9. [2026亳州期中]若以二元一次方程$x + 2y - b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y = -\dfrac{1}{2}x + b - 1$上，则常数$b =$（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$

将$y = - \frac{1}{2}x + b - 1$两边同乘以 2,得$2y = -x + 2b - 2$,变形为$x + 2y - 2b + 2 = 0$. 结合题意,得$-b = -2b + 2$,解得$b = 2$.

【分析】
解题时首先要理解：若二元一次方程的所有解对应的点都在某条直线上，说明这个二元一次方程和直线转化得到的二元一次方程是同解方程。我们的解题步骤为：第一步把直线的解析式变形为和已知二元一次方程$x+2y-b=0$结构完全相同的形式，第二步让两个方程的常数项相等列出关于$b$的一元一次方程，第三步解方程求出$b$的值即可。
【解析】
先将直线方程$y = -\dfrac{1}{2}x + b - 1$两边同时乘2，可得：
$2y = -x + 2b - 2$
移项整理为和已知方程结构一致的形式：
$x + 2y - 2b + 2 = 0$
因为以方程$x + 2y - b = 0$的解为坐标的点都在该直线上，说明两个方程是同解方程，对应常数项相等，即：
$-b = -2b + 2$
移项计算得：$2b - b = 2$，解得$b = 2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、等式变形、解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程关系的基础典型题，解题核心是理解同一直线对应的二元一次方程整理为相同形式后，对应项参数相等，掌握两者转化规则即可快速作答。
【难度系数】
0.7

10. 如图,一次函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象交于点$(1,2)$,则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}kx+b=y+2,\\mx+n=y+2\end{cases}$的解为 ( )


A.$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1,\\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1,\\y=0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$

∵ 函数$y = kx + b$与$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$,
∴ 一次函数$y = kx + b - 2$与$y = mx + n - 2$的图象交于点$(1,0)$,$\therefore$ 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}kx + b = y + 2, \\ mx + n = y + 2\end{cases}$的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 0 . \end{cases}$

【分析】
解题时首先要明确：两个一次函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。已知$y=kx+b$和$y=mx+n$的交点为$(1,2)$，说明$x=1,y=2$满足这两个函数式。观察题中所求的方程组，可将其变形为$y=kx+b-2$、$y=mx+n-2$，相当于把原来的两个函数整体向下平移2个单位，交点横坐标不变，纵坐标减少2，即可得到新方程组的解；也可以直接将已知交点的函数值代入所求方程组求解。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象交于点$(1,2)$
∴ 当$x=1$时，$k×1 + b=2$，$m×1 + n=2$
将所求方程组$\begin{cases}kx+b=y+2\\mx+n=y+2\end{cases}$的左边代入$x=1$，可得：
$\begin{cases}2=y+2\\2=y+2\end{cases}$
解得$y=0$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$，对应选项C
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点的意义，等式变形
【点评】
本题是一次函数和二元一次方程组结合的典型基础题，核心考查对“两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”的理解，只要掌握这个对应关系，结合简单的变形或代入就能快速求解。
【难度系数】
0.7

11. 若直线$y = x - 4$与直线$y = -x + 2b$的交点在第四象限,则$b$的取值范围是（）

A.$-2 ＜ b ＜ 4$
B.$-2 ＜ b ＜ 2$
C.$b ＜ -2$或$b ＞ 2$
D.$b ＞ 2$

通解：联立得$\begin{cases} y = x - 4, \\ y = -x + 2b \end{cases}$,解得$\begin{cases} x = 2 + b, \\ y = b - 2. \end{cases}$
∵ 交点在第四象限,$\therefore \begin{cases} 2 + b ＞ 0, \\ b - 2 ＜ 0, \end{cases}$$\therefore -2 ＜ b ＜ 2$.
另解：直线$y = x - 4$经过第一、三、四象限,与$y$轴交于点$(0,-4)$,直线$y = -x + 2b$必经过第二、四象限,与$y$轴交于点$(0,2b)$. 当两直线交点在第四象限时,$2b$的值在$-4$和$4$之间,即$-4 ＜ 2b ＜ 4$,所以$-2 ＜ b ＜ 2$.

