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1. 图形旋转的基本概念:(1) 定义：；(2) 旋转中心：；(3) 旋转角：。
答案
解：
(1) 在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转
(2) 图形旋转时所围绕的定点O
(3) 图形绕旋转中心转动的角，即任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角
(1) 在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转
(2) 图形旋转时所围绕的定点O
(3) 图形绕旋转中心转动的角，即任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角
解析
【分析】
本题考查图形旋转的基础核心概念，属于识记类题型。解题时只需准确回忆教材中关于旋转、旋转中心、旋转角的标准定义，逐一对应三个问题作答即可，无需复杂推导，牢记教材原文是解题的关键。
【解析】
(1) 依据教材中旋转的定义，在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转；
(2) 旋转中心是图形旋转过程中固定不动的点，即图形旋转时所围绕的定点O；
(3) 旋转角是描述旋转幅度的量，指图形绕旋转中心转动的角，也可以表述为任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角。
【答案】
(1) 在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转
(2) 图形旋转时所围绕的定点O
(3) 图形绕旋转中心转动的角，即任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角
【知识点】
旋转的定义、旋转中心的概念、旋转角的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对旋转相关基础概念的记忆掌握，是后续学习旋转性质、旋转作图等内容的前提，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
本题考查图形旋转的基础核心概念，属于识记类题型。解题时只需准确回忆教材中关于旋转、旋转中心、旋转角的标准定义，逐一对应三个问题作答即可，无需复杂推导，牢记教材原文是解题的关键。
【解析】
(1) 依据教材中旋转的定义，在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转；
(2) 旋转中心是图形旋转过程中固定不动的点，即图形旋转时所围绕的定点O；
(3) 旋转角是描述旋转幅度的量，指图形绕旋转中心转动的角，也可以表述为任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角。
【答案】
(1) 在平面内，将一个图形绕平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转
(2) 图形旋转时所围绕的定点O
(3) 图形绕旋转中心转动的角，即任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角
【知识点】
旋转的定义、旋转中心的概念、旋转角的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对旋转相关基础概念的记忆掌握，是后续学习旋转性质、旋转作图等内容的前提，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
2. 图形旋转的三条性质:(1) ;(2) ;(3) .
答案
解：
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
解析
【分析】
本题考查图形旋转的基础性质，解题时可结合旋转的定义辅助记忆：旋转是将图形绕旋转中心按固定方向转动固定角度的变换，变换过程中图形本身的形状、大小不发生改变，所有点的转动规律完全相同。由此可推导出三条性质：首先图形形状大小不变，说明旋转前后的图形全等；其次每个点绕中心转动时，到旋转中心的距离始终不变，因此对应点到旋转中心的距离相等；最后每个点转过的角度都等于旋转角，因此对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
【解析】
根据图形旋转的基本性质，三条内容分别为：
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
【答案】
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
【知识点】
旋转的性质
图形全等的特征
旋转角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是旋转相关知识的核心基础内容，熟练掌握旋转性质是解决旋转类证明、计算问题的前提，需准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查图形旋转的基础性质，解题时可结合旋转的定义辅助记忆：旋转是将图形绕旋转中心按固定方向转动固定角度的变换，变换过程中图形本身的形状、大小不发生改变，所有点的转动规律完全相同。由此可推导出三条性质：首先图形形状大小不变，说明旋转前后的图形全等；其次每个点绕中心转动时，到旋转中心的距离始终不变，因此对应点到旋转中心的距离相等；最后每个点转过的角度都等于旋转角，因此对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
