再相乘；4.分母含二次根式的要先分母有理化再化简，按照以上规则逐一核对选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此A计算错误；
B选项：二次根式乘法运算中，系数相乘得$3×2=6$，被开方数相乘得$\sqrt{5×3}=\sqrt{15}$，所以结果为$6\sqrt{15}$，因此B计算正确；
C选项：$(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8≠16$，因此C计算错误；
D选项：对$\frac{3}{\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}≠1$，因此D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的性质；同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查各类运算的核心规则，解题时要注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现直接把被开方数加减、乘方时漏算系数这类常见错误。
【难度系数】
0.8
3. 如果$(2+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}(a,b$都为有理数),那么a+b等于( )。
A.2
B.3
C.8
D.10
A.2
B.3
C.8
D.10
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要利用完全平方公式将等式左边的式子展开，再合并同类项，将展开结果与等式右边的$a+b\sqrt{2}$进行对应，其中有理数部分即为$a$，$\sqrt{2}$的系数即为有理数$b$，最后将$a$和$b$相加即可得到结果。
【解析】
首先利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开$(2+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(2+\sqrt{2})^2&=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4 + 4\sqrt{2} + 2\\&=6 + 4\sqrt{2}\end{aligned}$
由题知$(2+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}$，且$a$、$b$均为有理数，对应系数可得：$a=6$，$b=4$。
因此$a+b=6+4=10$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查二次根式的运算与完全平方公式的应用，解题的核心是正确展开完全平方并准确对应系数得到$a$、$b$的值，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用完全平方公式将等式左边的式子展开，再合并同类项，将展开结果与等式右边的$a+b\sqrt{2}$进行对应，其中有理数部分即为$a$，$\sqrt{2}$的系数即为有理数$b$，最后将$a$和$b$相加即可得到结果。
【解析】
首先利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开$(2+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(2+\sqrt{2})^2&=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4 + 4\sqrt{2} + 2\\&=6 + 4\sqrt{2}\end{aligned}$
由题知$(2+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}$，且$a$、$b$均为有理数，对应系数可得：$a=6$，$b=4$。
因此$a+b=6+4=10$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查二次根式的运算与完全平方公式的应用，解题的核心是正确展开完全平方并准确对应系数得到$a$、$b$的值，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{3^2 + 4^2} = 7$
C.$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 1$
D.$(\sqrt{24} - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6} = 3$
A
)。A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{3^2 + 4^2} = 7$
C.$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 1$
D.$(\sqrt{24} - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6} = 3$
答案
4.A
解析
【分析】
本题是二次根式运算的正误判断题，解题思路为逐一计算四个选项的结果，结合已学的二次根式化简、四则运算法则、整式乘法公式判断每个选项的对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
B选项：先计算根号内的运算：$3^2+4^2=9+16=25$，因此$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5≠7$，计算错误。
C选项：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠1$，计算错误。
D选项：利用除法分配律，$(\sqrt{24}-\sqrt{6})÷\sqrt{6}=\sqrt{24}÷\sqrt{6}-\sqrt{6}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}-1=\sqrt{4}-1=2-1=1≠3$，计算错误。
综上只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考查二次根式相关运算法则以及乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时注意先化简二次根式再进行运算，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式运算的正误判断题，解题思路为逐一计算四个选项的结果，结合已学的二次根式化简、四则运算法则、整式乘法公式判断每个选项的对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
B选项：先计算根号内的运算：$3^2+4^2=9+16=25$，因此$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5≠7$，计算错误。
C选项：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠1$，计算错误。
D选项：利用除法分配律，$(\sqrt{24}-\sqrt{6})÷\sqrt{6}=\sqrt{24}÷\sqrt{6}-\sqrt{6}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}-1=\sqrt{4}-1=2-1=1≠3$，计算错误。
综上只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考查二次根式相关运算法则以及乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时注意先化简二次根式再进行运算，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
5. 计算$(3\sqrt{2}-1)^2$的结果是
$19-6\sqrt{2}$
。答案
5.$19-6\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题可利用完全平方差公式展开计算，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，确定本题中$a=3\sqrt{2}$，$b=1$，再分别计算三项的值，最后合并同类项得到结果，计算时要注意二次根式乘方的运算规则$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的正确应用。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=3\sqrt{2}$，$b=1$代入得：
$\begin{aligned}(3\sqrt{2}-1)^2&=(3\sqrt{2})^2 - 2×3\sqrt{2}×1 + 1^2\\&=9×2 - 6\sqrt{2} + 1\\&=18 - 6\sqrt{2} + 1\\&=19 - 6\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$19-6\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式乘方运算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查乘法公式在二次根式运算中的应用，计算时注意准确计算二次根式的平方，避免系数或符号运算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方差公式展开计算，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，确定本题中$a=3\sqrt{2}$，$b=1$，再分别计算三项的值，最后合并同类项得到结果，计算时要注意二次根式乘方的运算规则$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的正确应用。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=3\sqrt{2}$，$b=1$代入得：
