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例1 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在BC上，且$BD=AD$，$DC=AC$。求$∠ B$的度数。
【思路导析】把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后利用方程的思想解题，根据三角形的内角和为$180°$列方程求解。
【请你解答】
【思路导析】把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后利用方程的思想解题，根据三角形的内角和为$180°$列方程求解。
【请你解答】
答案
解：设$∠ B = x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = x$（等边对等角）。
$\because BD = AD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
$\because DC = AC$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ADC = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，
解得$x = 36°$，
即$∠ B = 36°$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = x$（等边对等角）。
$\because BD = AD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
$\because DC = AC$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ADC = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，
解得$x = 36°$，
即$∠ B = 36°$。
解析
【分析】
本题涉及三个等腰三角形，解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质转化相等的角，我们可以设∠B的度数为未知数，将所有相关的角都用含该未知数的代数式表示，最后结合三角形内角和为180°的定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ B = x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = x$（等边对等角）。
$\because BD = AD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
$\because DC = AC$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ADC = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，
解得$x = 36°$，
即$∠ B = 36°$。
【答案】
$∠B=36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将几何角度计算与方程思想结合，降低了求解难度，核心是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形内角和、外角的相关定理梳理角的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题涉及三个等腰三角形，解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质转化相等的角，我们可以设∠B的度数为未知数，将所有相关的角都用含该未知数的代数式表示，最后结合三角形内角和为180°的定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ B = x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = x$（等边对等角）。
$\because BD = AD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
$\because DC = AC$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ADC = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，
解得$x = 36°$，
即$∠ B = 36°$。
【答案】
$∠B=36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将几何角度计算与方程思想结合，降低了求解难度，核心是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形内角和、外角的相关定理梳理角的数量关系。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AC$,$DF⊥ AB$,垂足分别为E,F,求证:$DE=DF$.
【思路导析】因为$AB=AC$,D是BC的中点,由等腰三角形“三线合一”可知,若连接AD,则AD平分$∠ BAC$,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得到$DE=DF$.
【请你解答】
探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 等腰三角形性质的综合运用
【思路导析】因为$AB=AC$,D是BC的中点,由等腰三角形“三线合一”可知,若连接AD,则AD平分$∠ BAC$,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得到$DE=DF$.
【请你解答】
探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 等腰三角形性质的综合运用
答案
证明：
连接AD。
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角，即等腰三角形三线合一性质）。
又∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
连接AD。
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角，即等腰三角形三线合一性质）。
又∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
解析
【分析】
要证明两条垂线段DE=DF，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点D在∠BAC的平分线上即可。已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，D为底边BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD后AD即为∠BAC的平分线，据此即可完成证明。
【解析】
证明：连接AD。
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角，即等腰三角形三线合一性质）。
又
∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
DE=DF
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形性质和角平分线性质的综合应用，解题的突破口是正确添加辅助线AD，利用等腰三角形三线合一得到角平分线，进而通过角平分线的性质得到两条垂线段相等，解题时要注意几何基本性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明两条垂线段DE=DF，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点D在∠BAC的平分线上即可。已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，D为底边BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD后AD即为∠BAC的平分线，据此即可完成证明。
【解析】
证明：连接AD。
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角，即等腰三角形三线合一性质）。
又
∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
DE=DF
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形性质和角平分线性质的综合应用，解题的突破口是正确添加辅助线AD，利用等腰三角形三线合一得到角平分线，进而通过角平分线的性质得到两条垂线段相等，解题时要注意几何基本性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$20°$,求等腰三角形的底角的度数.
【思路导析】三角形的高可能在三角形的内部,也可能在三角形的外部,所以要分类讨论.
【示范解答】(1)当等腰三角形为锐角三角形时,如图1,作$BD⊥ AC$,则$∠ ABD=20°$,
$\therefore ∠ A=90°-∠ ABD=90°-20°=70°$.
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=55°$.
(2)当等腰三角形为钝角三角形时,如图2,作$BD⊥ AC$交$CA$的延长线于点$D$,则$∠ ABD=20°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ D+∠ ABD=90°+20°=110°$.
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=35°$.
$\therefore$ 底角度数为$55°$或$35°$.
变式探究
“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒$OA$,$OB$组成,两根棒在$O$点相连并可绕$O$转动,点$C$固定,$OC=CD=DE$,点$D$,$E$可在槽中滑动.若$∠ BDE=75°$,则$∠ CDE$的度数是()
A. $60°$ B. $65°$ C. $75°$ D. $80°$
学后反思
若条件中没有明确等腰三角形的底和腰,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
【思路导析】三角形的高可能在三角形的内部,也可能在三角形的外部,所以要分类讨论.
【示范解答】(1)当等腰三角形为锐角三角形时,如图1,作$BD⊥ AC$,则$∠ ABD=20°$,
$\therefore ∠ A=90°-∠ ABD=90°-20°=70°$.
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=55°$.
(2)当等腰三角形为钝角三角形时,如图2,作$BD⊥ AC$交$CA$的延长线于点$D$,则$∠ ABD=20°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ D+∠ ABD=90°+20°=110°$.
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=35°$.
$\therefore$ 底角度数为$55°$或$35°$.
