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8. ⋄⋄ [2025 内江] 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)。点E在边CD上。将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处。若点F的坐标为(0,3)。则点E的坐标为
$(-\frac{3}{2},5)$
。答案
8.$(-\frac{3}{2},5)$ 【点拨】如图,设 CD 与 y 轴交于点 G,$AB=x$,易知 $DG=OA,AD=AB=OG=x.$ $\because$ 点 B 的坐标为$(1,0),\therefore OA=x-1.$ 由折叠知 $AF=AD=x,DE=EF.$ $\because$ 点 F 的坐标为$(0,3),\therefore OF=3.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中,由勾股定理得 $AF^2=OA^2+OF^2,\therefore x^2=(x-1)^2+3^2$,解得$x=5.$ $\therefore DG=OA=x-1=4.$ 设 $EG=a$,则 $DE=EF=4-a$,$FG=OG-OF=5-3=2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ EFG$中,由勾股定理得 $EF^2=EG^2+GF^2$,$\therefore (4-a)^2=a^2+2^2$,解得 $a=\frac{3}{2}.\therefore$ 点E 的坐标为 $(-\frac{3}{2},5).$
9. 2026·泰州期中 新考法·转化思想 如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设$DE=d_1$，点F，G与点C的距离分别为$d_2$，$d_3$，则$d_1+d_2+d_3$的最小值为
$2\sqrt{2}$
.答案
9.$2\sqrt{2}$ 【点拨】如图,连接 AE,CF,CG. $\because$ 四边形 DEFG 是正方形,$\therefore ∠ EDG=90°,EF=DE=DG.$ $\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AD=CD,∠ ADC=90°,\therefore ∠ ADE=∠ CDG,\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS}),\therefore AE=CG,\therefore d_1+d_2+d_3=DE+CF+CG=EF+CF+AE,\therefore$ 点 A,E,F,C 在同一条直线上时,$EF+CF+AE$ 最小,即$d_1+d_2+d_3$ 最小.连接 AC,则 $d_1+d_2+d_3$ 的最小值为 AC 的长. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$,$\therefore d_1+d_2+d_3$ 的最小值为 $2\sqrt{2}.$
【点方法】此类求$a+b+c$型的最小值问题,解题的关键是通过转化将所有线段变为首尾相连的折线(两定点之间的折线),然后利用“两点之间,线段最短”求最小值(化“折”为“直”).
10. 如图①，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是正方形ABCD的边AB下方一点，连接AE，BE，OE，已知OA = OE，且∠OAE=75°.
(1)试判断△OBE的形状，并说明理由；
(2)如图②，连接DE，求证：$\sqrt{2}AE+BE=DE$.
(1)试判断△OBE的形状，并说明理由；
(2)如图②，连接DE，求证：$\sqrt{2}AE+BE=DE$.
答案
10.(1)【解】$△ OBE$为等边三角形.理由：
$\because OA=OE,\therefore ∠ OEA=∠ OAE=75°.$
$\therefore ∠ AOE=30°.$
$\because$ 四边形ABCD为正方形，
$\therefore AO=BO,∠ AOB=90°.$
$\therefore ∠ BOE=60°,OB=OE.$
$\therefore △ OBE$为等边三角形.
(2)【证明】如图,过点 A 作 $AF⊥ AE$ 交 BE 的延长线于点 F,$\therefore ∠ EAF=90°.$
$\because △ OEB$为等边三角形，
$\therefore ∠ OEB=60°.$
$\because ∠ OEA=75°,\therefore ∠ AEF = 180°-∠ OEB-∠ OEA=45°.$
$\therefore ∠ F=45°=∠ AEF.$
$\therefore △ AEF$为等腰直角三角形,$AE=AF.$
$\therefore EF=\sqrt{2}AE.$
$\because$ 四边形ABCD为正方形，
$\therefore AD=AB,∠ DAB=90°=∠ EAF.$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAF.$
$\therefore △ ADE≌△ ABF(\mathrm{SAS}).\therefore DE=BF.$
$\because BF=EF+BE,\therefore \sqrt{2}AE+BE=DE.$
11. 新视角 动点探究题【问题情境】
(1)已知正方形ABCD,点E在CD的延长线上,以CE为一边构造正方形CEFG,如图①所示,则BE和DG的数量关系为
【继续探究】
(2)若正方形ABCD的边长为4,点E是AD边上的一个动点,以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG,如图②所示.
①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由;
②连接BG,若AE=1,求线段BG的长.
(1)已知正方形ABCD,点E在CD的延长线上,以CE为一边构造正方形CEFG,如图①所示,则BE和DG的数量关系为
$DG=BE$
,位置关系为$DG⊥ BE$
.【继续探究】
(2)若正方形ABCD的边长为4,点E是AD边上的一个动点,以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG,如图②所示.
①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由;
②连接BG,若AE=1,求线段BG的长.
答案
11.【解】(1)$DG=BE$;$DG⊥ BE$
(2)①$DG=BE,DG⊥ BE$. 理由：
延长 BE,交 GD 的延长线于点 H.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 CEFG 是正方形，
$\therefore BC=CD,∠ BCD=∠ ECG=90°,CE=CG,$
$\therefore ∠ BCE=∠ DCG,\therefore △ BCE≌△ DCG(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ EBC=∠ CDG,BE=DG.$
$\because ∠ CDG+∠ EDH=180°-∠ CDE=90°,$
$\therefore ∠ EBC+∠ EDH=90°.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ DEH=∠ CBE,$
$\therefore ∠ EDH+∠ DEH=90°,\therefore ∠ DHE=90°,$
$\therefore DG⊥ BE.$
②过点 G 作 $GM⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 M.
$\because AE=1,AD=4,\therefore DE=3.$
$\because ∠ ECG=∠ DCM=90°,\therefore ∠ ECD=∠ GCM.$
又 $\because EC=CG,∠ EDC=∠ M=90°,$
$\therefore △ ECD≌△ GCM(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DE=GM=3,CM=CD=4,$
$\therefore BM=BC+CM=8,$
$\therefore BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}.$
(2)①$DG=BE,DG⊥ BE$. 理由：
延长 BE,交 GD 的延长线于点 H.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 CEFG 是正方形，
$\therefore BC=CD,∠ BCD=∠ ECG=90°,CE=CG,$
$\therefore ∠ BCE=∠ DCG,\therefore △ BCE≌△ DCG(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ EBC=∠ CDG,BE=DG.$
$\because ∠ CDG+∠ EDH=180°-∠ CDE=90°,$
$\therefore ∠ EBC+∠ EDH=90°.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ DEH=∠ CBE,$
$\therefore ∠ EDH+∠ DEH=90°,\therefore ∠ DHE=90°,$
$\therefore DG⊥ BE.$
②过点 G 作 $GM⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 M.
$\because AE=1,AD=4,\therefore DE=3.$
$\because ∠ ECG=∠ DCM=90°,\therefore ∠ ECD=∠ GCM.$
又 $\because EC=CG,∠ EDC=∠ M=90°,$
$\therefore △ ECD≌△ GCM(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DE=GM=3,CM=CD=4,$
$\therefore BM=BC+CM=8,$
$\therefore BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}.$
