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1. 一题多解 若关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x=2$，则直线$y = ax + b$一定经过点（
A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(1,0)$
D.$(0,1)$
A
）A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(1,0)$
D.$(0,1)$
答案
∵ 关于x的方程ax + b = 0的解是x = 2,
∴ 在一次函数y = ax + b中,当x = 2时,y = 0,
∴ 直线y = ax + b经过点(2,0).[函数y = kx + b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标⇔方程kx + b = 0(k≠0)的解]
另解:
∵ 关于x的方程ax + b = 0的解是x = 2,
∴ 2a + b = 0,
∴ b = -2a,
∴ y = ax + b = ax - 2a = a(x - 2).当x = 2时,y = 0,
∴ 直线y = ax + b一定经过点(2,0).
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路一：利用一次函数与一元一次方程的对应关系，一元一次方程$ax+b=0$的解，就是对应的一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的$x$的值，也就是直线与$x$轴交点的横坐标，已知方程解为$x=2$，即可直接得到直线经过的点。思路二：先把方程的解$x=2$代入方程，得到$a$与$b$的数量关系，再代入一次函数解析式，分析$x$取何值时$y$的值固定，即可确定直线一定经过的定点。
【解析】
解法1：
∵ 关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 2$，
∴ 在一次函数$y = ax + b$中，当$x = 2$时，$y = 0$，
∴ 直线$y = ax + b$经过点$(2,0)$。
解法2：
∵ 关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 2$，
将$x=2$代入方程得：$2a + b = 0$，即$b = -2a$，
把$b=-2a$代入直线解析式得：$y = ax - 2a = a(x - 2)$，
当$x=2$时，$y = a×(2-2)=0$，与$a$的取值无关，
∴ 直线$y = ax + b$一定经过点$(2,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数与一元一次方程的联系 2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，核心考查一次函数与一元一次方程的对应关系，既可以直接利用规律快速得出答案，也可以通过代入推导验证，两种方法都需要熟练掌握，是后续学习一次函数与不等式、方程组关系的基础。
【难度系数】
0.9
解题有两种常见思路：思路一：利用一次函数与一元一次方程的对应关系，一元一次方程$ax+b=0$的解，就是对应的一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的$x$的值，也就是直线与$x$轴交点的横坐标，已知方程解为$x=2$，即可直接得到直线经过的点。思路二：先把方程的解$x=2$代入方程，得到$a$与$b$的数量关系，再代入一次函数解析式，分析$x$取何值时$y$的值固定，即可确定直线一定经过的定点。
【解析】
解法1：
∵ 关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 2$，
∴ 在一次函数$y = ax + b$中，当$x = 2$时，$y = 0$，
∴ 直线$y = ax + b$经过点$(2,0)$。
解法2：
∵ 关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 2$，
将$x=2$代入方程得：$2a + b = 0$，即$b = -2a$，
把$b=-2a$代入直线解析式得：$y = ax - 2a = a(x - 2)$，
当$x=2$时，$y = a×(2-2)=0$，与$a$的取值无关，
∴ 直线$y = ax + b$一定经过点$(2,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数与一元一次方程的联系 2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，核心考查一次函数与一元一次方程的对应关系，既可以直接利用规律快速得出答案，也可以通过代入推导验证，两种方法都需要熟练掌握，是后续学习一次函数与不等式、方程组关系的基础。
【难度系数】
0.9
2. [2025南京秦淮区期末]已知一次函数$y = kx + b$（$k,b$为常数）的函数值$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
则关于$x$的方程$kx + b = 0$的解为
则关于$x$的方程$kx + b = 0$的解为
x = -1
。答案
由题表,得当x = 0时,y = -2;当x = 1时,y = -4,
∴ $\begin{cases} b = -2, \\ k + b = -4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = -2, \end{cases}$
∴ y = -2x - 2. 令y = 0,得-2x - 2 = 0,解得x = -1. (若表格中有y = 0,则对应x的值即为所求方程的解)
∴ $\begin{cases} b = -2, \\ k + b = -4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = -2, \end{cases}$
∴ y = -2x - 2. 令y = 0,得-2x - 2 = 0,解得x = -1. (若表格中有y = 0,则对应x的值即为所求方程的解)
解析
【分析】
要解关于x的方程$kx+b=0$，本质是求一次函数$y=kx+b$的函数值为0时对应的自变量x的值。我们可以先利用表格给出的x、y对应值，用待定系数法求出一次函数解析式中的k和b，再令y=0解方程即可得到答案。
【解析】
解：由表格可知，当$x=0$时，$y=-2$；当$x=1$时，$y=-4$，将两组值代入一次函数$y=kx+b$中，得：
$\begin{cases} b = -2 \\ k + b = -4 \end{cases}$
把$b=-2$代入第二个方程，得$k + (-2) = -4$，解得$k=-2$
因此一次函数解析式为$y = -2x - 2$
令$y=0$，即$-2x - 2 = 0$
移项得：$-2x = 2$
解得$x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查一次函数和一元一次方程的联系，解题的核心是先通过已知的对应值求出函数解析式，再结合方程的意义求解，掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$kx+b=0$，本质是求一次函数$y=kx+b$的函数值为0时对应的自变量x的值。我们可以先利用表格给出的x、y对应值，用待定系数法求出一次函数解析式中的k和b，再令y=0解方程即可得到答案。
