1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 ()

A.$BD=AB$
B.$AC=AD$
C.$∠ ABC=90°$
D.$OD=AC$

1.C

2.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB$与$∠ ABC$的平分线交于点$D$，$DE⊥ BC$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，则四边形$CEDF$的形状为。

2.正方形

3. 新考法逆向思维法 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,$AN$是$△ ABC$外角$∠ CAM$的平分线,$CE ⊥ AN$,垂足为点$E$.
(1)证明:四边形$ADCE$为矩形;
(2)当$△ ABC$满足________时(添加一个条件),四边形$ADCE$是正方形,并证明.

3.(1)【证明】$\because$ 在$△ ABC$中,$AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$.
$\because AN$ 是 $∠ CAM$ 的平分线, $\therefore ∠ MAE = ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ CAM. \therefore ∠ DAE = ∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAM)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
又$\because AD⊥ BC,CE⊥ AN$,
$\therefore ∠ ADC=∠ CEA=90°$.
$\therefore$ 四边形 $ADCE$ 为矩形.
(2)【解】$∠ BAC=90°$(答案不唯一)证明如下：
$\because AB=AC,∠ BAC=90°,\therefore ∠ ACB=∠ B=45°$.
$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ CAD=∠ ACD=45°.\therefore DC=AD$.
$\because$ 四边形 $ADCE$ 为矩形, $\therefore$ 矩形 $ADCE$ 是正方形.

4. 如图，已知$□ ABCD$的对角线AC，BD交于点O，添加条件后，$□ ABCD$不一定是正方形的选项为（）

A.$AB=AD,AC=BD$
B.$AB=BC,AC⊥ BD$
C.$∠ BAD=90°,AC⊥ BD$
D.$∠ AOD=90°,AO=DO$

4.B

5. 新视角动点探究题 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时从O点出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E,F分别到达A,C两点时停止运动),设运动时间为t s.连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形,当t=时,四边形DEBF为正方形.

5.3

6. 母题教材P₂₃习题T₉ 如图，在任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，下列说法错误的是（）

A.四边形EFGH一定是平行四边形
B.若AC=BD，则四边形EFGH为菱形
C.若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形
D.若AC与BD互相平分，且AC=BD，则四边形EFGH是正方形

6.D

7.如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，AG。则下列结论错误的是（）

A.$AG=EF$
B.若$BG=AB$，则$∠DAG=22.5°$
C.若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形
D.若$DG:BG=1:3$，则$S_{△ ADG}=1$

7.D 【点拨】连接 AC 交 BD 于 O,连接 CG,如图.$\because$ 四边形 ABCD 为正方形, $\therefore AB=BC,∠ ABG=∠ CBG,∠ BCD=90°$,在$△ ABG$ 和$△ CBG$ 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABG=∠ CBG, \\ BG=BG, \end{cases}$$\therefore △ ABG≌△ CBG(\mathrm{SAS}),\therefore AG=CG. \because GF⊥ BC,GE⊥ DC,\therefore ∠ GFC=∠ GEC=∠ DCB=90°,$$\therefore$ 四边形 EGF C 是矩形, $\therefore CG=EF$,$\therefore AG=EF$,故 A 正确; $\because AB=BG,\therefore ∠ BAG=∠ BGA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABD)=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°,\therefore ∠ DAG=90°-67.5°=22.5°$,故 B 正确; $\because$ 点 G 为 BD 的中点,$GE// BC$,$\therefore$ 点 E 为 DC 的中点, $\therefore DE=CE$. 又易得$△ DGE$ 是等腰直角三角形, $\therefore DE=GE=EC$. $\because$ 四边形 CEGF 是矩形,$\therefore$ 四边形 CEGF 是正方形,故 C 正确; $\because$ 四边形 ABCD 为正方形, $\therefore AC=BD=2AO,AC⊥ BD$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$2AB^2=BD^2=8$, 解得 $BD=2\sqrt{2},\therefore AO=\sqrt{2}.\because \frac{DG}{BG}=\frac{1}{3},\therefore \frac{DG}{BD}=\frac{1}{4}=\frac{DG}{2\sqrt{2}}$, 解 得 $DG=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore S_{△ ADG}=\frac{1}{2}DG· AO=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}$, 故 D 错误. 故选 D.