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21.人在运动时心跳速率通常和年龄相关，用$a$表示人的年龄，用$b$表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，且$b=0.8(220-a)$.
(1)正常情况下，一个15岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(2)一个45岁的人在运动时，10 s心跳22次，请问他有危险吗？请说明理由.
(1)正常情况下，一个15岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(2)一个45岁的人在运动时，10 s心跳22次，请问他有危险吗？请说明理由.
答案
21.(1)164 次
(2)没有危险.
(2)没有危险.
解析
【分析】
本题给出了运动时所能承受的最高心跳次数$b$和年龄$a$的关系式，解题思路如下：（1）第一问求15岁少年的最高心跳次数，直接将$a=15$代入给定的公式计算即可；（2）第二问判断是否有危险，先把$a=45$代入公式算出45岁人群能承受的每分钟最高心跳数，再将该人10秒的心跳数换算为每分钟的心跳数，将两个数值对比，若实际心跳低于最高承受值则无危险，反之则有危险。
【解析】
(1) 把$a=15$代入公式$b=0.8(220-a)$中：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-15)\\&=0.8×205\\&=164（次）\end{aligned}$
(2) 先计算45岁的人运动时能承受的每分钟最高心跳次数，把$a=45$代入公式：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-45)\\&=0.8×175\\&=140（次）\end{aligned}$
再计算该人每分钟的实际心跳次数：1分钟=60秒，$60÷10=6$，即1分钟包含6个10秒，所以每分钟心跳为$22×6=132$（次）
因为$132＜140$，实际心跳次数低于所能承受的最高次数，所以他没有危险。
【答案】
(1) 164次；(2) 没有危险
【知识点】
代数式代入求值，有理数运算，大小比较
【点评】
本题是联系生活实际的代数应用题，题干清晰易懂，解题核心是正确代入数值计算，再通过大小比较得出结论，侧重考查代数式的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
本题给出了运动时所能承受的最高心跳次数$b$和年龄$a$的关系式，解题思路如下：（1）第一问求15岁少年的最高心跳次数，直接将$a=15$代入给定的公式计算即可；（2）第二问判断是否有危险，先把$a=45$代入公式算出45岁人群能承受的每分钟最高心跳数，再将该人10秒的心跳数换算为每分钟的心跳数，将两个数值对比，若实际心跳低于最高承受值则无危险，反之则有危险。
【解析】
(1) 把$a=15$代入公式$b=0.8(220-a)$中：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-15)\\&=0.8×205\\&=164（次）\end{aligned}$
(2) 先计算45岁的人运动时能承受的每分钟最高心跳次数，把$a=45$代入公式：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-45)\\&=0.8×175\\&=140（次）\end{aligned}$
再计算该人每分钟的实际心跳次数：1分钟=60秒，$60÷10=6$，即1分钟包含6个10秒，所以每分钟心跳为$22×6=132$（次）
因为$132＜140$，实际心跳次数低于所能承受的最高次数，所以他没有危险。
【答案】
(1) 164次；(2) 没有危险
【知识点】
代数式代入求值，有理数运算，大小比较
【点评】
本题是联系生活实际的代数应用题，题干清晰易懂，解题核心是正确代入数值计算，再通过大小比较得出结论，侧重考查代数式的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
22.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照强度E(单位:lx)之间成反比例关系,部分数据如下表.
(1)求出光敏电阻值R与光照强度E之间的关系式.
(2)若要使光照强度不低于5 lx,求光敏电阻值R的最大值.
(1)求出光敏电阻值R与光照强度E之间的关系式.
(2)若要使光照强度不低于5 lx,求光敏电阻值R的最大值.
答案
22.(1)$R=\frac{30}{E}$
(2)$R$ 的最大值为 $6\ \Omega$
(2)$R$ 的最大值为 $6\ \Omega$
解析
【分析】
(1) 题目明确R与E成反比例关系，反比例函数的形式为$ R=\frac{k}{E} $（k为常数且$ k\ne0 $），只需代入表格中一组对应E、R的值求出k，再验证其余数据符合即可得到关系式。
(2) 先将“光照强度不低于5 lx”转化为$ E\ge5 $，结合反比例函数$ R=\frac{30}{E} $的增减性：当k＞0时，E越大R越小，因此E取最小值5时R最大，代入计算即可得R的最大值。
【解析】
(1) 已知R与E成反比例关系，设关系式为$ R=\frac{k}{E}\ (k\ne0) $。
将表格中$ E=1, R=30 $代入得：$ 30=\frac{k}{1} $，解得$ k=30 $。
验证：代入其余组数据，例如$ E=0.5 $时$ R=\frac{30}{0.5}=60 $，与表格数据一致，其余数据均符合该式，因此R与E的关系式为$ R=\frac{30}{E} $。
(2) 由题意得光照强度不低于5 lx，即$ E\ge5 $。
因为$ R=\frac{30}{E} $中k=30＞0，当E＞0时，R随E的增大而减小，所以当E取最小值5时，R取得最大值。
将$ E=5 $代入关系式得：$ R=\frac{30}{5}=6(\Omega) $。
【答案】
(1)$ R=\frac{30}{E} $
(2)$ 6\ \Omega $
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，实际问题最值求解
【点评】
本题结合实验场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据反比例关系求出函数解析式，再结合函数增减性求解最值，侧重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.85
(1) 题目明确R与E成反比例关系，反比例函数的形式为$ R=\frac{k}{E} $（k为常数且$ k\ne0 $），只需代入表格中一组对应E、R的值求出k，再验证其余数据符合即可得到关系式。
