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1. 下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程，这样的图案有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断图案是否既可用旋转又可用轴对称分析形成过程，首先要明确两个定义：1.轴对称：图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；2.旋转：图形绕某一固定点旋转小于360°的角度后，能与自身重合。接下来逐个对四个图案进行验证即可得到结果。
【解析】
我们逐个分析四个图案：
1. 第一个图案：绕正方形中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转的要求，但不存在一条直线能让该图案对折后完全重合，不满足轴对称的要求，不符合条件。
2. 第二个图案：沿竖直中线、水平中线或正方形对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
3. 第三个图案：沿过两个阴影小正方形的对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
4. 第四个图案：沿竖直中线、水平中线或两条正方形对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转90°、180°、270°都可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
综上，符合条件的图案共有3个。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的概念；旋转的概念
【点评】
本题是基础的图形变换识别题，解题的核心是熟练掌握轴对称和旋转的定义，对每个图案逐一验证即可，注意不要遗漏判断条件。
【难度系数】
0.7
要判断图案是否既可用旋转又可用轴对称分析形成过程，首先要明确两个定义：1.轴对称：图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；2.旋转：图形绕某一固定点旋转小于360°的角度后，能与自身重合。接下来逐个对四个图案进行验证即可得到结果。
【解析】
我们逐个分析四个图案：
1. 第一个图案：绕正方形中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转的要求，但不存在一条直线能让该图案对折后完全重合，不满足轴对称的要求，不符合条件。
2. 第二个图案：沿竖直中线、水平中线或正方形对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
3. 第三个图案：沿过两个阴影小正方形的对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转180°后可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
4. 第四个图案：沿竖直中线、水平中线或两条正方形对角线对折后，两侧部分完全重合，满足轴对称要求；绕中心旋转90°、180°、270°都可与自身重合，满足旋转要求，符合条件。
综上，符合条件的图案共有3个。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的概念；旋转的概念
【点评】
本题是基础的图形变换识别题，解题的核心是熟练掌握轴对称和旋转的定义，对每个图案逐一验证即可，注意不要遗漏判断条件。
【难度系数】
0.7
2. 为了创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，种植花草的部分用阴影表示.请你在图中画出三种不同的设计图案（在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，如图①、图②只能算一种）.
图①
图②
图④
图⑤
图①
图②
图④
图⑤
答案
2. 如图所示.(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心要求：①仅用圆弧在正方形内设计；②图案同时满足轴对称、中心对称特征；③不能与图①、图②是同类图案（即不能是仅调整四角扇形半径的设计）。接下来回忆两类对称的定义：轴对称图形沿某条直线对折后两侧完全重合，中心对称图形绕中心旋转180°后与自身重合，正方形的对称中心为对角线交点，天然具备多条对称轴。作图时可选择正方形的顶点、边中点、中心作为圆弧的圆心，保证绘制的圆弧符合对称特征，即可得到合规的设计方案。
【解析】
设计时只需满足所有题干要求即可，以下为参考设计思路：
1. 第一种：以正方形四条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，分别向正方形内部作半圆，将四个半圆的重叠区域涂为阴影，所得图案同时具备轴对称、中心对称性质。
2. 第二种：以正方形的四个顶点为圆心，正方形边长为半径，在正方形内部作弧，将四条弧围成的外围区域涂为阴影，符合对称要求。
3. 第三种：以正方形左右两条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，向正方形内部作半圆，将两个半圆除重叠部分外的区域涂为阴影，也满足设计要求。
（答案不唯一，只要符合题目要求均可）
【答案】
如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，圆弧作图
【点评】
本题为开放性设计类题目，主要考查对两类对称图形特征的理解与应用，灵活度较高，不需要复杂的计算，只要紧扣对称的核心性质就能完成设计，能很好地锻炼创新思维与动手作图能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目核心要求：①仅用圆弧在正方形内设计；②图案同时满足轴对称、中心对称特征；③不能与图①、图②是同类图案（即不能是仅调整四角扇形半径的设计）。接下来回忆两类对称的定义：轴对称图形沿某条直线对折后两侧完全重合，中心对称图形绕中心旋转180°后与自身重合，正方形的对称中心为对角线交点，天然具备多条对称轴。作图时可选择正方形的顶点、边中点、中心作为圆弧的圆心，保证绘制的圆弧符合对称特征，即可得到合规的设计方案。
【解析】
设计时只需满足所有题干要求即可，以下为参考设计思路：
1. 第一种：以正方形四条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，分别向正方形内部作半圆，将四个半圆的重叠区域涂为阴影，所得图案同时具备轴对称、中心对称性质。
2. 第二种：以正方形的四个顶点为圆心，正方形边长为半径，在正方形内部作弧，将四条弧围成的外围区域涂为阴影，符合对称要求。
3. 第三种：以正方形左右两条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，向正方形内部作半圆，将两个半圆除重叠部分外的区域涂为阴影，也满足设计要求。
（答案不唯一，只要符合题目要求均可）
【答案】
如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，圆弧作图
【点评】
本题为开放性设计类题目，主要考查对两类对称图形特征的理解与应用，灵活度较高，不需要复杂的计算，只要紧扣对称的核心性质就能完成设计，能很好地锻炼创新思维与动手作图能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知 $Rt△ ABC$ 的项点坐标为$A(-1,3),B(-3,-1),C(-3,3)$.请你设计将$Rt△ ABC$进行适当变换后,利用变换后的图形来证明勾股定理.
