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1. 列方程解应用题的一般步骤:(1)
审
;(2) 设
;(3) 列
;(4) 解
;(5) 验
;(6) 答
.答案
1. (1)审 (2)设 (3)列 (4)解 (5)验 (6)答
解析
【分析】
本题考查列方程解应用题的基本步骤，属于基础识记类考点。解题时可结合平时解应用题的完整流程梳理：首先需要读懂题目，明确已知条件和待求问题；接下来要合理设置未知数便于列式；随后找到题目中的等量关系列出方程；再求解方程得到未知数的值；之后要检验解是否符合方程要求及实际意义；最后规范写出答案，对应六个核心步骤即可。
【解析】
列方程解应用题的一般步骤如下：
(1)审：即审题，理清题目中的已知量、未知量及各数量间的关系；
(2)设：即设未知数，可根据题意选择直接设或间接设未知数；
(3)列：即列方程，根据找到的等量关系列出对应方程；
(4)解：即解方程，求出所列方程中未知数的取值；
(5)验：即检验，验证所得的解是否满足方程，同时是否符合实际问题的要求；
(6)答：即写答案，按要求规范作答，注意标注单位等细节。
【答案】
(1)审 (2)设 (3)列 (4)解 (5)验 (6)答
【知识点】
列方程解应用题步骤、应用题解题规范
【点评】
本题是基础识记类题目，考查列方程解应用题的核心流程，是解决各类实际应用问题的基础，熟练掌握该步骤可有效提升应用题解题的准确性与规范性，属于必须牢记的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查列方程解应用题的基本步骤，属于基础识记类考点。解题时可结合平时解应用题的完整流程梳理：首先需要读懂题目，明确已知条件和待求问题；接下来要合理设置未知数便于列式；随后找到题目中的等量关系列出方程；再求解方程得到未知数的值；之后要检验解是否符合方程要求及实际意义；最后规范写出答案，对应六个核心步骤即可。
【解析】
列方程解应用题的一般步骤如下：
(1)审：即审题，理清题目中的已知量、未知量及各数量间的关系；
(2)设：即设未知数，可根据题意选择直接设或间接设未知数；
(3)列：即列方程，根据找到的等量关系列出对应方程；
(4)解：即解方程，求出所列方程中未知数的取值；
(5)验：即检验，验证所得的解是否满足方程，同时是否符合实际问题的要求；
(6)答：即写答案，按要求规范作答，注意标注单位等细节。
【答案】
(1)审 (2)设 (3)列 (4)解 (5)验 (6)答
【知识点】
列方程解应用题步骤、应用题解题规范
【点评】
本题是基础识记类题目，考查列方程解应用题的核心流程，是解决各类实际应用问题的基础，熟练掌握该步骤可有效提升应用题解题的准确性与规范性，属于必须牢记的基础内容。
【难度系数】
0.9
2. 解决面积问题时，关键是把不规则图形
x ←————80 cm————→
↑
x
↓
转化
成规则图形，然后找出各部分面积之间的关系列出方程。x ←————80 cm————→
↑
x
↓
答案
2. 转化
解析
【分析】
本题考查面积类实际问题的核心解题思路。我们已知只有规则图形（如正方形、长方形、三角形等）有明确的面积计算公式，不规则图形无法直接计算面积，因此解题的关键是通过割补、平移、拼接等方法，将未知的、不好计算的不规则图形变为已知的、可直接计算面积的规则图形，这个过程就是数学中的转化思路，由此即可确定应填的内容。
【解析】
在解决面积相关的实际问题时，不规则图形无直接可用的面积计算公式，因此需要先通过割补、平移、旋转等方式，将不规则图形转化为有固定面积计算公式的规则图形，再分析各部分的面积等量关系列出方程求解，因此此处填写“转化”。
【答案】
转化
【知识点】
1. 不规则图形面积求解
2. 转化数学思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察数学中常用的转化思想在面积问题中的应用，掌握处理不规则图形的基本思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查面积类实际问题的核心解题思路。我们已知只有规则图形（如正方形、长方形、三角形等）有明确的面积计算公式，不规则图形无法直接计算面积，因此解题的关键是通过割补、平移、拼接等方法，将未知的、不好计算的不规则图形变为已知的、可直接计算面积的规则图形，这个过程就是数学中的转化思路，由此即可确定应填的内容。
【解析】
在解决面积相关的实际问题时，不规则图形无直接可用的面积计算公式，因此需要先通过割补、平移、旋转等方式，将不规则图形转化为有固定面积计算公式的规则图形，再分析各部分的面积等量关系列出方程求解，因此此处填写“转化”。
【答案】
转化
【知识点】
1. 不规则图形面积求解
2. 转化数学思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察数学中常用的转化思想在面积问题中的应用，掌握处理不规则图形的基本思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm²，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（
A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
B
）A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
答案
3. B
解析
【分析】
这是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，解题思路如下：首先明确镶边后挂图的长和宽：原风景画长80cm，左右两侧各有宽为x的纸边，因此挂图的长为(80+2x)cm；原风景画宽50cm，上下两侧各有宽为x的纸边，因此挂图的宽为(50+2x)cm。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知的总面积5400cm²列方程，最后整理为标准一元二次方程形式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
