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6. 某地计划对某个广场进行扩充改造.如图,原广场长 50 m,宽 40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为$3:2$.扩充区域的扩建费用为每平方米 30 元,扩充后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米 100 元.如果计划总费用为 642 000 元,那么扩充后广场的长和宽应分别为多少米?
答案
6. 扩充后广场的长为 90 m,宽为 60 m
解析
【分析】
首先结合题目中扩充后长与宽的比为3:2的条件，通过设参数的方式表示扩充后的长和宽，可简化计算；其次明确总费用由两部分组成：一是扩充区域的扩建费用，二是整个新广场（含原广场和扩充区域）的地砖铺设费用。先计算原广场的面积，再分别表示出扩充后广场的总面积、扩充区域的面积，根据“总费用=扩建费用+地砖铺设费用”的等量关系列一元二次方程，求解后结合长度为正的实际意义取正根，即可得到扩充后的长和宽。
【解析】
解：设扩充后广场的长为$3x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
原广场面积为：$50×40=2000\ (\mathrm{m}^2)$
扩充后广场总面积为：$3x·2x=6x^2\ (\mathrm{m}^2)$
扩充区域的面积为：$6x^2 - 2000\ (\mathrm{m}^2)$
根据总费用为642000元，列方程得：
$30(6x^2 - 2000) + 100×6x^2 = 642000$
化简方程：
$180x^2 - 60000 + 600x^2 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$（长度不能为负，舍去）
所以$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例的应用
【点评】
本题是典型的几何类一元二次方程实际应用题，解题关键是理清总费用的构成，结合比例合理设未知数，找到等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际意义，舍弃不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
首先结合题目中扩充后长与宽的比为3:2的条件，通过设参数的方式表示扩充后的长和宽，可简化计算；其次明确总费用由两部分组成：一是扩充区域的扩建费用，二是整个新广场（含原广场和扩充区域）的地砖铺设费用。先计算原广场的面积，再分别表示出扩充后广场的总面积、扩充区域的面积，根据“总费用=扩建费用+地砖铺设费用”的等量关系列一元二次方程，求解后结合长度为正的实际意义取正根，即可得到扩充后的长和宽。
【解析】
解：设扩充后广场的长为$3x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
原广场面积为：$50×40=2000\ (\mathrm{m}^2)$
扩充后广场总面积为：$3x·2x=6x^2\ (\mathrm{m}^2)$
扩充区域的面积为：$6x^2 - 2000\ (\mathrm{m}^2)$
根据总费用为642000元，列方程得：
$30(6x^2 - 2000) + 100×6x^2 = 642000$
化简方程：
$180x^2 - 60000 + 600x^2 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$（长度不能为负，舍去）
所以$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例的应用
【点评】
本题是典型的几何类一元二次方程实际应用题，解题关键是理清总费用的构成，结合比例合理设未知数，找到等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际意义，舍弃不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
7. 如图，某农场有一块长 40 m、宽 32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1 140 m²，求小路的宽。
（第7题）
（第7题）答案
7. 2 m
解析
【分析】
解决本题可通过平移法简化计算：将分散的4块种植区域拼接为一个完整矩形，避免重复计算小路交叉重叠的部分。首先设小路的宽为x m，拼接后种植区域的长为原矩形长减去小路宽，宽为原矩形宽减去小路宽，结合已知种植面积列一元二次方程求解，最后需检验所求的根是否符合实际意义（小路宽度不能超过原矩形的长和宽）。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将种植区域平移拼接后，种植区域为长$ (40-x) \, \mathrm{m} $、宽$ (32-x) \, \mathrm{m} $的矩形，根据种植面积为$ 1140 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(40-x)(32-x) = 1140$
展开并整理得：
$x^2 -72x +140 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-70) = 0$
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=70 $。
由于$ x=70＞40 $，不符合实际意义，故舍去。
因此小路的宽为2 m。
【答案】
