9.如图,某型号自行车链条每节长为20.45 mm,每两节链条连接部分重叠的圆的直径为7.75 mm.按这种连接方式,一根总长度为1 404.75 mm的自行车链条由节组成.

9.110

【分析】
解题时先观察不同节数链条的长度规律：1节链条长度为20.45mm；每增加1节链条，因为连接处会重叠7.75mm，所以总长度仅增加(20.45-7.75)mm；n节链条共有(n-1)处重叠，因此可先列出n节链条总长度的表达式，再结合已知总长度列一元一次方程求解。
【解析】
设这根自行车链条由$ n $节组成。
n节链条若没有重叠，总长度为$ 20.45n $ mm；
每两节连接有1处重叠，n节共有$ (n-1) $处重叠，每处重叠多计算了7.75mm，因此实际总长度满足方程：
$ 20.45n - 7.75(n-1) = 1404.75 $
展开并化简方程：
$ 20.45n -7.75n +7.75 = 1404.75 $
$ 12.7n +7.75 = 1404.75 $
移项计算得：
$ 12.7n = 1404.75 -7.75 = 1397 $
解得：
$ n = 1397 ÷12.7 = 110 $
【答案】
110
【知识点】
一元一次方程的应用，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究与方程应用结合的题型，解题核心是准确找出重叠部分的数量与链条节数的关系，再根据总长度的等量关系列方程求解，注重考查对图形规律的观察能力和方程的应用能力。
【难度系数】
0.7

10.根据图中给出的信息,解答下列问题(单位:cm).

(1)放入一个小球,水面升高cm;放入一个大球,水面升高cm.
(2)要使水面上升到50 cm,应放入大球、小球各多少个?

10.(1)2 3
(2)设应放入大球 $x$ 个,小球$(10-x)$个,
则 $3x+2(10-x)=50-26$,解得 $x=4$.
故放入大球 4 个,小球 6 个.

【分析】
(1) 首先观察初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度变为32cm，先计算3个小球使水面升高的总高度，再除以3即可得到1个小球使水面升高的高度；同理，放入2个大球后水面高度也为32cm，计算2个大球使水面升高的总高度，除以2即可得到1个大球使水面升高的高度。
(2) 首先计算水面上升到50cm需要升高的总高度，设放入大球的数量为x个，那么小球的数量就是(10-x)个，根据“大球使水面升高的总高度+小球使水面升高的总高度=需要升高的总高度”建立一元一次方程，解方程即可求出大、小球的数量。
【解析】
(1) 初始水面高度为26cm：
放入3个小球后水面高32cm，总升高高度为$32-26=6\mathrm{cm}$，因此放入1个小球水面升高$6÷3=2\mathrm{cm}$；
放入2个大球后水面高32cm，总升高高度也为6cm，因此放入1个大球水面升高$6÷2=3\mathrm{cm}$。
(2) 设应放入大球$x$个，则放入小球$(10-x)$个，水面要上升到50cm，需要升高的总高度为$50-26=24\mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$3x+2(10-x)=24$
展开得：$3x+20-2x=24$
合并同类项得：$x+20=24$
解得：$x=4$
则小球数量为$10-4=6$（个）
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(2) 应放入大球4个，小球6个。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合排水升高的实际场景，考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是先求出单个球对应的水面升高高度，再根据总升高高度建立等量关系，题目贴合生活实际，能有效考查学生分析问题和建立方程解决问题的能力。
【难度系数】
0.7

11.(1)将下列方程化成 $ ax = b $ 的形式.
① $ 2x + 5 = 3x + 1 $; ② $ 5x + 1 = 2x - 1 $; ③ $ 5x - 6 = 8 + 5x $; ④ $ 2x + 5 = \frac{1}{2}(4x + 10) $.
(2)你能通过这些最简形式,判断以上各方程是否有解吗? 若有解,试求出它们的解;若没有解,请说明理由.
(3)在(2)的启示下,对关于 $ x $ 的方程 $ ax = b $ (其中 $ a,b $ 为任意有理数)的解的情况进行讨论.