【解析】
解：由表格可知，当$x=0$时，$y=-2$；当$x=1$时，$y=-4$，将两组值代入一次函数$y=kx+b$中，得：
$\begin{cases} b = -2 \\ k + b = -4 \end{cases}$
把$b=-2$代入第二个方程，得$k + (-2) = -4$，解得$k=-2$
因此一次函数解析式为$y = -2x - 2$
令$y=0$，即$-2x - 2 = 0$
移项得：$-2x = 2$
解得$x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查一次函数和一元一次方程的联系，解题的核心是先通过已知的对应值求出函数解析式，再结合方程的意义求解，掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. [2024扬州中考]如图,已知一次函数$y = kx + b$($k≠0$)的图象分别与$x,y$轴交于$A,B$两点,若$OA = 2,OB = 1$,则关于$x$的方程$kx + b = 0$的解为
x = -2
.答案
∵ OA = 2,
∴ 一次函数y = kx + b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(-2,0),
∴ 关于x的方程kx + b = 0的解为x = -2.
解析
【分析】
要解关于x的方程$kx+b=0$，首先明确一次函数与对应一元一次方程的关系：一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解。接下来结合已知的$OA=2$和点A在x轴负半轴的位置特征，确定A点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
∵ 关于x的方程$kx+b=0$的解，是一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，
又$OA=2$，且点A位于x轴负半轴，
∴ 一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点A的坐标为$(-2,0)$，即当$y=0$时，$x=-2$，
∴ 关于x的方程$kx+b=0$的解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的内在联系，解题的核心是掌握“一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解”，结合图象信息可直接求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$kx+b=0$，首先明确一次函数与对应一元一次方程的关系：一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解。接下来结合已知的$OA=2$和点A在x轴负半轴的位置特征，确定A点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
∵ 关于x的方程$kx+b=0$的解，是一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，
又$OA=2$，且点A位于x轴负半轴，
∴ 一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点A的坐标为$(-2,0)$，即当$y=0$时，$x=-2$，
∴ 关于x的方程$kx+b=0$的解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的内在联系，解题的核心是掌握“一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解”，结合图象信息可直接求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4. [2026 盐城高新实验中学月考]如图,直线 $ y = 2x $ 与 $ y = kx + b $ 相交于点 $ P(m,2) $,则关于 $ x $ 的方程 $ kx + b = 2 $ 的解是
x = 1
.答案
∵ 直线y = 2x与y = kx + b相交于点P(m,2),
∴ 2m = 2,
∴ m = 1.
∵ P(1,2)在直线y = kx + b上,
∴ 当x = 1时,y = kx + b = 2,
∴ 关于x的方程kx + b = 2的解是x = 1.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，交点P(m,2)同时在两条直线上，先将P点代入已知的直线y=2x，即可求出m的值，得到P点的完整坐标；第二步，明确方程kx+b=2的解的含义：就是一次函数y=kx+b的函数值为2时，对应的自变量x的取值，也就是直线y=kx+b上纵坐标为2的点的横坐标，刚好就是交点P的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
∵ 直线$y = 2x$与$y = kx + b$相交于点$P(m,2)$，
∴ 点$P(m,2)$在直线$y=2x$上，代入得$2m = 2$，
解得$m = 1$，即点P坐标为$(1,2)$。
∵ $P(1,2)$在直线$y = kx + b$上，说明当$x=1$时，$kx+b$的取值为2，
∴ 关于$x$的方程$kx + b = 2$的解是$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的关联，核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数上指定函数值对应的自变量取值的对应关系，解题突破口是先通过已知直线求出交点的横坐标，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，交点P(m,2)同时在两条直线上，先将P点代入已知的直线y=2x，即可求出m的值，得到P点的完整坐标；第二步，明确方程kx+b=2的解的含义：就是一次函数y=kx+b的函数值为2时，对应的自变量x的取值，也就是直线y=kx+b上纵坐标为2的点的横坐标，刚好就是交点P的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
∵ 直线$y = 2x$与$y = kx + b$相交于点$P(m,2)$，
∴ 点$P(m,2)$在直线$y=2x$上，代入得$2m = 2$，
解得$m = 1$，即点P坐标为$(1,2)$。
∵ $P(1,2)$在直线$y = kx + b$上，说明当$x=1$时，$kx+b$的取值为2，
∴ 关于$x$的方程$kx + b = 2$的解是$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的关联，核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数上指定函数值对应的自变量取值的对应关系，解题突破口是先通过已知直线求出交点的横坐标，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 若一次函数$y=kx+b$与$y=mx$的图象交于点$(2,4)$,则关于$x$的方程$(2k + b)x = mx + m$的解为$x=$
1
.答案
∵ 一次函数y = kx + b与y = mx的图象交于点(2,4),
∴ 当x = 2时,kx + b = mx,m≠0,
∴ 2k + b = 2m. 由(2k + b)x = mx + m,得2mx = mx + m.