【分析】
要确定b的取值范围，首先需先求出两条直线的交点坐标：两个一次函数图象的交点坐标就是对应两个二元一次方程组成的方程组的解，因此可联立两个直线解析式得到方程组，求解得到用b表示的交点横、纵坐标；再结合第四象限内点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0），列出关于b的一元一次不等式组，解不等式组即可得到b的取值范围。
【解析】
联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases} y = x - 4 \\ y = -x + 2b \end{cases}$
将两个方程联立消去y，得$x - 4 = -x + 2b$，
移项合并同类项得$2x = 2b + 4$，解得$x = b + 2$，
将$x = b + 2$代入$y = x - 4$，得$y = b + 2 - 4 = b - 2$，
即交点坐标为$(b+2, b-2)$。
∵ 交点在第四象限，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，
∴ 可得不等式组：$\begin{cases} b + 2 ＞ 0 \\ b - 2 ＜ 0 \end{cases}$
解不等式$b + 2 ＞ 0$，得$b ＞ -2$；
解不等式$b - 2 ＜ 0$，得$b ＜ 2$。
综上，b的取值范围是$-2 ＜ b ＜ 2$，故选B。
【答案】
B

【知识点】
一次函数交点求解，象限点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题将一次函数与不等式组结合考查，核心是掌握一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，熟记各象限内点的坐标符号特点即可顺利求解，是一次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

12. [2025潍坊中考改编] 如图，一次函数$y = k_1x + b$的图象经过点$A(0,4)$，与$x$轴交于点$B$，与正比例函数$y = k_2x$的图象交于点$P(1,2)$，则下列结论正确的是________.(填序号)
①$k_1 - k_2 ＞0$；②$P$为$AB$的中点；③方程$k_1x + b = k_2x$的解是$x=2$；④当$x ＜1$时，$k_1x + b ＞ k_2x$.

把$P(1,2)$代入$y = k_2x$,得$k_2 = 2$. 把$A(0,4)$,$P(1,2)$分别代入$y = k_1x + b$,得$\begin{cases} b = 4, \\ k_1 + b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1 = -2, \\ b = 4, \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数$y = k_1x + b$的表达式为$y = -2x + 4$. 当$y = 0$时,$-2x + 4 = 0$,解得$x = 2$,$\therefore B(2,0)$. $\because k_1 = -2,k_2 = 2$,$\therefore k_1 - k_2 = -2 - 2 = -4 ＜ 0$,故①不符合题意. $\because A(0,4),B(2,0)$,$P(1,2)$,且$\begin{cases} 1 = \frac{0 + 2}{2}, \\ 2 = \frac{4 + 0}{2}, \end{cases}$$\therefore P$为$AB$的中点,故②符合题意. $\because$ 一次函数$y = k_1x + b$与正比例函数$y = k_2x$的图象交于点$P(1,2)$,$\therefore$ 方程$k_1x + b = k_2x$的解是$x = 1$,故③不符合题意. 由题图得,当$x ＜ 1$时,$k_1x + b ＞ k_2x$,故④符合题意.