镶金色纸边后，矩形挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，根据矩形面积公式可列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左侧得：
$4000+160x+100x+4x^2=5400$
整理移项得：
$4x^2+260x-1400=0$
等式两边同时除以4化简得：
$x^2+65x-350=0$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算、一元二次方程化简
【点评】
本题属于方程和几何结合的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，列方程后注意通过提取公因数简化计算，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
这是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，解题思路如下：首先明确镶边后挂图的长和宽：原风景画长80cm，左右两侧各有宽为x的纸边，因此挂图的长为(80+2x)cm；原风景画宽50cm，上下两侧各有宽为x的纸边，因此挂图的宽为(50+2x)cm。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知的总面积5400cm²列方程，最后整理为标准一元二次方程形式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
镶金色纸边后，矩形挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，根据矩形面积公式可列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左侧得：
$4000+160x+100x+4x^2=5400$
整理移项得：
$4x^2+260x-1400=0$
等式两边同时除以4化简得：
$x^2+65x-350=0$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算、一元二次方程化简
【点评】
本题属于方程和几何结合的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，列方程后注意通过提取公因数简化计算，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
1. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一块边长为3 cm的小正方形铁皮，做成一个无盖的盒子。
已知盒子的容积为300 cm³，则原铁皮的边长为 （
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
已知盒子的容积为300 cm³，则原铁皮的边长为 （
D
）A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道结合几何图形的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先设原正方形铁皮的边长为未知数，根据四角各剪去边长为3cm的小正方形的条件，推导得出无盖盒子的长、宽、高的表达式；再结合长方体容积=长×宽×高的公式，列出关于未知数的一元二次方程；最后求解方程，舍去不符合实际意义的负根，即可得到原铁皮的边长。
【解析】
解：设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
将四角各剪去边长为3cm的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽均为$ (x - 2×3) = (x - 6) $ cm，盒子的高为剪去的小正方形的边长3 cm。
根据长方体容积公式，可列方程：
$ 3(x - 6)^2 = 300 $
方程两边同时除以3，得：
$ (x - 6)^2 = 100 $
开平方得：
$ x - 6 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长为正数，所以$ x_2 = -4 $不符合实际意义，舍去。
因此原铁皮的边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 长方体容积计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题的核心是准确梳理原图形与折叠后几何体的边长对应关系，列方程求解时要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何图形的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先设原正方形铁皮的边长为未知数，根据四角各剪去边长为3cm的小正方形的条件，推导得出无盖盒子的长、宽、高的表达式；再结合长方体容积=长×宽×高的公式，列出关于未知数的一元二次方程；最后求解方程，舍去不符合实际意义的负根，即可得到原铁皮的边长。
【解析】
解：设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
将四角各剪去边长为3cm的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽均为$ (x - 2×3) = (x - 6) $ cm，盒子的高为剪去的小正方形的边长3 cm。
根据长方体容积公式，可列方程：
$ 3(x - 6)^2 = 300 $
方程两边同时除以3，得：
$ (x - 6)^2 = 100 $
开平方得：
$ x - 6 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长为正数，所以$ x_2 = -4 $不符合实际意义，舍去。