∵ m≠0,
∴ x = 1.
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数图象交点的含义：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，即当x取交点的横坐标时，两个函数的y值相等。我们可以先利用交点(2,4)得到k、b、m三者的数量关系，再将这个关系代入待求解的含参数方程中，消去参数k、b，转化为只含m的一元一次方程，最后结合一次函数的定义（一次项系数不为0）求解即可。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b$与$y=mx$的图象交于点$(2,4)$，
∴ 当$x=2$时，两个函数的函数值相等，即$2k + b = 2m$，且$y=mx$是一次函数，因此$m≠0$。
将$2k + b = 2m$代入方程$(2k + b)x = mx + m$，可得：
$2mx = mx + m$
移项得：$2mx - mx = m$
合并同类项得：$mx = m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$，得$x=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
一次函数交点性质；一元一次方程解法；一次函数定义
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程结合的典型题型，解题核心是利用一次函数交点的代数意义得到参数间的关系，再通过代入消元简化方程求解，考察了学生对函数与方程对应关系的理解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一次函数图象交点的含义：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，即当x取交点的横坐标时，两个函数的y值相等。我们可以先利用交点(2,4)得到k、b、m三者的数量关系，再将这个关系代入待求解的含参数方程中，消去参数k、b，转化为只含m的一元一次方程，最后结合一次函数的定义（一次项系数不为0）求解即可。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b$与$y=mx$的图象交于点$(2,4)$，
∴ 当$x=2$时，两个函数的函数值相等，即$2k + b = 2m$，且$y=mx$是一次函数，因此$m≠0$。
将$2k + b = 2m$代入方程$(2k + b)x = mx + m$，可得：
$2mx = mx + m$
移项得：$2mx - mx = m$
合并同类项得：$mx = m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$，得$x=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
一次函数交点性质；一元一次方程解法；一次函数定义
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程结合的典型题型，解题核心是利用一次函数交点的代数意义得到参数间的关系，再通过代入消元简化方程求解，考察了学生对函数与方程对应关系的理解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
6. [2024广东中考]已知不等式$kx + b ＜ 0$的解集是$x ＜ 2$,则一次函数$y = kx + b$的图象大致是 (
B
)答案
选项A中不等式kx + b ＜ 0的解集是x ＞ -2;选项B中不等式kx + b ＜ 0的解集是x ＜ 2;选项C中不等式kx + b ＜ 0的解集是x ＜ -2;选项D中,不等式kx + b ＜ 0的解集是x ＞ 2. 选项B正确.
