登录
7.(1)如图,写出$△ ABC$与$△ A'B'C'$各顶点的坐标；
(2)判断这两个三角形是通过怎样的变换而得到的？
(3)如果$M(m+1,n-3)$与$M'(2m+1,-8+n)$是两个三角形中的对应点,求$m,n$的值.
(2)判断这两个三角形是通过怎样的变换而得到的？
(3)如果$M(m+1,n-3)$与$M'(2m+1,-8+n)$是两个三角形中的对应点,求$m,n$的值.
答案
解：
(1) $△ ABC$各顶点坐标：$A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；
$△ A'B'C'$各顶点坐标：$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$。
(2) 两个三角形关于$x$轴对称，是通过关于$x$轴作轴对称变换得到的。
(3) 关于$x$轴对称的对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此列方程组：
$\begin{cases}m+1 = 2m+1 \\n-3 = -(-8+n)\end{cases}$
解第一个方程，得$m=0$；
解第二个方程：$n-3=8-n$，$2n=11$，得$n=\dfrac{11}{2}$。
综上，$m$的值为$0$，$n$的值为$\dfrac{11}{2}$。
(1) $△ ABC$各顶点坐标：$A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；
$△ A'B'C'$各顶点坐标：$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$。
(2) 两个三角形关于$x$轴对称，是通过关于$x$轴作轴对称变换得到的。
(3) 关于$x$轴对称的对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此列方程组：
$\begin{cases}m+1 = 2m+1 \\n-3 = -(-8+n)\end{cases}$
解第一个方程，得$m=0$；
解第二个方程：$n-3=8-n$，$2n=11$，得$n=\dfrac{11}{2}$。
综上，$m$的值为$0$，$n$的值为$\dfrac{11}{2}$。
解析
【分析】
(1) 确定各顶点坐标时，根据平面直角坐标系坐标的定义，逐个读取点对应的横坐标（x轴数值）和纵坐标（y轴数值）即可。
(2) 对比两个三角形对应顶点的坐标特征，若横坐标相等、纵坐标互为相反数，说明对应点关于x轴对称，即可判断变换方式。
(3) 利用关于x轴对称的点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，将两个对应点的横、纵坐标分别列等式，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
(1) 根据坐标读取规则可得：
$△ ABC$各顶点坐标：$A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；
$△ A'B'C'$各顶点坐标：$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$。
(2) 观察对应顶点坐标：A与A'、B与B'、C与C'的横坐标均相等，纵坐标均互为相反数，可知两个三角形关于x轴对称，是通过关于x轴的轴对称变换得到的。
(3) 由关于x轴对称的点的坐标规律，列方程组：
$\begin{cases}m+1 = 2m+1 \\n-3 = -(-8+n)\end{cases}$
解第一个方程：移项得$m-2m=1-1$，解得$m=0$。
解第二个方程：化简得$n-3=8-n$，移项合并得$2n=11$，解得$n=\dfrac{11}{2}$。
【答案】
(1) $A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$
(2) 通过关于x轴的轴对称变换得到
(3) $m=0$，$n=\dfrac{11}{2}$
【知识点】
点的坐标表示；关于x轴对称的点的坐标规律；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，结合平面直角坐标系与轴对称性质，既考查了坐标读取的基本能力，又考查了轴对称坐标规律的实际应用，是巩固轴对称坐标变换知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
(1) 确定各顶点坐标时，根据平面直角坐标系坐标的定义，逐个读取点对应的横坐标（x轴数值）和纵坐标（y轴数值）即可。
(2) 对比两个三角形对应顶点的坐标特征，若横坐标相等、纵坐标互为相反数，说明对应点关于x轴对称，即可判断变换方式。
(3) 利用关于x轴对称的点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，将两个对应点的横、纵坐标分别列等式，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
(1) 根据坐标读取规则可得：
$△ ABC$各顶点坐标：$A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；
$△ A'B'C'$各顶点坐标：$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$。
(2) 观察对应顶点坐标：A与A'、B与B'、C与C'的横坐标均相等，纵坐标均互为相反数，可知两个三角形关于x轴对称，是通过关于x轴的轴对称变换得到的。
(3) 由关于x轴对称的点的坐标规律，列方程组：
$\begin{cases}m+1 = 2m+1 \\n-3 = -(-8+n)\end{cases}$
解第一个方程：移项得$m-2m=1-1$，解得$m=0$。
解第二个方程：化简得$n-3=8-n$，移项合并得$2n=11$，解得$n=\dfrac{11}{2}$。
【答案】
(1) $A(2,3)$，$B(-2,2)$，$C(3,1)$；$A'(2,-3)$，$B'(-2,-2)$，$C'(3,-1)$
(2) 通过关于x轴的轴对称变换得到
(3) $m=0$，$n=\dfrac{11}{2}$
【知识点】
点的坐标表示；关于x轴对称的点的坐标规律；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，结合平面直角坐标系与轴对称性质，既考查了坐标读取的基本能力，又考查了轴对称坐标规律的实际应用，是巩固轴对称坐标变换知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
8. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）作出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；
（2）将△ABC 向右平移6个单位长度，作出平移后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标；
（3）观察△A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴，并写出这条对称轴所在直线的方程.