11.(1)①$x=4$;②$3x=-2$;③$0x=14$;④$0x=0$.
(2)方程①的解为 $x=4$,
方程②的解为 $x=-\dfrac{2}{3}$,
方程③无实数解,
方程④的解为任意实数.
(3)对于方程 $ax=b$,
当 $a≠0$ 时,方程有唯一解,$x=\dfrac{b}{a}$;
当 $a=0$ 且 $b≠0$ 时,方程无实数解;
当 $a=0$ 且 $b=0$ 时,方程的解为任意实数.

【分析】
（1）要将方程化为$ax=b$的形式，只需遵循移项规则（移项要变号），把含x的项统一移到方程左侧，常数项移到方程右侧，再合并同类项即可。
（2）判断方程是否有解，需观察化简后$ax=b$的系数$a$和常数$b$的取值：若$a≠0$，方程有唯一解，两边同时除以$a$即可求出解；若$a=0$，再看$b$的取值，若$b≠0$则等式不可能成立，方程无解；若$b=0$则等式对任意$x$都成立，解为全体实数。
（3）结合前面4个具体方程的解的情况，把规律推广到一般的$ax=b$（$a、b$为有理数）的情况，分三类讨论即可。
【解析】
(1) ① 对$2x + 5 = 3x + 1$移项，得$2x - 3x = 1 - 5$，合并同类项得：$x=4$；
② 对$5x + 1 = 2x - 1$移项，得$5x - 2x = -1 -1$，合并同类项得：$3x=-2$；
③ 对$5x - 6 = 8 + 5x$移项，得$5x - 5x = 8 + 6$，合并同类项得：$0x=14$；
④ 对$2x + 5 = \frac{1}{2}(4x + 10)$先去括号得$2x + 5 = 2x + 5$，移项得$2x - 2x = 5 - 5$，合并同类项得：$0x=0$。
(2) ① 化简结果为$x=4$，$x$的系数不为0，因此方程有唯一解，解为$x=4$；
② 化简结果为$3x=-2$，$x$的系数不为0，两边同时除以3得：$x=-\dfrac{2}{3}$，为方程的唯一解；
③ 化简结果为$0x=14$，左边$0$乘任意实数都为$0$，不可能等于右边的$14$，因此该方程无实数解；
④ 化简结果为$0x=0$，左边$0$乘任意实数都为$0$，和右边相等，因此该方程的解为任意实数。
(3) 对关于$x$的方程$ax=b$（$a,b$为任意有理数），分三类讨论：
当$a≠0$时，方程两边同时除以$a$，可得唯一解$x=\dfrac{b}{a}$；
当$a=0且b≠0$时，等式左边恒为$0$，右边不为$0$，等式不可能成立，方程无实数解；
当$a=0且b=0$时，等式左边恒为$0$，右边也为$0$，对任意实数$x$都成立，因此方程的解为任意实数。
【答案】
(1)①$x=4$;②$3x=-2$;③$0x=14$;④$0x=0$
(2)方程①的解为 $x=4$,
方程②的解为 $x=-\dfrac{2}{3}$,
方程③无实数解,
方程④的解为任意实数.
(3)当 $a≠0$ 时,方程有唯一解,$x=\dfrac{b}{a}$;
当 $a=0$ 且 $b≠0$ 时,方程无实数解;
当 $a=0$ 且 $b=0$ 时,方程的解为任意实数.
【知识点】
移项合并同类项；一元一次方程解的判定；含参方程分类讨论
【点评】
本题从具体的一元一次方程化简出发，逐步引导学生归纳方程解的不同情况，既巩固了基础解方程的操作技能，又渗透了分类讨论的数学思想，能够帮助学生建立从特殊到一般的思维逻辑。
【难度系数】
0.7