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数和一元一次不等式的关联：不等式$kx+b＜0$的解集，就是一次函数$y=kx+b$的图象位于x轴下方时对应的自变量x的取值范围，且不等式的边界值就是一次函数与x轴交点的横坐标。第一步先判断k的符号：已知解集为$x＜2$，解不等式时不等号方向未改变，说明$k＞0$，一次函数图象从左到右上升；第二步确定函数与x轴的交点：方程$kx+b=0$的解为$x=2$，即函数与x轴交于点$(2,0)$。最后结合这两个特征匹配选项即可。
【解析】
解：一元一次不等式$kx+b＜0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$的图象在x轴下方时自变量x的取值范围，函数与x轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解。
1. 由解集$x＜2$可知，解不等式时不等号方向未发生改变，因此$k＞0$，一次函数图象从左到右上升，可排除k＜0、图象下降的A、D选项；
2. 由解集边界可知，一次函数与x轴的交点横坐标为2，即图象过点$(2,0)$，C选项中函数与x轴交点在x负半轴，不符合要求，排除；
3. 验证B选项：图象从左到右上升，$k＞0$，与x轴交于$(2,0)$，图象在x轴下方时对应的x取值为$x＜2$，完全符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；不等式的解集
【点评】
本题考查一次函数和一元一次不等式的结合应用，解题核心是建立不等式解集与函数图象位置的对应关系，同时要熟练掌握一次函数图象升降和k的符号的关联，属于一次函数的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一次函数和一元一次不等式的关联：不等式$kx+b＜0$的解集，就是一次函数$y=kx+b$的图象位于x轴下方时对应的自变量x的取值范围，且不等式的边界值就是一次函数与x轴交点的横坐标。第一步先判断k的符号：已知解集为$x＜2$，解不等式时不等号方向未改变，说明$k＞0$，一次函数图象从左到右上升；第二步确定函数与x轴的交点：方程$kx+b=0$的解为$x=2$，即函数与x轴交于点$(2,0)$。最后结合这两个特征匹配选项即可。
【解析】
解：一元一次不等式$kx+b＜0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$的图象在x轴下方时自变量x的取值范围，函数与x轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解。
1. 由解集$x＜2$可知，解不等式时不等号方向未发生改变，因此$k＞0$，一次函数图象从左到右上升，可排除k＜0、图象下降的A、D选项；
2. 由解集边界可知，一次函数与x轴的交点横坐标为2，即图象过点$(2,0)$，C选项中函数与x轴交点在x负半轴，不符合要求，排除；
3. 验证B选项：图象从左到右上升，$k＞0$，与x轴交于$(2,0)$，图象在x轴下方时对应的x取值为$x＜2$，完全符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；不等式的解集
【点评】
本题考查一次函数和一元一次不等式的结合应用，解题核心是建立不等式解集与函数图象位置的对应关系，同时要熟练掌握一次函数图象升降和k的符号的关联，属于一次函数的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7. ▶一题多解 如图，一次函数$y=kx+b(k＞0)$的图象过点$(-1,0)$，则不等式$k(x-1)+b＞0$的解集是 (
A.$x ＞ -2$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＞ 0$
D.$x ＞ 1$
第7题图 第8题图
C
)A.$x ＞ -2$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＞ 0$
D.$x ＞ 1$
第7题图 第8题图
答案
通解 把(-1,0)代入y = kx + b,得 -k + b = 0,所以b = k,则k(x - 1) + b ＞ 0可化为k(x - 1) + k = kx ＞ 0. 因为k ＞ 0,所以x ＞ 0.
另解 一次函数y = kx + b的图象向右平移1个单位长度得y = k(x - 1) + b的图象. 因为一次函数y = kx + b的图象过点(-1,0),所以一次函数y = k(x - 1) + b的图象过点(0,0). 又因为k ＞ 0,所以当x ＞ 0时,k(x - 1) + b ＞ 0,所以不等式k(x - 1) + b ＞ 0的解集是x ＞ 0.
另解 一次函数y = kx + b的图象向右平移1个单位长度得y = k(x - 1) + b的图象. 因为一次函数y = kx + b的图象过点(-1,0),所以一次函数y = k(x - 1) + b的图象过点(0,0). 又因为k ＞ 0,所以当x ＞ 0时,k(x - 1) + b ＞ 0,所以不等式k(x - 1) + b ＞ 0的解集是x ＞ 0.