因此原铁皮的边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 长方体容积计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题的核心是准确梳理原图形与折叠后几何体的边长对应关系，列方程求解时要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m²的矩形空地，则原正方形空地的边长为（
A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
A
）A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
答案
2. A
解析
【分析】
首先已知原空地为正方形，四条边长相等，我们可设原正方形的边长为x m。结合题意，剩余矩形空地的两条边分别是原正方形边长减少2m和减少3m得到的，即长和宽分别为(x-2)m、(x-3)m，再根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合剩余面积为20m²的条件，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(x-2)(x-3)&=20\\x^2 -5x +6 &=20\\x^2 -5x -14 &=0\\(x-7)(x+2)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$。
由于正方形边长为正数，因此$x=-2$不符合实际，舍去。
即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，核心是找准数量关系正确列方程，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先已知原空地为正方形，四条边长相等，我们可设原正方形的边长为x m。结合题意，剩余矩形空地的两条边分别是原正方形边长减少2m和减少3m得到的，即长和宽分别为(x-2)m、(x-3)m，再根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合剩余面积为20m²的条件，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(x-2)(x-3)&=20\\x^2 -5x +6 &=20\\x^2 -5x -14 &=0\\(x-7)(x+2)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$。
由于正方形边长为正数，因此$x=-2$不符合实际，舍去。
即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，核心是找准数量关系正确列方程，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增长到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m².设扩大后的正方形绿地边长为x m，下列方程正确的是 （
A.$ x(x - 60) = 1600 $
B.$ x(x + 60) = 1600 $
C.$ 60(x + 60) = 1600 $
D.$ 60(x - 60) = 1600 $
A
）A.$ x(x - 60) = 1600 $
B.$ x(x + 60) = 1600 $
C.$ 60(x + 60) = 1600 $
D.$ 60(x - 60) = 1600 $
答案
3. A
解析
【分析】
首先我们要明确图形变化前后的边长关系：扩大后的正方形边长等于原长方形的长边，长度为x m，原长方形的短边为60 m。增加的面积是短边拉长过程中多出来的部分，这部分是一个长方形，我们只需要找到这个新增长方形的长和宽，再结合“增加的面积为1600 m²”的条件就能列出方程。
【解析】
设扩大后的正方形绿地边长为x m，可知原长方形绿地的长边长度为x m，短边长度为60 m。
扩大后新增的绿地部分是长方形：它的长等于原长方形的长边，即x m；它的宽等于正方形边长减去原长方形短边，即$(x - 60)$ m。
根据长方形面积公式：面积=长×宽，结合新增面积为1600 m²，可列方程：
$x(x - 60) = 1600$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何面积变化类的方程应用题，解题核心是准确找出变化过程中新增部分的图形形状及对应边长，理清数量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确图形变化前后的边长关系：扩大后的正方形边长等于原长方形的长边，长度为x m，原长方形的短边为60 m。增加的面积是短边拉长过程中多出来的部分，这部分是一个长方形，我们只需要找到这个新增长方形的长和宽，再结合“增加的面积为1600 m²”的条件就能列出方程。
【解析】
设扩大后的正方形绿地边长为x m，可知原长方形绿地的长边长度为x m，短边长度为60 m。
扩大后新增的绿地部分是长方形：它的长等于原长方形的长边，即x m；它的宽等于正方形边长减去原长方形短边，即$(x - 60)$ m。
根据长方形面积公式：面积=长×宽，结合新增面积为1600 m²，可列方程：
$x(x - 60) = 1600$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何面积变化类的方程应用题，解题核心是准确找出变化过程中新增部分的图形形状及对应边长，理清数量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
4. 在$□ ABCD$中，$AB=10$，$BC=14$，$E,F$分别为边$BC,AD$上的点.若四边形$AECF$为正方形，则$AE$的长为 （
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
D
）A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
答案
4. D
解析
【分析】