【解析】
根据图形旋转的基本性质，三条内容分别为：
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
【答案】
(1) 对应点到旋转中心的距离相等
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
(3) 旋转前、后的图形全等
【知识点】
旋转的性质
图形全等的特征
旋转角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是旋转相关知识的核心基础内容，熟练掌握旋转性质是解决旋转类证明、计算问题的前提，需准确记忆。
【难度系数】
0.9
3. 中心对称：；
中心对称图形：；
关于原点对称的点的坐标：。
中心对称图形：；
关于原点对称的点的坐标：。
答案
解：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
解析
【分析】
本题考查中心对称相关的基础概念，解题时需区分三类概念的适用场景：第一，中心对称描述的是两个图形的位置关系，要抓住“两个图形、绕某点旋转180°、两图形重合”的核心特征；第二，中心对称图形描述的是单个图形的自身性质，要抓住“一个图形、绕某点旋转180°、与自身重合”的核心特征；第三，关于原点对称的点的坐标规律，要抓住横、纵坐标均互为相反数的特征，结合概念准确表述即可作答。
【解析】
1. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
2. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
3. 关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【答案】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【知识点】
中心对称的定义；中心对称图形的定义；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对中心对称相关概念的区分与掌握，相关概念是解决中心对称几何问题、坐标系对称变换问题的基础，需要熟练记忆、准确区分。
【难度系数】
0.9
本题考查中心对称相关的基础概念，解题时需区分三类概念的适用场景：第一，中心对称描述的是两个图形的位置关系，要抓住“两个图形、绕某点旋转180°、两图形重合”的核心特征；第二，中心对称图形描述的是单个图形的自身性质，要抓住“一个图形、绕某点旋转180°、与自身重合”的核心特征；第三，关于原点对称的点的坐标规律，要抓住横、纵坐标均互为相反数的特征，结合概念准确表述即可作答。
【解析】
1. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
2. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
3. 关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【答案】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称中心对称；
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【知识点】
中心对称的定义；中心对称图形的定义；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对中心对称相关概念的区分与掌握，相关概念是解决中心对称几何问题、坐标系对称变换问题的基础，需要熟练记忆、准确区分。
【难度系数】
0.9
4. 图案设计中常用的变换：.
答案
平移变换、旋转变换、轴对称变换
解析
【分析】
这是一道基础概念识记类题目，考察图案设计相关的常用变换知识。解题时首先回忆初中阶段学习的全等变换类型：平移、旋转、轴对称都不会改变图形的形状和大小，仅调整图形的位置或朝向，刚好适配图案设计的需求，对应填写这三类变换即可。
【解析】
图案设计时需要保证基础图形的形状、大小不发生改变，仅调整位置或方向来形成规律性的设计效果，符合该要求的常用变换为平移变换、旋转变换、轴对称变换三类。
【答案】
平移变换、旋转变换、轴对称变换
【知识点】
平移变换；旋转变换；轴对称变换
【点评】
本题属于基础送分题，完全源自课本基础概念，只要平时重视教材知识点的记忆就能快速得分。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类题目，考察图案设计相关的常用变换知识。解题时首先回忆初中阶段学习的全等变换类型：平移、旋转、轴对称都不会改变图形的形状和大小，仅调整图形的位置或朝向，刚好适配图案设计的需求，对应填写这三类变换即可。
【解析】
图案设计时需要保证基础图形的形状、大小不发生改变，仅调整位置或方向来形成规律性的设计效果，符合该要求的常用变换为平移变换、旋转变换、轴对称变换三类。
【答案】
平移变换、旋转变换、轴对称变换
【知识点】
平移变换；旋转变换；轴对称变换
【点评】
本题属于基础送分题，完全源自课本基础概念，只要平时重视教材知识点的记忆就能快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$△ ABC$的顶点都在方格线的交点(格点)上，如果将$△ ABC$绕点$C$逆时针方向旋转$90°$,那么点$B$的对应点$B'$的坐标是
(1,0)
.答案
(1,0)
解析
【分析】