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：先将已知点$(-1,0)$代入一次函数解析式，得到$k$与$b$的数量关系，再将其代入待解的不等式，结合$k＞0$的条件化简不等式即可得到解集；思路2：从函数图象平移的角度分析，不等式$k(x-1)+b＞0$的解集就是一次函数$y=k(x-1)+b$的图象在$x$轴上方时对应的$x$的取值范围，而$y=k(x-1)+b$是原函数$y=kx+b$向右平移1个单位得到的，先找到平移后函数与$x$轴的交点，结合$k＞0$时函数的增减性即可得到解集。
【解析】
方法一（代数法）：
将点$(-1,0)$代入$y=kx+b$，得：
$-k + b = 0$，即$b = k$
将$b=k$代入不等式$k(x-1)+b＞0$，得：
$k(x-1) + k ＞ 0$
提取公因式$k$，化简得：$kx ＞ 0$
已知$k＞0$，不等式两边同时除以$k$，不等号方向不变，解得$x＞0$。
方法二（图象平移法）：
一次函数$y=k(x-1)+b$的图象是由$y=kx+b$的图象向右平移1个单位长度得到的。
已知$y=kx+b$过点$(-1,0)$，则平移后对应点为$(-1+1,0)$即$(0,0)$，也就是$y=k(x-1)+b$的图象过点$(0,0)$。
又因为$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当函数值大于0时，对应的$x$的取值范围是$x＞0$，即不等式的解集为$x＞0$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象平移；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，既可以通过代数运算求解，也可以结合函数图象的性质直观得到结果，有助于培养多角度思考问题的习惯，是一次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题有两种常用思路：思路1：先将已知点$(-1,0)$代入一次函数解析式，得到$k$与$b$的数量关系，再将其代入待解的不等式，结合$k＞0$的条件化简不等式即可得到解集；思路2：从函数图象平移的角度分析，不等式$k(x-1)+b＞0$的解集就是一次函数$y=k(x-1)+b$的图象在$x$轴上方时对应的$x$的取值范围，而$y=k(x-1)+b$是原函数$y=kx+b$向右平移1个单位得到的，先找到平移后函数与$x$轴的交点，结合$k＞0$时函数的增减性即可得到解集。
【解析】
方法一（代数法）：
将点$(-1,0)$代入$y=kx+b$，得：
$-k + b = 0$，即$b = k$
将$b=k$代入不等式$k(x-1)+b＞0$，得：
$k(x-1) + k ＞ 0$
提取公因式$k$，化简得：$kx ＞ 0$
已知$k＞0$，不等式两边同时除以$k$，不等号方向不变，解得$x＞0$。
方法二（图象平移法）：
一次函数$y=k(x-1)+b$的图象是由$y=kx+b$的图象向右平移1个单位长度得到的。
已知$y=kx+b$过点$(-1,0)$，则平移后对应点为$(-1+1,0)$即$(0,0)$，也就是$y=k(x-1)+b$的图象过点$(0,0)$。
又因为$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当函数值大于0时，对应的$x$的取值范围是$x＞0$，即不等式的解集为$x＞0$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象平移；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，既可以通过代数运算求解，也可以结合函数图象的性质直观得到结果，有助于培养多角度思考问题的习惯，是一次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. 一次函数 $y_1 = k_1x + b_1$ 与 $y_2 = k_2x + b_2$ 的图象如图所示，则当 $x$
＞1
时，$y_1 ＜ y_2$。答案
观察题图,当x ＞ 1时,一次函数y₁ = k₁x + b₁的图象在一次函数y₂ = k₂x + b₂的图象的下方,
∴ 当x ＞ 1时,y₁ ＜ y₂.
∴ 当x ＞ 1时,y₁ ＜ y₂.
解析
【分析】
要确定$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，首先要明确一次函数函数值大小和图像位置的对应关系：当某一函数的图像在另一函数图像下方时，它的函数值更小。首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点两侧图像的上下位置，就能判断出符合要求的$x$的范围。
【解析】
由图可知，一次函数$y_1=k_1x+b_1$和$y_2=k_2x+b_2$的交点坐标为$(1,-3)$，即$x=1$时，$y_1=y_2=-3$。
观察图像可得：当$x＞1$时，$y_1$的图像在$y_2$图像的下方，此时对应的函数值满足$y_1＜y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞1}$
【知识点】
一次函数图像性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考察一次函数和不等式的关联，核心是理解函数值大小对应图像的上下位置关系，只要找到两函数的交点，结合图像走向就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，首先要明确一次函数函数值大小和图像位置的对应关系：当某一函数的图像在另一函数图像下方时，它的函数值更小。首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点两侧图像的上下位置，就能判断出符合要求的$x$的范围。
【解析】
由图可知，一次函数$y_1=k_1x+b_1$和$y_2=k_2x+b_2$的交点坐标为$(1,-3)$，即$x=1$时，$y_1=y_2=-3$。
观察图像可得：当$x＞1$时，$y_1$的图像在$y_2$图像的下方，此时对应的函数值满足$y_1＜y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞1}$
【知识点】
一次函数图像性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考察一次函数和不等式的关联，核心是理解函数值大小对应图像的上下位置关系，只要找到两函数的交点，结合图像走向就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
9. [2026连云港期末]当x分别取-1,0,1,2时,一次函数$y=kx+b$对应的函数值如下表: 
则关于x的不等式$kx+b＞1$的解集是
则关于x的不等式$kx+b＞1$的解集是
x ＞ 0
.答案
由题表知,在y = kx + b中,y随x的增大而增大.
∵ 当y = 1时,x = 0,
∴ 关于x的不等式kx + b ＞ 1的解集是x ＞ 0.