2 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移整合分散面积的思路可简化计算过程，解题时要注意结合现实场景对解得的根进行取舍，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解决本题可通过平移法简化计算：将分散的4块种植区域拼接为一个完整矩形，避免重复计算小路交叉重叠的部分。首先设小路的宽为x m，拼接后种植区域的长为原矩形长减去小路宽，宽为原矩形宽减去小路宽，结合已知种植面积列一元二次方程求解，最后需检验所求的根是否符合实际意义（小路宽度不能超过原矩形的长和宽）。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将种植区域平移拼接后，种植区域为长$ (40-x) \, \mathrm{m} $、宽$ (32-x) \, \mathrm{m} $的矩形，根据种植面积为$ 1140 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(40-x)(32-x) = 1140$
展开并整理得：
$x^2 -72x +140 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-70) = 0$
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=70 $。
由于$ x=70＞40 $，不符合实际意义，故舍去。
因此小路的宽为2 m。
【答案】
2 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移整合分散面积的思路可简化计算过程，解题时要注意结合现实场景对解得的根进行取舍，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动。如果点$P$，$Q$分别从点$A$，$B$同时出发，那么几秒后，$P$，$Q$两点间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$？
答案
1. 设$t$s后,$P,Q$两点间的距离为$4\sqrt{2}$ cm. 根据题意,得$(6-t)^2+(2t)^2=(4\sqrt{2})^2$. 解得$t_1=\frac{2}{5},t_2=2$. $\because 2×2=4＞3,\therefore t_2=2$不合题意,舍去. $\therefore \frac{2}{5}$ s后,$P,Q$两点间的距离为$4\sqrt{2}$ cm.
解析
【分析】
这是直角三角形背景下的动点问题，可按以下思路解题：1. 设运动时间为t秒，先明确点的运动范围，确定t的合理取值区间；2. 用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；3. 结合勾股定理，利用PQ的已知长度列出关于t的一元二次方程；4. 求解方程后，结合t的取值区间检验解是否符合实际意义，舍去不合理解，得到最终结果。
【解析】
解：设$t\ \mathrm{s}$后，$P$，$Q$两点间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
由题意得，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠B=90°$，$\therefore △ PBQ$为直角三角形，根据勾股定理可得：
$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$
代入对应长度得：
$(6-t)^2+(2t)^2=(4\sqrt{2})^2$
整理得：
$5t^2-12t+4=0$
解方程得$t_1=\frac{2}{5}$，$t_2=2$。
当$t=2$时，$BQ=2×2=4\ \mathrm{cm}＞BC=3\ \mathrm{cm}$，不符合点$Q$的运动范围，故舍去$t_2=2$。
【答案】
$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题验根
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将运动时间作为变量，用代数式表示出相关线段长度，结合几何性质列方程求解，需注意实际问题中方程的解要符合运动的实际范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
这是直角三角形背景下的动点问题，可按以下思路解题：1. 设运动时间为t秒，先明确点的运动范围，确定t的合理取值区间；2. 用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；3. 结合勾股定理，利用PQ的已知长度列出关于t的一元二次方程；4. 求解方程后，结合t的取值区间检验解是否符合实际意义，舍去不合理解，得到最终结果。
【解析】
解：设$t\ \mathrm{s}$后，$P$，$Q$两点间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
由题意得，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠B=90°$，$\therefore △ PBQ$为直角三角形，根据勾股定理可得：
$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$
代入对应长度得：
$(6-t)^2+(2t)^2=(4\sqrt{2})^2$
整理得：
$5t^2-12t+4=0$
解方程得$t_1=\frac{2}{5}$，$t_2=2$。
当$t=2$时，$BQ=2×2=4\ \mathrm{cm}＞BC=3\ \mathrm{cm}$，不符合点$Q$的运动范围，故舍去$t_2=2$。
【答案】
$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题验根
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将运动时间作为变量，用代数式表示出相关线段长度，结合几何性质列方程求解，需注意实际问题中方程的解要符合运动的实际范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