解题时首先要确定旋转中心C和旋转点B的坐标，明确旋转规则：绕点C逆时针旋转90°。可以通过两种思路求解：一是直观作图法，将线段CB绕C点逆时针转动90°，根据网格数出对应点B'的坐标；二是坐标变换法，先计算B相对于C的相对坐标，再利用“点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后坐标变为(-y,x)”的规律得到旋转后的相对坐标，最后换算为平面直角坐标系中的绝对坐标即可。
【解析】
第一步：根据平面直角坐标系确定点的坐标，可得点C的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(-3,0)$。
第二步：计算点B相对于点C的相对坐标：$(-3 - (-1), 0 - 2) = (-2, -2)$。
第三步：将相对坐标逆时针旋转90°，根据旋转坐标变化规律，$(x,y)$逆时针转90°变为$(-y,x)$，因此$(-2,-2)$旋转后为$(2, -2)$。
第四步：计算B'的绝对坐标，将旋转后的相对坐标加C点坐标：$(-1 + 2, 2 + (-2)) = (1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 坐标与图形变换 3. 平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础类坐标变换题，既可以通过网格直观作图得到结果，也可以通过坐标变换规律计算求解，核心是掌握旋转方向对应的坐标变化规则，避免混淆旋转方向出错。
【难度系数】
0.75
解题时首先要确定旋转中心C和旋转点B的坐标，明确旋转规则：绕点C逆时针旋转90°。可以通过两种思路求解：一是直观作图法，将线段CB绕C点逆时针转动90°，根据网格数出对应点B'的坐标；二是坐标变换法，先计算B相对于C的相对坐标，再利用“点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后坐标变为(-y,x)”的规律得到旋转后的相对坐标，最后换算为平面直角坐标系中的绝对坐标即可。
【解析】
第一步：根据平面直角坐标系确定点的坐标，可得点C的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(-3,0)$。
第二步：计算点B相对于点C的相对坐标：$(-3 - (-1), 0 - 2) = (-2, -2)$。
第三步：将相对坐标逆时针旋转90°，根据旋转坐标变化规律，$(x,y)$逆时针转90°变为$(-y,x)$，因此$(-2,-2)$旋转后为$(2, -2)$。
第四步：计算B'的绝对坐标，将旋转后的相对坐标加C点坐标：$(-1 + 2, 2 + (-2)) = (1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 坐标与图形变换 3. 平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础类坐标变换题，既可以通过网格直观作图得到结果，也可以通过坐标变换规律计算求解，核心是掌握旋转方向对应的坐标变化规则，避免混淆旋转方向出错。
【难度系数】
0.75
6. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是
∠BOC
。答案
∠BOC
解析
【分析】
我们先明确两个三角尺的直角顶点重合于O，因此∠AOB和∠COD都等于90°。要找与∠AOD始终相等的角，可通过角的和差关系，观察∠AOD和待求角与公共角∠DOB的关系，利用同角的余角相等的性质即可推导得出结论。
【解析】
由三角尺的特征可知：∠AOB = ∠COD = 90°。
因为 $∠ AOD + ∠ DOB = ∠ AOB = 90°$，所以 $∠ AOD = 90° - ∠ DOB$；
又因为 $∠ BOC + ∠ DOB = ∠ COD = 90°$，所以 $∠ BOC = 90° - ∠ DOB$；
因此 $∠ AOD = ∠ BOC$。
【答案】
$∠ BOC$
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 角的和差运算
3. 直角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题关键是抓住两个直角不变的特征，找到两个角与公共部分的和差关系即可快速求解，结论不受三角尺转动角度的影响，具有普遍性。
【难度系数】
0.8
我们先明确两个三角尺的直角顶点重合于O，因此∠AOB和∠COD都等于90°。要找与∠AOD始终相等的角，可通过角的和差关系，观察∠AOD和待求角与公共角∠DOB的关系，利用同角的余角相等的性质即可推导得出结论。
【解析】
由三角尺的特征可知：∠AOB = ∠COD = 90°。
因为 $∠ AOD + ∠ DOB = ∠ AOB = 90°$，所以 $∠ AOD = 90° - ∠ DOB$；
又因为 $∠ BOC + ∠ DOB = ∠ COD = 90°$，所以 $∠ BOC = 90° - ∠ DOB$；
因此 $∠ AOD = ∠ BOC$。
【答案】
$∠ BOC$
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 角的和差运算
3. 直角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题关键是抓住两个直角不变的特征，找到两个角与公共部分的和差关系即可快速求解，结论不受三角尺转动角度的影响，具有普遍性。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ COD$是$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$40°$后得到的图形，若点$C$恰好落在$AB$上，且$∠ AOD$的度数为$90°$，则$∠ B$的度数是________。