【分析】
解题可按以下思路展开：第一步，先用待定系数法，结合已知点坐标求出两个函数的未知系数$k_1$、$k_2$、$b$，再求出一次函数与x轴交点B的坐标；第二步逐个判断四个结论：①计算$k_1-k_2$的值判断正负；②根据A、B、P三点坐标，利用“中点的横、纵坐标分别为两端点横、纵坐标的平均值”判断P是否为AB中点；③两个函数图象交点的横坐标就是对应方程$k_1x+b=k_2x$的解，据此判断；④观察$x＜1$时两个函数图象的上下位置，上方的函数对应的函数值更大，即可判断结论正误。
【解析】
1. 求函数系数与点B坐标：
把$P(1,2)$代入$y = k_2x$，得$k_2 = 2$。
把$A(0,4)$、$P(1,2)$分别代入$y = k_1x + b$，得方程组：
$\begin{cases} b = 4 \\ k_1 + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1 = -2 \\ b = 4 \end{cases}$，因此一次函数解析式为$y=-2x+4$。
令$y=0$，代入一次函数解析式得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。
2. 逐个判断结论：
① 代入$k_1=-2$，$k_2=2$，得$k_1 - k_2 = -2-2=-4＜0$，故①不符合题意；
② 线段AB中点的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，与P点坐标一致，因此P为AB的中点，故②符合题意；
③ 两个函数图象的交点横坐标就是方程$k_1x+b=k_2x$的解，交点P的横坐标为1，因此方程的解是$x=1$，故③不符合题意；
④ 观察图象可得，当$x＜1$时，一次函数$y=k_1x+b$的图象在正比例函数$y=k_2x$的图象上方，即此时$k_1x+b ＞ k_2x$，故④符合题意。
【答案】
②④
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数部分的典型考题，综合考查多个基础知识点，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式，理解函数图象特征和方程、不等式的对应关系。
【难度系数】
0.7

13. 如图,已知点$A(-2,3)$,$B(2,1)$,直线$y=kx+k$经过点$P(-1,0)$.当该直线与线段$AB$有交点时,$k$的取值范围是.

如图,若该直线与线段$AB$有交点,则当$x = 2$时,$y ≥ 1$,即$2k + k ≥ 1$,解得$k ≥ \frac{1}{3}$. 当$x = -2$时,$y ≥ 3$,即$-2k + k ≥ 3$,解得$k ≤ -3$,$\therefore k$的取值范围是$k ≥ \frac{1}{3}$或$k ≤ -3$.

【分析】
要解决过定点的直线与线段AB有交点时k的取值范围问题，首先明确直线y=kx+k恒过定点P(-1,0)，直线与线段相交的边界情况为直线刚好经过线段的两个端点A、B。我们可以先分别求出直线过A点、B点时对应的k值，再结合函数图像的变化趋势，判断要使直线与线段有交点时k的取值方向，即可得到k的完整范围。
【解析】
解：已知直线y=kx+k过定点P(-1,0)，若该直线与线段AB有交点，分两种边界情况讨论：
1. 当直线经过点B(2,1)时，将x=2，y=1代入y=kx+k，得：
$2k + k =1$，解得$k=\frac{1}{3}$，
当$k≥\frac{1}{3}$时，直线在x=2处的函数值≥1，此时直线与线段AB有交点；
2. 当直线经过点A(-2,3)时，将x=-2，y=3代入y=kx+k，得：
$-2k +k=3$，解得$k=-3$，
当$k≤-3$时，直线在x=-2处的函数值≥3，此时直线与线段AB有交点。
综上，k的取值范围为$k≥\frac{1}{3}$或$k≤-3$。
【答案】

$k\ge \frac{1}{3}$或$k\le -3$
【知识点】
1. 一次函数图像性质
2. 一次函数点坐标特征
3. 参数范围求解
【点评】
本题是一次函数交点类的典型题型，解题核心是抓住过定点直线的边界相交情况，通过代入端点坐标求出参数的边界值，再结合图像判断参数的取值区间，解题时注意不要漏解反向的取值范围。
【难度系数】
0.6

14. [2025无锡天一、格致中学联考] 如图,一次函数$y_1=x+m$的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,函数$y_1=x+m$与$y_2=-2x$的图象交于第四象限的点C,且点C的横坐标为1.
(1)求m的值;
(2)观察图象,当x满足时,$y_1＜y_2＜0$;
(3)在x轴上有一点$P(n,0)$,过点P作x轴的垂线,分别交函数$y_1=x+m$和$y_2=-2x$的图象于点D,E.若$DE=3OB$,求n的值.