∵ 当y = 1时,x = 0,
∴ 关于x的不等式kx + b ＞ 1的解集是x ＞ 0.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先观察表格中x和y的变化规律，判断一次函数$y=kx+b$的增减性；第二步，找到$y=1$时对应的x的取值；第三步，结合一次函数的增减性，得出$kx+b＞1$时x的取值范围，也就是不等式的解集。
【解析】
观察表格可知：当x增大时，对应的y值也增大，所以一次函数$y=kx+b$中y随x的增大而增大。
由表格数据可得，当$y=1$时，对应的$x=0$。
因为函数值随x增大而增大，所以要使$kx+b＞1$（即$y＞1$），对应的x的取值需大于0。
【答案】
$x＞0$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合应用题，解题核心是通过表格数据判断一次函数的增减性，再结合对应函数值的自变量取值求解不等式解集，侧重对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先观察表格中x和y的变化规律，判断一次函数$y=kx+b$的增减性；第二步，找到$y=1$时对应的x的取值；第三步，结合一次函数的增减性，得出$kx+b＞1$时x的取值范围，也就是不等式的解集。
【解析】
观察表格可知：当x增大时，对应的y值也增大，所以一次函数$y=kx+b$中y随x的增大而增大。
由表格数据可得，当$y=1$时，对应的$x=0$。
因为函数值随x增大而增大，所以要使$kx+b＞1$（即$y＞1$），对应的x的取值需大于0。
【答案】
$x＞0$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合应用题，解题核心是通过表格数据判断一次函数的增减性，再结合对应函数值的自变量取值求解不等式解集，侧重对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
10. [2025无锡梁溪区期末] 在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-4,2)$和$(3,\sqrt{5})$，则不等式$(k+\frac{1}{2})x + b ＜ 0$的解集是
x ＜ -4
。答案
∵ $(k+\frac{1}{2})x + b ＜ 0$,
∴ kx + b ＜ $-\frac{1}{2}x$.
∵ 一次函数y = kx + b的图象经过点(-4,2),正比例函数y = $-\frac{1}{2}x$的图象经过点(-4,2),
∴ 一次函数y = kx + b的图象与正比例函数y = $-\frac{1}{2}x$的图象相交于点(-4,2). 如图,观察图象
,当x ＜ -4时,直线y = kx + b在直线y = $-\frac{1}{2}x$的下方,∴ 不等式$(k+\frac{1}{2})x + b ＜ 0$的解集是x ＜ -4.
解析
【分析】
要解这个不等式，我们可以将其转化为两个函数值比较大小的问题，结合图象求解：①先对不等式移项变形，把含k、b的项移到一边，剩余的项移到另一边，对应两个函数：已知的一次函数$y=kx+b$和正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$；②验证两个函数的交点：把$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x$，可得到$y=2$，说明点$(-4,2)$是两个函数的公共交点；③观察图象：找一次函数图象在正比例函数图象下方时对应的x的取值范围，就是不等式的解集。
【解析】
对不等式$(k+\frac{1}{2})x + b ＜ 0$移项，可得：
$kx + b ＜ -\frac{1}{2}x$
其中左边是题目给出的一次函数$y=kx+b$，右边是正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$。
将$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×(-4)=2$，说明点$(-4,2)$同时在$y=kx+b$和$y=-\frac{1}{2}x$的图象上，即两个函数图象的交点为$(-4,2)$。
观察图象可得：当$x ＜ -4$时，直线$y=kx+b$在直线$y=-\frac{1}{2}x$的下方，此时$kx + b ＜ -\frac{1}{2}x$，满足原不等式。
【答案】
$x ＜ -4$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，正比例函数的图象与性质
【点评】
本题将不等式求解和一次函数图象结合，解题的核心是把不等式转化为两个函数值的大小比较问题，通过找函数交点，结合图象直观得到解集，巧妙运用了数形结合的思想，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
要解这个不等式，我们可以将其转化为两个函数值比较大小的问题，结合图象求解：①先对不等式移项变形，把含k、b的项移到一边，剩余的项移到另一边，对应两个函数：已知的一次函数$y=kx+b$和正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$；②验证两个函数的交点：把$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x$，可得到$y=2$，说明点$(-4,2)$是两个函数的公共交点；③观察图象：找一次函数图象在正比例函数图象下方时对应的x的取值范围，就是不等式的解集。
【解析】
对不等式$(k+\frac{1}{2})x + b ＜ 0$移项，可得：
$kx + b ＜ -\frac{1}{2}x$
其中左边是题目给出的一次函数$y=kx+b$，右边是正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$。
将$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×(-4)=2$，说明点$(-4,2)$同时在$y=kx+b$和$y=-\frac{1}{2}x$的图象上，即两个函数图象的交点为$(-4,2)$。
观察图象
可得：当$x ＜ -4$时，直线$y=kx+b$在直线$y=-\frac{1}{2}x$的下方，此时$kx + b ＜ -\frac{1}{2}x$，满足原不等式。【答案】
$x ＜ -4$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，正比例函数的图象与性质
【点评】
本题将不等式求解和一次函数图象结合，解题的核心是把不等式转化为两个函数值的大小比较问题，通过找函数交点，结合图象直观得到解集，巧妙运用了数形结合的思想，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
11. [2025南京联合体期末]如图,直线$ l_1 $的函数表达式为$ y_1 = kx + 1 $,$ l_1 $交x轴于点A. 直线$ l_2 $的函数表达式为$ y_2 = -x + b $,$ l_2 $经过点B(-1,5),且分别交x轴、直线$ l_1 $于点C,D,已知点D的坐标为(2,m).