变式探究
“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒$OA$,$OB$组成,两根棒在$O$点相连并可绕$O$转动,点$C$固定,$OC=CD=DE$,点$D$,$E$可在槽中滑动.若$∠ BDE=75°$,则$∠ CDE$的度数是()
A. $60°$ B. $65°$ C. $75°$ D. $80°$
学后反思
若条件中没有明确等腰三角形的底和腰,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
答案
解：分两种情况讨论：
(1) 当等腰三角形为锐角三角形时，作$BD⊥AC$于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠ADB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABD=70°$，
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
(2) 当等腰三角形为钝角三角形时，作$BD⊥AC$，交$CA$的延长线于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠D=90°$，
∴ $∠BAD=90°-∠ABD=70°$，
∴ 等腰三角形的顶角$∠BAC=180°-70°=110°$，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-110°)=35°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为$55°$或$35°$。
---
变式探究：
解：∵ $OC=CD=DE$，
∴ $∠O=∠ODC$，$∠DCE=∠DEC$，
由三角形外角的性质得$∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O$，
∴ $∠DEC=2∠O$，
∴ $∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°$，
解得$∠O=25°$，
∴ $∠ODC=∠O=25°$，
∵ $∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°$，
∴ $∠CDE=180°-25°-75°=80°$。
故选D。
(1) 当等腰三角形为锐角三角形时，作$BD⊥AC$于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠ADB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABD=70°$，
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
(2) 当等腰三角形为钝角三角形时，作$BD⊥AC$，交$CA$的延长线于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠D=90°$，
∴ $∠BAD=90°-∠ABD=70°$，
∴ 等腰三角形的顶角$∠BAC=180°-70°=110°$，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-110°)=35°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为$55°$或$35°$。
---
变式探究：
解：∵ $OC=CD=DE$，
∴ $∠O=∠ODC$，$∠DCE=∠DEC$，
由三角形外角的性质得$∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O$，
∴ $∠DEC=2∠O$，
∴ $∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°$，
解得$∠O=25°$，
∴ $∠ODC=∠O=25°$，
∵ $∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°$，
∴ $∠CDE=180°-25°-75°=80°$。
故选D。
解析
例3 解答
【分析】
等腰三角形的高的位置需分两种情况讨论：当三角形是锐角等腰三角形时，腰上的高在三角形内部；当三角形是钝角等腰三角形时，腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的补角），再结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可计算出底角的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
(1) 当等腰三角形为锐角三角形时，作$BD⊥AC$于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠ADB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABD=70°$，
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
(2) 当等腰三角形为钝角三角形时，作$BD⊥AC$，交$CA$的延长线于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠D=90°$，
∴ $∠BAD=90°-∠ABD=70°$，
∴ 等腰三角形的顶角$∠BAC=180°-70°=110°$，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-110°)=35°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为$55°$或$35°$。
【答案】
$55°$或$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易忽略钝角等腰三角形腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解，解题时要结合等腰三角形的类型分类讨论，牢记等腰三角形两底角相等的性质即可求解。
【难度系数】
0.6
---
变式探究 解答
【分析】
根据$OC=CD=DE$的等边条件，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导得出$∠BDE$与$∠O$的倍数关系，先求出$∠O$的度数，再根据平角为180°的性质计算$∠CDE$的度数。
【解析】
∵ $OC=CD=DE$，
∴ $∠O=∠ODC$，$∠DCE=∠DEC$，
由三角形外角的性质得$∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O$，
∴ $∠DEC=2∠O$，
∴ $∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°$，
解得$∠O=25°$，
∴ $∠ODC=∠O=25°$，
∵ $∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°$，
∴ $∠CDE=180°-25°-75°=80°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
解题关键是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，逐步推导角之间的数量关系，梳理清楚角的和差、倍数关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
【分析】
等腰三角形的高的位置需分两种情况讨论：当三角形是锐角等腰三角形时，腰上的高在三角形内部；当三角形是钝角等腰三角形时，腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的补角），再结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可计算出底角的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
(1) 当等腰三角形为锐角三角形时，作$BD⊥AC$于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠ADB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABD=70°$，
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
(2) 当等腰三角形为钝角三角形时，作$BD⊥AC$，交$CA$的延长线于点D，
∵ $∠ABD=20°$，$∠D=90°$，
∴ $∠BAD=90°-∠ABD=70°$，
∴ 等腰三角形的顶角$∠BAC=180°-70°=110°$，
∴ 底角$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-110°)=35°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为$55°$或$35°$。
【答案】
$55°$或$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易忽略钝角等腰三角形腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解，解题时要结合等腰三角形的类型分类讨论，牢记等腰三角形两底角相等的性质即可求解。
【难度系数】
0.6
---
变式探究 解答
【分析】
根据$OC=CD=DE$的等边条件，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导得出$∠BDE$与$∠O$的倍数关系，先求出$∠O$的度数，再根据平角为180°的性质计算$∠CDE$的度数。
【解析】
∵ $OC=CD=DE$，
∴ $∠O=∠ODC$，$∠DCE=∠DEC$，
由三角形外角的性质得$∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O$，
∴ $∠DEC=2∠O$，
∴ $∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°$，
解得$∠O=25°$，
∴ $∠ODC=∠O=25°$，
∵ $∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°$，
∴ $∠CDE=180°-25°-75°=80°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
解题关键是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，逐步推导角之间的数量关系，梳理清楚角的和差、倍数关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