首先结合已知图形的性质梳理思路：平行四边形对边平行且相等，正方形四条边相等、四个角均为直角。要求AE的长，可通过勾股定理建立方程求解，具体思考路径为：设AE的长为x，由正方形AECF的性质可得EC=AE=x，且AE垂直BC，由此可表示出BE的长度，再在直角三角形ABE中代入勾股定理列出一元二次方程，解方程后验证解是否符合几何实际意义即可。
【解析】
设AE的长为$x$。
∵四边形$AECF$是正方形，
∴$AE=EC=x$，$∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$，
∴$∠ AEB=90°$，$BE=BC-EC=14-x$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2$，
将$AB=10$代入得：
$10^2 = x^2 + (14-x)^2$
展开计算：
$100 = x^2 + 196 - 28x + x^2$
整理得$2x^2 -28x +96=0$，
化简为$x^2 -14x +48=0$，
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，两个解均符合几何实际意义，
因此AE的长为6或8。
【答案】D
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是利用特殊四边形的性质找到直角三角形各边的数量关系，通过设未知数列方程求解，需注意所得方程的解要符合图形的实际要求。
【难度系数】
0.7
首先结合已知图形的性质梳理思路：平行四边形对边平行且相等，正方形四条边相等、四个角均为直角。要求AE的长，可通过勾股定理建立方程求解，具体思考路径为：设AE的长为x，由正方形AECF的性质可得EC=AE=x，且AE垂直BC，由此可表示出BE的长度，再在直角三角形ABE中代入勾股定理列出一元二次方程，解方程后验证解是否符合几何实际意义即可。
【解析】
设AE的长为$x$。
∵四边形$AECF$是正方形，
∴$AE=EC=x$，$∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$，
∴$∠ AEB=90°$，$BE=BC-EC=14-x$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2$，
将$AB=10$代入得：
$10^2 = x^2 + (14-x)^2$
展开计算：
$100 = x^2 + 196 - 28x + x^2$
整理得$2x^2 -28x +96=0$，
化简为$x^2 -14x +48=0$，
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，两个解均符合几何实际意义，
因此AE的长为6或8。
【答案】D
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是利用特殊四边形的性质找到直角三角形各边的数量关系，通过设未知数列方程求解，需注意所得方程的解要符合图形的实际要求。
【难度系数】
0.7
5. 如图是由三个边长分别是为6,9和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（
A.1或9
B.3或5
C.4或6
D.3或6
D
）A.1或9
B.3或5
C.4或6
D.3或6
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“补全图形法”简化计算：首先将原图形补成一个长为(6+9+x)、高为9的大长方形，直线AB恰好将这个大长方形分成面积相等的两部分。若要直线AB也将原三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，只需补全时左上角缺少的矩形面积和右下角缺少的矩形面积相等即可，据此列方程求解即可。
【解析】
将原图形补成长为$6+9+x=15+x$，高为9的大长方形，直线AB平分该大长方形的面积。
原图形在大长方形中缺少两部分：左上角是长为6、宽为$9-6=3$的矩形，右下角是长为x、宽为$9-x$的矩形。
要使AB平分原图形的面积，需两个空缺部分的面积相等，列方程：
$6×(9-6) = x(9-x)$
化简得：$18 = 9x -x^2$
整理为一元二次方程：$x^2 -9x +18 =0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=6$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，割补法求面积，图形面积平分
【点评】
本题通过割补法将不规则图形的面积平分问题转化为规则图形的面积等量关系问题，简化了计算，同时考查了一元二次方程的解法，是一道结合几何与代数的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“补全图形法”简化计算：首先将原图形补成一个长为(6+9+x)、高为9的大长方形，直线AB恰好将这个大长方形分成面积相等的两部分。若要直线AB也将原三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，只需补全时左上角缺少的矩形面积和右下角缺少的矩形面积相等即可，据此列方程求解即可。
【解析】
将原图形补成长为$6+9+x=15+x$，高为9的大长方形，直线AB平分该大长方形的面积。
原图形在大长方形中缺少两部分：左上角是长为6、宽为$9-6=3$的矩形，右下角是长为x、宽为$9-x$的矩形。
要使AB平分原图形的面积，需两个空缺部分的面积相等，列方程：
$6×(9-6) = x(9-x)$
化简得：$18 = 9x -x^2$
整理为一元二次方程：$x^2 -9x +18 =0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=6$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，割补法求面积，图形面积平分
【点评】
本题通过割补法将不规则图形的面积平分问题转化为规则图形的面积等量关系问题，简化了计算，同时考查了一元二次方程的解法，是一道结合几何与代数的典型基础题。
【难度系数】
0.7