(1)将$x = 1$代入$y_2 = -2x$,得$y_2 = -2$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为$(1,-2)$.
将$C(1,-2)$代入$y_1 = x + m$,得$-2 = 1 + m$,解得$m = -3$.
(2)$0 ＜ x ＜ 1$
(3)对于函数$y_1 = x - 3$,令$x = 0$,得$y = -3$,
$\therefore$ 点 B 的坐标为$(0,-3)$,$\therefore OB = 3$.
$\because$ 在 x 轴上有一点$P(n,0)$,过点 P 作 x 轴的垂线,分别交函数$y_1 = x + m$和$y_2 = -2x$的图象于点 D,E.
$\therefore D(n,n - 3)$,$E(n,-2n)$.
当$n ≤ 1$时,点 E 在点 D 上方,则$DE = -2n - (n - 3) = -3n + 3$.
$\because DE = 3OB$,$\therefore -3n + 3 = 3 × 3$,解得$n = -2$;
当$n ＞ 1$时,点 D 在点 E 上方,则$DE = n - 3 - ( - 2n ) = 3n - 3$.
$\because DE = 3OB$,$\therefore 3n - 3 = 3 × 3$,解得$n = 4$.
综上可知,$n$的值为 4 或 -2.

【分析】
(1) 求m的值：已知交点C的横坐标为1，先代入y₂=-2x求出C点坐标，再将C点坐标代入y₁=x+m即可解方程求出m。
(2) 求y₁＜y₂＜0的x范围：先解y₂＜0得到x的取值范围，再结合图象，y₁＜y₂对应交点C左侧的x范围，取两个范围的公共部分即可。
(3) 求n的值：先求出B点坐标得到OB长度，进而得到DE的长度；D、E两点横坐标均为n，代入函数可得两点纵坐标，由于两点上下位置随n变化，分n≤1（E在D上方）和n＞1（D在E上方）两种情况，根据纵坐标差等于DE长度列方程求解即可。
【解析】
(1) 将$x = 1$代入$y_2 = -2x$，得$y_2 = -2×1=-2$，
$\therefore$ 点 C 的坐标为$(1,-2)$。
将$C(1,-2)$代入$y_1 = x + m$，得$-2 = 1 + m$，
解得$m = -3$。
(2) 先解$y_2＜0$：$-2x＜0$，解得$x＞0$；
观察图象可得，当$x＜1$时，$y_1$的图象在$y_2$下方，即$y_1＜y_2$，
因此两个条件的公共范围为$0 ＜ x ＜ 1$。
(3) 对于$y_1 = x - 3$，令$x = 0$，得$y = -3$，
$\therefore$ 点B坐标为$(0,-3)$，$OB = 3$，则$DE=3OB=9$。
由题意得，D、E横坐标均为n，$\therefore D(n,n - 3)$，$E(n,-2n)$。
①当$n ≤ 1$时，E在D上方：
$DE = -2n - (n - 3) = -3n + 3$，
$\therefore -3n + 3 = 9$，解得$n = -2$，符合取值范围；
②当$n ＞ 1$时，D在E上方：
$DE = n - 3 - ( - 2n ) = 3n - 3$，
$\therefore 3n - 3 = 9$，解得$n = 4$，符合取值范围。
综上，n的值为4或-2。
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$0＜x＜1$；(3)$n=4$或$n=-2$
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与不等式，分类讨论
【点评】
本题是一次函数综合基础题，前两问侧重考查一次函数的基础性质和数形结合思想，第三问需要分类讨论两点的位置关系，可有效锻炼思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6

15. 如图，一条笔直的公路上依次有A,C,B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以45 km/h的速度由B地匀速驶往C地. 如图，折线DEF和线段GH分别表示客车、货车与C地的路程 y(km)与客车行驶时间 x(h)之间的函数关系，线段 EF 与 GH 相交于点 M.
(1)A,B两地相距km；
(2)求折线 DEF 对应的 y 关于 x 的函数表达式；
(3)求点 M 的坐标，并写出点 M 的实际意义.