答案
3. 变换后的图形如图所示,证明略.
解析
【分析】
要证明勾股定理，核心是通过面积法建立直角三角形三边的等量关系，通常可借助全等直角三角形拼接成正方形推导。首先观察$Rt△ ABC$，可先由坐标判断$∠ C$为直角，计算得$AC=2$，$BC=4$，$AB$为斜边。我们可以通过旋转、平移变换得到4个与$Rt△ ABC$全等的直角三角形，拼接为边长为两直角边之和的大正方形，中间形成边长为斜边的小正方形，通过计算大正方形、4个直角三角形、小正方形的面积，建立等式化简即可证明勾股定理。
【解析】
1. 先确定$Rt△ ABC$的基本属性：
由顶点坐标可得$AC=|-1-(-3)|=2$，$BC=|3-(-1)|=4$，且$AC$平行于$x$轴、$BC$平行于$y$轴，因此$∠ C=90°$，设$AC=b$，$BC=a$，斜边$AB=c$。
2. 图形变换构造面积模型：
将$Rt△ ABC$通过旋转、平移变换，得到4个和它全等的直角三角形，拼接成边长为$a+b=6$的大正方形$CC_1C_2C_3$，4个三角形中间围成边长为$c$的小正方形$ABA_1A_2$，变换后图形如参考图所示。
3. 利用面积关系推导勾股定理：
大正方形$CC_1C_2C_3$的面积：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
4个全等直角三角形的总面积：$4×\frac{1}{2}ab=2ab$
中间小正方形$ABA_1A_2$的面积：$c^2$
根据面积相等关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，代入得：
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
化简消去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。
【答案】
变换后的图形如图所示，证明略。
【知识点】
勾股定理的证明，图形的变换，面积法解题
【点评】
本题结合图形变换考查勾股定理的证明思路，需要灵活运用平移、旋转的性质构造全等图形，借助割补法建立面积等量关系完成推导，兼具操作性和逻辑性，能有效提升几何探究能力。
【难度系数】
0.6
要证明勾股定理，核心是通过面积法建立直角三角形三边的等量关系，通常可借助全等直角三角形拼接成正方形推导。首先观察$Rt△ ABC$，可先由坐标判断$∠ C$为直角，计算得$AC=2$，$BC=4$，$AB$为斜边。我们可以通过旋转、平移变换得到4个与$Rt△ ABC$全等的直角三角形，拼接为边长为两直角边之和的大正方形，中间形成边长为斜边的小正方形，通过计算大正方形、4个直角三角形、小正方形的面积，建立等式化简即可证明勾股定理。
【解析】
1. 先确定$Rt△ ABC$的基本属性：
由顶点坐标可得$AC=|-1-(-3)|=2$，$BC=|3-(-1)|=4$，且$AC$平行于$x$轴、$BC$平行于$y$轴，因此$∠ C=90°$，设$AC=b$，$BC=a$，斜边$AB=c$。
2. 图形变换构造面积模型：
将$Rt△ ABC$通过旋转、平移变换，得到4个和它全等的直角三角形，拼接成边长为$a+b=6$的大正方形$CC_1C_2C_3$，4个三角形中间围成边长为$c$的小正方形$ABA_1A_2$，变换后图形如参考图所示。
3. 利用面积关系推导勾股定理：
大正方形$CC_1C_2C_3$的面积：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
4个全等直角三角形的总面积：$4×\frac{1}{2}ab=2ab$
中间小正方形$ABA_1A_2$的面积：$c^2$
根据面积相等关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，代入得：
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
化简消去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。
【答案】
变换后的图形如图所示，证明略。
【知识点】
勾股定理的证明，图形的变换，面积法解题
【点评】
本题结合图形变换考查勾股定理的证明思路，需要灵活运用平移、旋转的性质构造全等图形，借助割补法建立面积等量关系完成推导，兼具操作性和逻辑性，能有效提升几何探究能力。
【难度系数】
0.6