答案
60°
解析
【分析】
本题可根据旋转的性质得到对应边、对应角的关系以及旋转角的度数，先利用等腰三角形性质求出∠A的度数，再结合已知∠AOD的度数求出∠COB的度数，最后根据三角形内角和定理计算∠B的度数即可。解题时需注意旋转前后图形的对应关系，不要混淆对应角和对应边。
【解析】
解：
∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴OA=OC，∠AOC=∠BOD=40°，∠A=∠OCD
在等腰△AOC中，$∠ A=∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∴$∠ OCB=180°-∠ ACO=180°-70°=110°$
又
∵$∠ AOD=90°$
∴$∠ COB=∠ AOD - ∠ AOC - ∠ BOD=90°-40°-40°=10°$
在△COB中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B=180°-∠ OCB-∠ COB=180°-110°-10°=60°$
【答案】
60°
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识计算角度，这类题型是角度计算类的常见题型，需要熟练掌握旋转的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题可根据旋转的性质得到对应边、对应角的关系以及旋转角的度数，先利用等腰三角形性质求出∠A的度数，再结合已知∠AOD的度数求出∠COB的度数，最后根据三角形内角和定理计算∠B的度数即可。解题时需注意旋转前后图形的对应关系，不要混淆对应角和对应边。
【解析】
解：
∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴OA=OC，∠AOC=∠BOD=40°，∠A=∠OCD
在等腰△AOC中，$∠ A=∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∴$∠ OCB=180°-∠ ACO=180°-70°=110°$
又
∵$∠ AOD=90°$
∴$∠ COB=∠ AOD - ∠ AOC - ∠ BOD=90°-40°-40°=10°$
在△COB中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B=180°-∠ OCB-∠ COB=180°-110°-10°=60°$
【答案】
60°
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识计算角度，这类题型是角度计算类的常见题型，需要熟练掌握旋转的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC=90°,AB=AC=√2,则图中阴影部分的面积为
√2−1
.答案
√2−1
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等腰直角三角形，可先求出其边长、角度；再结合旋转的性质，旋转角为45°，可推导出图中多个等腰直角三角形；最后采用割补法，用△ABE的面积减去小等腰直角三角形BDF的面积，即可求出阴影部分的面积。具体思考路径：1. 由等腰直角三角形性质求BC、∠B、∠C的大小；2. 由旋转角45°推导∠CAE=45°，判定△AEC为等腰直角三角形，得到AE⊥BC，求出△ABE的面积；3. 推导B'C'⊥AB，判定△BDF为等腰直角三角形，求出其面积；4. 两者作差得到阴影面积。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AB=AC=√2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
$BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = 2$。
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，
∴∠CAC'=45°，AC'=AC=√2，∠C'=∠C=45°，
∴∠C'AB = ∠BAC - ∠CAC' = 90°-45°=45°。
设BC与AC'交于点E，
在△AEC中，∠C=45°，∠CAE=45°，
∴∠AEC=180°-45°-45°=90°，即AE⊥BC，
∴AE为等腰Rt△ABC斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC = 1，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × BE × AE = \frac{1}{2} ×1×1 = \frac{1}{2}$。
设B'C'与AB交于点D，与BC交于点F，
在△AC'D中，∠C'=45°，∠C'AD=45°，
∴∠ADC'=180°-45°-45°=90°，即B'C'⊥AB，
∴△BDF为直角三角形，又∠B=45°，
∴△BDF为等腰直角三角形，DF=BD。
∵AD是等腰Rt△AC'D的直角边，AC'=√2，
∴$AD^2 + C'D^2 = AC'^2$，又AD=C'D，
解得AD=1，
∴$BD=AB - AD = \sqrt{2} - 1$，