(1)420
由题图知,$AC = 120\ \mathrm{km}$,$BC = 300\ \mathrm{km}$,则$AB = AC + BC = 420\ \mathrm{km}$.
(2)客车的速度为$\frac{120}{2} = 60(\mathrm{km/h})$,到达 B 地时行驶了$\frac{420}{60} = 7(\mathrm{h})$.
当$0 ≤ x ≤ 2$时,$y = 120 - 60x$;
当$2 ＜ x ≤ 7$时,$y = 60x - 120$.
$\therefore$ 折线 DEF 对应的 y 关于 x 的函数表达式为
$y = \begin{cases} 120 - 60x ( 0 ≤ x ≤ 2 ), \\ 60x - 120 ( 2 ＜ x ≤ 7 ). \end{cases}$
(3)由题意,得线段 GH 对应的函数表达式为$y = 300 - 45x( 0 ≤ x ≤ \frac{20}{3} )$.
线段 EF 对应的函数表达式为$y = 60x - 120( 2 ＜ x ≤ 7 )$.
令$300 - 45x = 60x - 120$,解得$x = 4$.
当$x = 4$时,$y = 300 - 45x = 300 - 45 × 4 = 120$,
$\therefore$ 点 M 的坐标为$(4,120)$,
$\therefore$ 点 M 的实际意义为两车行驶 4 h 时,两车相遇,距离点 C 处 120 km.

【分析】
(1) 先观察函数图像：y轴表示车辆与C地的路程，x=0时客车距离C地120km，即AC=120km；货车距离C地300km，即BC=300km，A、C、B依次分布在公路上，因此AB的距离为AC与BC的和。
(2) 折线DEF对应客车的运动过程，分两段分析：①0~2h客车从A驶向C，先通过2h行驶120km求出客车速度，此时距离C地的路程随时间增大而减小，列对应函数式；②2h后客车驶过C地驶向B地，距离C地的路程随时间增大而增大，先算出客车走完全程的时间确定定义域，再列对应函数式。
(3) 先根据货车的速度和初始距离C地的路程，写出GH对应的函数表达式；点M是EF和GH的交点，即两个函数的函数值相等时的x、y，联立两个函数式解方程即可得到M坐标，其实际意义为此时两车到C地的距离相等，即两车相遇。
【解析】
(1) 由图像可知，AC=120km，BC=300km，因此A、B两地相距$AB=AC+BC=120+300=420\ \mathrm{km}$。
(2) 客车的速度为$\frac{120}{2}=60(\mathrm{km/h})$，客车从A到B全程420km，行驶总时间为$\frac{420}{60}=7(\mathrm{h})$。
当$0 ≤ x ≤ 2$时，客车从A驶向C，距离C地的路程$y=120 - 60x$；
当$2 ＜ x ≤ 7$时，客车驶过C地驶向B地，距离C地的路程$y=60(x-2)=60x - 120$。
因此折线DEF对应的y关于x的函数表达式为
$y = \begin{cases} 120 - 60x ( 0 ≤ x ≤ 2 ), \\ 60x - 120 ( 2 ＜ x ≤ 7 ). \end{cases}$
(3) 货车从B地驶向C地，初始距离C地300km，速度为45km/h，因此线段GH对应的函数表达式为$y = 300 - 45x( 0 ≤ x ≤ \frac{20}{3} )$。
线段EF对应的函数表达式为$y = 60x - 120( 2 ＜ x ≤ 7 )$，联立两个函数式：
$\begin{cases}y=300-45x\\y=60x-120\end{cases}$
解得$300 - 45x = 60x - 120$，$105x=420$，$x = 4$，代入得$y = 300 - 45 × 4 = 120$。
因此点M的坐标为$(4,120)$，实际意义为：两车行驶4h时，距离C地均为120km，两车相遇。
【答案】
(1) $\boxed{420}$
(2) $y = \begin{cases} 120 - 60x ( 0 ≤ x ≤ 2 ), \\ 60x - 120 ( 2 ＜ x ≤ 7 ) \end{cases}$
(3) 点M的坐标为$\boxed{(4,120)}$，实际意义为：两车行驶4h时，距离C地均为120km，两车相遇。
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程的关系
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，需要学生准确理解函数图像横纵坐标的含义，掌握分段函数解析式的求法，通过联立方程求解函数交点，能有效提升学生提取图像信息、将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6