$\begin{aligned}(3\sqrt{2}-1)^2&=(3\sqrt{2})^2 - 2×3\sqrt{2}×1 + 1^2\\&=9×2 - 6\sqrt{2} + 1\\&=18 - 6\sqrt{2} + 1\\&=19 - 6\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$19-6\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式乘方运算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查乘法公式在二次根式运算中的应用，计算时注意准确计算二次根式的平方，避免系数或符号运算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 化简$(\sqrt{5}-2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)^{4025}$的结果是
$\sqrt{5}+2$
。答案
6.$\sqrt{5}+2$
解析
【分析】
观察算式可知，两个底数$\sqrt{5}-2$和$\sqrt{5}+2$的乘积符合平方差公式，且二者的幂的指数仅相差1。我们可以先将指数较大的$(\sqrt{5}+2)^{4025}$拆分为$(\sqrt{5}+2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)$，再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n=(ab)^n$，将指数相同的两个幂合并计算，最后乘剩余的项即可得到化简结果，能有效避免高次幂的复杂计算。
【解析】
第一步：拆分高次幂，将原式变形为指数相同的幂相乘的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\\end{aligned}$
第二步：利用积的乘方逆运算合并同指数的幂：
$\begin{aligned}&=[(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\\end{aligned}$
第三步：用平方差公式计算括号内的乘积：
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$
第四步：代入计算最终结果：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\&=1 × (\sqrt{5}+2)\\&=\sqrt{5}+2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式乘法
【点评】
本题属于二次根式简便运算的常考题型，核心解题技巧是观察底数的结构特征，灵活运用乘法公式和幂的运算性质简化计算，规避直接计算高次幂的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个底数$\sqrt{5}-2$和$\sqrt{5}+2$的乘积符合平方差公式，且二者的幂的指数仅相差1。我们可以先将指数较大的$(\sqrt{5}+2)^{4025}$拆分为$(\sqrt{5}+2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)$，再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n=(ab)^n$，将指数相同的两个幂合并计算，最后乘剩余的项即可得到化简结果，能有效避免高次幂的复杂计算。
【解析】
第一步：拆分高次幂，将原式变形为指数相同的幂相乘的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\\end{aligned}$
第二步：利用积的乘方逆运算合并同指数的幂：
$\begin{aligned}&=[(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\\end{aligned}$
第三步：用平方差公式计算括号内的乘积：
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$
第四步：代入计算最终结果：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^{4024} × (\sqrt{5}+2)\\&=1 × (\sqrt{5}+2)\\&=\sqrt{5}+2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式乘法
【点评】
本题属于二次根式简便运算的常考题型，核心解题技巧是观察底数的结构特征，灵活运用乘法公式和幂的运算性质简化计算，规避直接计算高次幂的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
7. 对比计算：
第一组：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$
$\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}} =$
第二组：$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =$
$\frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}} =$
第一组：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$
$1$
；$\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}} =$
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
。第二组：$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =$
$\sqrt{2}+1$
；$\frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}} =$
$3$
。答案
7.1 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{2}+1$ 3
解析
【分析】
本题考查二次根式的基本运算，解题思路如下：1.二次根式乘法运算直接运用$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算后化简；2.二次根式加减运算先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；3.分母含二次根式的运算，可通过分母有理化或拆分分子的方式化简；4.二次根式乘除混合运算，可先合并根号计算，也可分别化简后再计算，选择简便方法即可。
【解析】
我们依次计算每个式子：
1. 第一组第一个：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式乘法法则，得$\sqrt{3 × \frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$；
2. 第一组第二个：$\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$
先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，再合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
3. 第二组第一个：$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
拆分分子分别除以分母计算：
原式$=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$；
4. 第二组第二个：$\frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
合并根号简便计算：
原式$=\sqrt{\frac{15×3}{5}}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
$\boxed{1}$；$\boxed{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；$\boxed{\sqrt{2}+1}$；$\boxed{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式加减运算、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式四则运算法则的应用，计算时优先考虑简便运算方法，做完后注意检查结果是否为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的基本运算，解题思路如下：1.二次根式乘法运算直接运用$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算后化简；2.二次根式加减运算先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；3.分母含二次根式的运算，可通过分母有理化或拆分分子的方式化简；4.二次根式乘除混合运算，可先合并根号计算，也可分别化简后再计算，选择简便方法即可。
【解析】
我们依次计算每个式子：
1. 第一组第一个：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式乘法法则，得$\sqrt{3 × \frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$；
2. 第一组第二个：$\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$
先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，再合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
3. 第二组第一个：$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
拆分分子分别除以分母计算：
原式$=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$；
4. 第二组第二个：$\frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
合并根号简便计算：
原式$=\sqrt{\frac{15×3}{5}}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