（1）作出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；
（2）将△ABC 向右平移6个单位长度，作出平移后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标；
（3）观察△A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴，并写出这条对称轴所在直线的方程.
答案
解：
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
$△ A_1B_1C_1$各顶点坐标为：$A_1(-1, 4)$，$B_1(2, 2)$，$C_1(1, 1)$。
（2）根据平移的坐标变化规律：向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，分别将点A、B、C向右平移6个单位得到点$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
$△ A_2B_2C_2$各顶点坐标为：$A_2(7, 4)$，$B_2(4, 2)$，$C_2(5, 1)$。
（3）$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于某条直线对称，连接三组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为所求对称轴，这条对称轴所在直线的方程为$\boldsymbol{x=3}$。
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
$△ A_1B_1C_1$各顶点坐标为：$A_1(-1, 4)$，$B_1(2, 2)$，$C_1(1, 1)$。
（2）根据平移的坐标变化规律：向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，分别将点A、B、C向右平移6个单位得到点$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
$△ A_2B_2C_2$各顶点坐标为：$A_2(7, 4)$，$B_2(4, 2)$，$C_2(5, 1)$。
（3）$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于某条直线对称，连接三组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为所求对称轴，这条对称轴所在直线的方程为$\boldsymbol{x=3}$。
解析
【分析】
1. 解决第（1）问时，先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先确定原△ABC三个顶点的坐标，再按照规律求出对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标，描点后顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
2. 解决第（2）问时，用到平移的坐标变化规律：图形向右平移时，各点横坐标加平移单位数，纵坐标不变。将A、B、C的横坐标都加6，纵坐标保持不变，得到平移后$A_2$、$B_2$、$C_2$的坐标，描点连线得到$△ A_2B_2C_2$。
3. 解决第（3）问时，判断两个图形是否轴对称，可观察对应点连线的垂直平分线是否为同一条直线。计算三组对应点横坐标的平均值，发现均为3，且对应点纵坐标相同，因此连线的垂直平分线是竖直直线$x=3$，说明两个图形关于$x=3$对称。
【解析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）根据平移的坐标变化规律：向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，分别将点A、B、C向右平移6个单位得到点$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于某条直线对称，连接三组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为所求对称轴。
计算对应点连线中点的横坐标：$A_1$与$A_2$中点横坐标为$\frac{-1+7}{2}=3$，$B_1$与$B_2$中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，$C_1$与$C_2$中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，因此对称轴为直线$x=3$。
【答案】
（1）$△ A_1B_1C_1$各顶点坐标：$A_1(-1, 4)$，$B_1(2, 2)$，$C_1(1, 1)$；
（2）$△ A_2B_2C_2$各顶点坐标：$A_2(7, 4)$，$B_2(4, 2)$，$C_2(5, 1)$；
（3）是关于某直线对称，对称轴为直线$\boldsymbol{x=3}$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，平移的坐标规律，对称轴的确定
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的对称、平移变换，以及对称轴的确定，属于基础题型，熟练掌握坐标变换的相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 解决第（1）问时，先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先确定原△ABC三个顶点的坐标，再按照规律求出对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标，描点后顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
2. 解决第（2）问时，用到平移的坐标变化规律：图形向右平移时，各点横坐标加平移单位数，纵坐标不变。将A、B、C的横坐标都加6，纵坐标保持不变，得到平移后$A_2$、$B_2$、$C_2$的坐标，描点连线得到$△ A_2B_2C_2$。
3. 解决第（3）问时，判断两个图形是否轴对称，可观察对应点连线的垂直平分线是否为同一条直线。计算三组对应点横坐标的平均值，发现均为3，且对应点纵坐标相同，因此连线的垂直平分线是竖直直线$x=3$，说明两个图形关于$x=3$对称。
【解析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）根据平移的坐标变化规律：向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，分别将点A、B、C向右平移6个单位得到点$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于某条直线对称，连接三组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为所求对称轴。
计算对应点连线中点的横坐标：$A_1$与$A_2$中点横坐标为$\frac{-1+7}{2}=3$，$B_1$与$B_2$中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，$C_1$与$C_2$中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，因此对称轴为直线$x=3$。
【答案】
（1）$△ A_1B_1C_1$各顶点坐标：$A_1(-1, 4)$，$B_1(2, 2)$，$C_1(1, 1)$；
（2）$△ A_2B_2C_2$各顶点坐标：$A_2(7, 4)$，$B_2(4, 2)$，$C_2(5, 1)$；
（3）是关于某直线对称，对称轴为直线$\boldsymbol{x=3}$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，平移的坐标规律，对称轴的确定
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的对称、平移变换，以及对称轴的确定，属于基础题型，熟练掌握坐标变换的相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