∴$S_{△ BDF} = \frac{1}{2} × BD × DF = \frac{1}{2} × (\sqrt{2} -1)^2$。
则阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABE} - S_{△ BDF} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}×(\sqrt{2} -1)^2$
$= \frac{1}{2}[1 - (2 - 2\sqrt{2} + 1)]$
$= \frac{1}{2}×(2\sqrt{2} - 2)$
$= \sqrt{2} - 1$。
【答案】
√2−1
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；割补法求面积
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转的性质与等腰直角三角形的判定、面积计算结合，解题的关键是准确分析图中特殊的直角三角形，灵活运用割补法计算不规则阴影部分的面积，对图形识别能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等腰直角三角形，可先求出其边长、角度；再结合旋转的性质，旋转角为45°，可推导出图中多个等腰直角三角形；最后采用割补法，用△ABE的面积减去小等腰直角三角形BDF的面积，即可求出阴影部分的面积。具体思考路径：1. 由等腰直角三角形性质求BC、∠B、∠C的大小；2. 由旋转角45°推导∠CAE=45°，判定△AEC为等腰直角三角形，得到AE⊥BC，求出△ABE的面积；3. 推导B'C'⊥AB，判定△BDF为等腰直角三角形，求出其面积；4. 两者作差得到阴影面积。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AB=AC=√2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
$BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = 2$。
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，
∴∠CAC'=45°，AC'=AC=√2，∠C'=∠C=45°，
∴∠C'AB = ∠BAC - ∠CAC' = 90°-45°=45°。
设BC与AC'交于点E，
在△AEC中，∠C=45°，∠CAE=45°，
∴∠AEC=180°-45°-45°=90°，即AE⊥BC，
∴AE为等腰Rt△ABC斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC = 1，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × BE × AE = \frac{1}{2} ×1×1 = \frac{1}{2}$。
设B'C'与AB交于点D，与BC交于点F，
在△AC'D中，∠C'=45°，∠C'AD=45°，
∴∠ADC'=180°-45°-45°=90°，即B'C'⊥AB，
∴△BDF为直角三角形，又∠B=45°，
∴△BDF为等腰直角三角形，DF=BD。
∵AD是等腰Rt△AC'D的直角边，AC'=√2，
∴$AD^2 + C'D^2 = AC'^2$，又AD=C'D，
解得AD=1，
∴$BD=AB - AD = \sqrt{2} - 1$，
∴$S_{△ BDF} = \frac{1}{2} × BD × DF = \frac{1}{2} × (\sqrt{2} -1)^2$。
则阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABE} - S_{△ BDF} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}×(\sqrt{2} -1)^2$
$= \frac{1}{2}[1 - (2 - 2\sqrt{2} + 1)]$
$= \frac{1}{2}×(2\sqrt{2} - 2)$
$= \sqrt{2} - 1$。
【答案】
√2−1
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；割补法求面积
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转的性质与等腰直角三角形的判定、面积计算结合，解题的关键是准确分析图中特殊的直角三角形，灵活运用割补法计算不规则阴影部分的面积，对图形识别能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在平面直角坐标系中,将点$P(-4,2)$绕原点$O$顺时针旋转$90°$,则其对应点$Q$的坐标为
(2,4)
.答案
(2,4)
解析
【分析】
要解决点绕原点顺时针旋转90°求对应点坐标的问题，我们可以利用旋转的性质结合全等三角形推导：首先明确旋转前后对应点到原点的距离相等、旋转角为90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，即可得到对应点的横、纵坐标长度，再结合象限确定坐标符号。也可以直接利用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律代入原坐标计算。
【解析】
过点P作PA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，
∴∠PAO=∠OBQ=90°。