$\boxed{1}$；$\boxed{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；$\boxed{\sqrt{2}+1}$；$\boxed{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式加减运算、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式四则运算法则的应用，计算时优先考虑简便运算方法，做完后注意检查结果是否为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
8. 计算：
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} -5\sqrt{48} +3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\sqrt{6} × (2\sqrt{3} -3\sqrt{\frac{1}{3}})$；
(3) $(5\sqrt{48} + \sqrt{12} -3\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{3} - \sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$；
(5) $\sqrt{12} × \sqrt{3} - (\sqrt{5})^2 + \sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(6) $(\sqrt{5} -1)(\sqrt{5} +1) - (1 - \sqrt{5})^2$。
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} -5\sqrt{48} +3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\sqrt{6} × (2\sqrt{3} -3\sqrt{\frac{1}{3}})$；
(3) $(5\sqrt{48} + \sqrt{12} -3\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{3} - \sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$；
(5) $\sqrt{12} × \sqrt{3} - (\sqrt{5})^2 + \sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(6) $(\sqrt{5} -1)(\sqrt{5} +1) - (1 - \sqrt{5})^2$。
答案
8.(1)$4\sqrt{3}$ (2)$3\sqrt{2}$ (3)21 (4)3 (5)9 (6)$2\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
这组题是二次根式的混合运算，解题的总体思路是：①先将所有非最简二次根式化为最简二次根式；②有括号的优先计算括号内的，也可以根据运算律（乘法分配律等）展开简化计算；③乘除运算优先于加减运算，同时可以结合平方差公式、完全平方公式等整式乘法公式简化计算；④最后合并同类二次根式得到结果，注意结果要为最简形式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9\sqrt{3} +7×2\sqrt{3} -5×4\sqrt{3} +3×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=9\sqrt{3}+14\sqrt{3}-20\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=(9+14-20+1)\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}×2\sqrt{3}-\sqrt{6}×3\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=2\sqrt{18}-3\sqrt{2}\\&=2×3\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\&=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 利用除法分配律，每一项分别除以$\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{48}÷\sqrt{3}+\sqrt{12}÷\sqrt{3}-3\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}\\&=5\sqrt{16}+\sqrt{4}-3\sqrt{\frac{1}{9}}\\&=5×4 +2 -3×\frac{1}{3}\\&=20+2-1=21\end{aligned}$
(4) 先展开乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - \sqrt{3}×1 + \sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\\&=3\end{aligned}$
(5) 先算乘除运算，再算加减运算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{12×3} - (\sqrt{5})^2 + \sqrt{32÷\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{36}-5+\sqrt{64}\\&=6-5+8=9\end{aligned}$
(6) 分别利用平方差公式、完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{5})^2 -1^2] - [1^2 -2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2]\\&=(5-1)-(1-2\sqrt{5}+5)\\&=4-6+2\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$4\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{2}$；(3)$21$；(4)$3$；(5)$9$；(6)$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
这是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式化简能力、运算顺序的掌握，以及运算律、乘法公式的灵活运用，计算时注意先化简再运算，去括号时留意符号变化，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.7
这组题是二次根式的混合运算，解题的总体思路是：①先将所有非最简二次根式化为最简二次根式；②有括号的优先计算括号内的，也可以根据运算律（乘法分配律等）展开简化计算；③乘除运算优先于加减运算，同时可以结合平方差公式、完全平方公式等整式乘法公式简化计算；④最后合并同类二次根式得到结果，注意结果要为最简形式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9\sqrt{3} +7×2\sqrt{3} -5×4\sqrt{3} +3×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=9\sqrt{3}+14\sqrt{3}-20\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=(9+14-20+1)\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}×2\sqrt{3}-\sqrt{6}×3\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=2\sqrt{18}-3\sqrt{2}\\&=2×3\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\&=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 利用除法分配律，每一项分别除以$\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{48}÷\sqrt{3}+\sqrt{12}÷\sqrt{3}-3\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}\\&=5\sqrt{16}+\sqrt{4}-3\sqrt{\frac{1}{9}}\\&=5×4 +2 -3×\frac{1}{3}\\&=20+2-1=21\end{aligned}$
(4) 先展开乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - \sqrt{3}×1 + \sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\\&=3\end{aligned}$
(5) 先算乘除运算，再算加减运算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{12×3} - (\sqrt{5})^2 + \sqrt{32÷\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{36}-5+\sqrt{64}\\&=6-5+8=9\end{aligned}$
(6) 分别利用平方差公式、完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{5})^2 -1^2] - [1^2 -2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2]\\&=(5-1)-(1-2\sqrt{5}+5)\\&=4-6+2\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$4\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{2}$；(3)$21$；(4)$3$；(5)$9$；(6)$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
这是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式化简能力、运算顺序的掌握，以及运算律、乘法公式的灵活运用，计算时注意先化简再运算，去括号时留意符号变化，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.7