(1)求b,m,k的值;
(2)$ △ ACD $的面积为
(3)结合函数图象,直接写出不等式$ (kx + 1)(-x + b) ＜ 0 $的解集.
(1)求b,m,k的值;
(2)$ △ ACD $的面积为
6
;(3)结合函数图象,直接写出不等式$ (kx + 1)(-x + b) ＜ 0 $的解集.
答案
(1)将B(-1,5)代入y₂ = -x + b,得1 + b = 5,解得b = 4,
∴ 直线l₂的函数表达式为y₂ = -x + 4.
把D(2,m)代入y₂ = -x + 4,得m = -2 + 4 = 2,
∴ 点D的坐标为(2,2).
把D(2,2)代入y₁ = kx + 1,得2k + 1 = 2,解得k = $\frac{1}{2}$.
(2)6
在y₂ = -x + 4中,当y = 0时,-x + 4 = 0,解得x = 4,
∴ C(4,0).在y₁ = $\frac{1}{2}x + 1$中,当y = 0时,$\frac{1}{2}x + 1 = 0$,解得x = -2,
∴ A(-2,0),
∴ △ACD的面积 = $\frac{1}{2}×(4 + 2)×2 = 6$.
(3)x ＜ -2 或 x ＞ 4.
∵ y₁ = kx + 1,y₂ = -x + b,(kx + 1)(-x + b) ＜ 0,
∴ y₁·y₂ ＜ 0,
∴ $\begin{cases} y_1 ＜ 0, \\ y_2 ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} y_1 ＞ 0, \\ y_2 ＜ 0 .\end{cases}$ 观察题图,当x ＜ -2时,$\begin{cases} y_1 ＜ 0, \\ y_2 ＞ 0; \end{cases}$ 当x ＞ 4时,$\begin{cases} y_1 ＞ 0, \\ y_2 ＜ 0, \end{cases}$
∴ 不等式(kx + 1)(-x + b) ＜ 0的解集为x ＜ -2 或 x ＞ 4.
∴ 直线l₂的函数表达式为y₂ = -x + 4.
把D(2,m)代入y₂ = -x + 4,得m = -2 + 4 = 2,
∴ 点D的坐标为(2,2).
把D(2,2)代入y₁ = kx + 1,得2k + 1 = 2,解得k = $\frac{1}{2}$.
(2)6
在y₂ = -x + 4中,当y = 0时,-x + 4 = 0,解得x = 4,
∴ C(4,0).在y₁ = $\frac{1}{2}x + 1$中,当y = 0时,$\frac{1}{2}x + 1 = 0$,解得x = -2,
∴ A(-2,0),
∴ △ACD的面积 = $\frac{1}{2}×(4 + 2)×2 = 6$.
(3)x ＜ -2 或 x ＞ 4.
∵ y₁ = kx + 1,y₂ = -x + b,(kx + 1)(-x + b) ＜ 0,
∴ y₁·y₂ ＜ 0,
∴ $\begin{cases} y_1 ＜ 0, \\ y_2 ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} y_1 ＞ 0, \\ y_2 ＜ 0 .\end{cases}$ 观察题图,当x ＜ -2时,$\begin{cases} y_1 ＜ 0, \\ y_2 ＞ 0; \end{cases}$ 当x ＞ 4时,$\begin{cases} y_1 ＞ 0, \\ y_2 ＜ 0, \end{cases}$
∴ 不等式(kx + 1)(-x + b) ＜ 0的解集为x ＜ -2 或 x ＞ 4.