已知点P坐标为$(-4,2)$，可得$PA=2$，$OA=4$。
由旋转的性质可知：$∠ POQ=90°$，$OP=OQ$，
∴$∠ POA+∠ QOB=90°$，
又
∵$∠ POA+∠ APO=90°$，
∴$∠ APO=∠ QOB$。
在$△ PAO$和$△ OBQ$中：
$\begin{cases}∠ PAO=∠ OBQ \\∠ APO=∠ QOB \\OP=OQ\end{cases}$
∴$△ PAO≌△ OBQ$（AAS），
∴$OB=PA=2$，$BQ=OA=4$。
∵点Q位于第一象限，
∴Q的坐标为$(2,4)$。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转的基础题型，解题核心是抓住旋转的不变量，既可以通过几何推理构造全等三角形推导坐标，也可以直接记忆旋转坐标变换规律快速求解，有助于锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
要解决点绕原点顺时针旋转90°求对应点坐标的问题，我们可以利用旋转的性质结合全等三角形推导：首先明确旋转前后对应点到原点的距离相等、旋转角为90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，即可得到对应点的横、纵坐标长度，再结合象限确定坐标符号。也可以直接利用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律代入原坐标计算。
【解析】
过点P作PA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，
∴∠PAO=∠OBQ=90°。
已知点P坐标为$(-4,2)$，可得$PA=2$，$OA=4$。
由旋转的性质可知：$∠ POQ=90°$，$OP=OQ$，
∴$∠ POA+∠ QOB=90°$，
又
∵$∠ POA+∠ APO=90°$，
∴$∠ APO=∠ QOB$。
在$△ PAO$和$△ OBQ$中：
$\begin{cases}∠ PAO=∠ OBQ \\∠ APO=∠ QOB \\OP=OQ\end{cases}$
∴$△ PAO≌△ OBQ$（AAS），
∴$OB=PA=2$，$BQ=OA=4$。
∵点Q位于第一象限，
∴Q的坐标为$(2,4)$。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转的基础题型，解题核心是抓住旋转的不变量，既可以通过几何推理构造全等三角形推导坐标，也可以直接记忆旋转坐标变换规律快速求解，有助于锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将等边三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转$150°$，得到$△ OA'B'$（点$A'$，$B'$分别是点$A$，$B$的对应点），则$∠ 1=$
150°
。答案
150°
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：1.等边三角形的三个内角均为60°；2.旋转前后的图形全等，对应角相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先根据等边三角形性质得到∠A'OB'的度数，再结合旋转角的度数得到∠AOA'的度数，最后利用周角为360°，用周角减去已知的两个角的度数即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵将等边△OAB绕点O按逆时针方向旋转150°得到△OA'B'，
∴根据旋转的性质可得：△OA'B'≌△OAB，旋转角∠AOA'=150°，∠A'OB'=∠AOB=60°，
又
∵周角的度数为360°，
∴∠1 = 360° - ∠AOA' - ∠A'OB' = 360° - 150° - 60° = 150°。
【答案】
150°
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，周角的定义
【点评】
本题是几何基础题，主要考查旋转性质和等边三角形性质的结合应用，解题的关键是准确识别旋转角和对应角的关系，计算过程简单，是旋转类题型的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相关性质：1.等边三角形的三个内角均为60°；2.旋转前后的图形全等，对应角相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先根据等边三角形性质得到∠A'OB'的度数，再结合旋转角的度数得到∠AOA'的度数，最后利用周角为360°，用周角减去已知的两个角的度数即可求出∠1的大小。
【解析】
解：
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵将等边△OAB绕点O按逆时针方向旋转150°得到△OA'B'，
∴根据旋转的性质可得：△OA'B'≌△OAB，旋转角∠AOA'=150°，∠A'OB'=∠AOB=60°，
又
∵周角的度数为360°，
∴∠1 = 360° - ∠AOA' - ∠A'OB' = 360° - 150° - 60° = 150°。
【答案】
150°
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，周角的定义
【点评】
本题是几何基础题，主要考查旋转性质和等边三角形性质的结合应用，解题的关键是准确识别旋转角和对应角的关系，计算过程简单，是旋转类题型的常考基础题。
【难度系数】
0.7