(2) 先将“光照强度不低于5 lx”转化为$ E\ge5 $，结合反比例函数$ R=\frac{30}{E} $的增减性：当k＞0时，E越大R越小，因此E取最小值5时R最大，代入计算即可得R的最大值。
【解析】
(1) 已知R与E成反比例关系，设关系式为$ R=\frac{k}{E}\ (k\ne0) $。
将表格中$ E=1, R=30 $代入得：$ 30=\frac{k}{1} $，解得$ k=30 $。
验证：代入其余组数据，例如$ E=0.5 $时$ R=\frac{30}{0.5}=60 $，与表格数据一致，其余数据均符合该式，因此R与E的关系式为$ R=\frac{30}{E} $。
(2) 由题意得光照强度不低于5 lx，即$ E\ge5 $。
因为$ R=\frac{30}{E} $中k=30＞0，当E＞0时，R随E的增大而减小，所以当E取最小值5时，R取得最大值。
将$ E=5 $代入关系式得：$ R=\frac{30}{5}=6(\Omega) $。
【答案】
(1)$ R=\frac{30}{E} $
(2)$ 6\ \Omega $
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，实际问题最值求解
【点评】
本题结合实验场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据反比例关系求出函数解析式，再结合函数增减性求解最值，侧重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.85
23.有依次排列的3个数:3,9,8.对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一组新数串:3,6,9,−1,8,这称为第一次操作;进行同样的第二次操作后也可产生一组新数串:3,3,6,3,9,−10,−1,9,8;继续依次操作下去……从数串3,9,8开始进行一百次操作后产生的新数串的所有数之和是多少？
答案
23.设依次排列的 $n$ 个数为 $a_1,a_2,a_3,···,a_n.$
依题中的操作方法可得新增的数为 $a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,···,a_n-a_{n-1}.$
新增数之和为$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+···+(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1.$
原数串第一次操作后新增 2 个数之和为 $6+(-1)=8-3=5,$
第二次操作后新增 4 个数之和为 $3+3+(-10)+9=8-3=5······$
按此规律,进行一百次操作后产生的新数串的所有数之和为 $3+9+8+100×(8-3)=520.$
依题中的操作方法可得新增的数为 $a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,···,a_n-a_{n-1}.$
新增数之和为$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+···+(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1.$
原数串第一次操作后新增 2 个数之和为 $6+(-1)=8-3=5,$
第二次操作后新增 4 个数之和为 $3+3+(-10)+9=8-3=5······$
按此规律,进行一百次操作后产生的新数串的所有数之和为 $3+9+8+100×(8-3)=520.$
解析
【分析】
我们可以先从计算原数串的和入手，再分别计算前1~2次操作后数串的总和，对比每次操作后总和的变化找规律。进一步推导可知：每次操作新增的数都是相邻两数的差，把这些差相加时中间项会相互抵消，最终新增的和等于数串最后一个数减第一个数，是固定值，利用这个规律就能快速算出100次操作后的总和，不需要逐次罗列所有数计算。
【解析】
首先计算原数串的和：$3+9+8=20$。
第一次操作后新增的数为$6$、$-1$，新增数之和为$6+(-1)=5$，第一次操作后数串总和为$20+5=25$；
第二次操作后新增的数为$3$、$3$、$-10$、$9$，新增数之和为$3+3+(-10)+9=5$，第二次操作后数串总和为$25+5=30$；
规律推导：每次操作新增的数是相邻两数的差，即$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$，化简后得$a_n-a_1$，本题中$a_n=8$，$a_1=3$，因此每次操作新增的和固定为$8-3=5$。
那么100次操作后，新增的总 和为$100×5=500$，所有数的总和为原数和加新增总和：$20+100×5=520$。
【答案】
$520$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 有理数加减法
3. 整式加减化简
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是避开逐次罗列所有数的复杂计算，通过观察新增数的特征，利用加减抵消的思路发现每次操作新增和为定值的规律，体现了整体思想在规律类题型中的应用。
【难度系数】
0.6
我们可以先从计算原数串的和入手，再分别计算前1~2次操作后数串的总和，对比每次操作后总和的变化找规律。进一步推导可知：每次操作新增的数都是相邻两数的差，把这些差相加时中间项会相互抵消，最终新增的和等于数串最后一个数减第一个数，是固定值，利用这个规律就能快速算出100次操作后的总和，不需要逐次罗列所有数计算。
【解析】
首先计算原数串的和：$3+9+8=20$。
第一次操作后新增的数为$6$、$-1$，新增数之和为$6+(-1)=5$，第一次操作后数串总和为$20+5=25$；
第二次操作后新增的数为$3$、$3$、$-10$、$9$，新增数之和为$3+3+(-10)+9=5$，第二次操作后数串总和为$25+5=30$；
规律推导：每次操作新增的数是相邻两数的差，即$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$，化简后得$a_n-a_1$，本题中$a_n=8$，$a_1=3$，因此每次操作新增的和固定为$8-3=5$。
那么100次操作后，新增的总 和为$100×5=500$，所有数的总和为原数和加新增总和：$20+100×5=520$。
【答案】
$520$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 有理数加减法
3. 整式加减化简
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是避开逐次罗列所有数的复杂计算，通过观察新增数的特征，利用加减抵消的思路发现每次操作新增和为定值的规律，体现了整体思想在规律类题型中的应用。
【难度系数】
0.6