解析
【分析】
(1)求b、m、k的值可利用待定系数法：点在直线上则点的坐标满足直线解析式，先将点B坐标代入l₂的解析式求出b，得到l₂的完整解析式后，将D点横坐标代入求出m，再将得到的D点坐标代入l₁的解析式即可求出k。
(2)求△ACD的面积，需要先确定A、C两点的坐标：A、C分别是l₁、l₂与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，分别令两个一次函数的y值为0，解出对应的x值即可得到A、C坐标；AC边的长度为两点横坐标之差的绝对值，AC边上的高为D点的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
(3)不等式$(kx+1)(-x+b)＜0$等价于两个一次函数的函数值y₁、y₂异号，即一个大于0、另一个小于0，结合函数图象，找到满足y₁和y₂异号时对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵ 直线$l_2:y_2=-x+b$经过点B(-1,5)，将B(-1,5)代入解析式得：
$-(-1)+b=5$，解得$b=4$，
∴ 直线$l_2$的解析式为$y_2=-x+4$。
∵ 点D(2,m)在$l_2$上，将$x=2$代入$y_2=-x+4$得：
$m=-2+4=2$，即D点坐标为(2,2)。
∵ 点D(2,2)在直线$l_1:y_1=kx+1$上，代入得：
$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2)求$l_2$与x轴交点C：令$y_2=0$，则$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴ C(4,0)。
求$l_1$与x轴交点A：令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x+1=0$，解得$x=-2$，
∴ A(-2,0)。
∴ AC的长度为$4 - (-2)=6$，△ACD中AC边上的高为D点的纵坐标2，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×2=\frac{1}{2}×6×2=6$。
(3)不等式$(kx+1)(-x+b)＜0$即$y_1·y_2＜0$，说明$y_1$与$y_2$异号，分两种情况：
①$\begin{cases}y_1＜0\\y_2＞0\end{cases}$，结合图象可知此时$x＜-2$；
②$\begin{cases}y_1＞0\\y_2＜0\end{cases}$，结合图象可知此时$x＞4$。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【答案】
(1)$b=4$，$m=2$，$k=\frac{1}{2}$；(2)$6$；(3)$x＜-2$或$x＞4$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，又结合了数形结合思想解决函数与不等式的关联问题，需要熟练掌握一次函数的性质，学会将不等式问题转化为函数值的正负问题结合图象求解。
【难度系数】
0.7
(1)求b、m、k的值可利用待定系数法：点在直线上则点的坐标满足直线解析式，先将点B坐标代入l₂的解析式求出b，得到l₂的完整解析式后，将D点横坐标代入求出m，再将得到的D点坐标代入l₁的解析式即可求出k。
(2)求△ACD的面积，需要先确定A、C两点的坐标：A、C分别是l₁、l₂与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，分别令两个一次函数的y值为0，解出对应的x值即可得到A、C坐标；AC边的长度为两点横坐标之差的绝对值，AC边上的高为D点的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
(3)不等式$(kx+1)(-x+b)＜0$等价于两个一次函数的函数值y₁、y₂异号，即一个大于0、另一个小于0，结合函数图象，找到满足y₁和y₂异号时对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵ 直线$l_2:y_2=-x+b$经过点B(-1,5)，将B(-1,5)代入解析式得：
$-(-1)+b=5$，解得$b=4$，
∴ 直线$l_2$的解析式为$y_2=-x+4$。
∵ 点D(2,m)在$l_2$上，将$x=2$代入$y_2=-x+4$得：
$m=-2+4=2$，即D点坐标为(2,2)。
∵ 点D(2,2)在直线$l_1:y_1=kx+1$上，代入得：
$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2)求$l_2$与x轴交点C：令$y_2=0$，则$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴ C(4,0)。
求$l_1$与x轴交点A：令$y_1=0$，则$\frac{1}{2}x+1=0$，解得$x=-2$，
∴ A(-2,0)。
∴ AC的长度为$4 - (-2)=6$，△ACD中AC边上的高为D点的纵坐标2，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×2=\frac{1}{2}×6×2=6$。
(3)不等式$(kx+1)(-x+b)＜0$即$y_1·y_2＜0$，说明$y_1$与$y_2$异号，分两种情况：
①$\begin{cases}y_1＜0\\y_2＞0\end{cases}$，结合图象可知此时$x＜-2$；
②$\begin{cases}y_1＞0\\y_2＜0\end{cases}$，结合图象可知此时$x＞4$。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【答案】
(1)$b=4$，$m=2$，$k=\frac{1}{2}$；(2)$6$；(3)$x＜-2$或$x＞4$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，又结合了数形结合思想解决函数与不等式的关联问题，需要熟练掌握一次函数的性质，学会将不等式问题转化为函数值的正负问题结合图象求解。
【难度系数】
0.7
