登录
11. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1) 如图，当点E在BD上时，求证：FD=CD；
(2) 当α为何值时，GC=GB？
(1) 如图，当点E在BD上时，求证：FD=CD；
(2) 当α为何值时，GC=GB？
答案
(1) 证明:连接AF,可得AB=AE,BD=AF,∠BAD=∠AEF=90°,∠BDA=∠AFE.
∴∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠BDA=∠AEB+∠DEF=90°.
∴∠BDA=∠DEF,
∴∠DEF=∠AFE,
∴BD//AF,
∴四边形BDFA为平行四边形.
∴FD=AB,
∴FD=CD.
(2) 当点G位于BC的垂直平分线上,分两种情况:①在BC的右边时,α=60°;在BC的左边时,α=300°.
∴∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠BDA=∠AEB+∠DEF=90°.
∴∠BDA=∠DEF,
∴∠DEF=∠AFE,
∴BD//AF,
∴四边形BDFA为平行四边形.
∴FD=AB,
∴FD=CD.
(2) 当点G位于BC的垂直平分线上,分两种情况:①在BC的右边时,α=60°;在BC的左边时,α=300°.
解析
【分析】
(1) 要证明FD=CD，由矩形性质可知CD=AB，因此只需证FD=AB即可。结合旋转的性质，矩形旋转后对应边、对应角相等，先连接辅助线AF，通过角度推导证明BD//AF，再结合矩形对角线相等得到BD=AF，即可判定四边形BDFA是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到FD=AB，进而得证FD=CD。
(2) 若GC=GB，根据垂直平分线的判定，点G在BC的垂直平分线上，结合矩形的对称性，BC的垂直平分线与AD的垂直平分线重合，分两种情况讨论：①点G在BC右侧时，可推出△ADG为等边三角形，得到旋转角α=60°；②点G在BC左侧时，结合周角为360°，得到旋转角α=300°。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，
∴AB=AE，矩形对角线BD=AC=AF，∠BAD=∠AEF=90°，∠BDA=∠AFE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵在Rt△BAD中，∠ABE+∠BDA=90°，且∠AEB+∠DEF=180°-∠AEF=90°，
∴∠BDA=∠DEF，
∴∠DEF=∠AFE，
∴BD//AF，
又
∵BD=AF，
∴四边形BDFA为平行四边形，
∴FD=AB，
∵矩形ABCD中CD=AB，
∴FD=CD。
(2) 解：若GC=GB，则点G在BC的垂直平分线上，结合矩形对称性，BC的垂直平分线与AD的垂直平分线重合，分两种情况：
①当点G在BC的右侧时，△ADG为等边三角形，此时旋转角α=∠DAG=60°；
②当点G在BC的左侧时，旋转角α=360°-60°=300°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) α=60°或300°
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于旋转背景的几何综合题，第一问通过构造辅助线转化线段相等的证明思路，借助平行四边形性质即可求证；第二问需要结合线段相等的条件判断点的位置，注意分类讨论两种情况，避免漏解，对几何逻辑推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明FD=CD，由矩形性质可知CD=AB，因此只需证FD=AB即可。结合旋转的性质，矩形旋转后对应边、对应角相等，先连接辅助线AF，通过角度推导证明BD//AF，再结合矩形对角线相等得到BD=AF，即可判定四边形BDFA是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到FD=AB，进而得证FD=CD。
(2) 若GC=GB，根据垂直平分线的判定，点G在BC的垂直平分线上，结合矩形的对称性，BC的垂直平分线与AD的垂直平分线重合，分两种情况讨论：①点G在BC右侧时，可推出△ADG为等边三角形，得到旋转角α=60°；②点G在BC左侧时，结合周角为360°，得到旋转角α=300°。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，
∴AB=AE，矩形对角线BD=AC=AF，∠BAD=∠AEF=90°，∠BDA=∠AFE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵在Rt△BAD中，∠ABE+∠BDA=90°，且∠AEB+∠DEF=180°-∠AEF=90°，
∴∠BDA=∠DEF，
∴∠DEF=∠AFE，
∴BD//AF，
又
∵BD=AF，
∴四边形BDFA为平行四边形，
∴FD=AB，
∵矩形ABCD中CD=AB，
∴FD=CD。
(2) 解：若GC=GB，则点G在BC的垂直平分线上，结合矩形对称性，BC的垂直平分线与AD的垂直平分线重合，分两种情况：
①当点G在BC的右侧时，△ADG为等边三角形，此时旋转角α=∠DAG=60°；
②当点G在BC的左侧时，旋转角α=360°-60°=300°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) α=60°或300°
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于旋转背景的几何综合题，第一问通过构造辅助线转化线段相等的证明思路，借助平行四边形性质即可求证；第二问需要结合线段相等的条件判断点的位置，注意分类讨论两种情况，避免漏解，对几何逻辑推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
12. 在数学活动课中，小辉将边长为$\sqrt{2}$和3的两个正方形放置在直线$l$上，如图①，他连接$AD$，$CF$，经测量发现$AD=CF$。
（1）他将正方形$ODEF$绕点$O$逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断$AD$与$CF$还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形$ODEF$绕点$O$逆时针旋转，使点$E$旋转至直线$l$上，如图③，请你求出$CF$的长。
（1）他将正方形$ODEF$绕点$O$逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断$AD$与$CF$还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形$ODEF$绕点$O$逆时针旋转，使点$E$旋转至直线$l$上，如图③，请你求出$CF$的长。
答案
(1) AD与CF相等,理由:
∵四边形ODEF,ABCO为正方形,
∴∠DOF=∠COA=90°,FO=DO,CO=AO,
∴∠COF=∠AOD,
∴△COF≌△AOD(SAS),
∴CF=AD.
(2) 连接DF,交EO于点G,则DF⊥EO,DG=OG=$\frac{1}{2}$EO=1,
∴GA=4,
∴AD=$\sqrt{DG^2+GA^2}=\sqrt{1+4^2}=\sqrt{17}$,
∴CF=AD=$\sqrt{17}$.
∵四边形ODEF,ABCO为正方形,
∴∠DOF=∠COA=90°,FO=DO,CO=AO,
∴∠COF=∠AOD,
∴△COF≌△AOD(SAS),
∴CF=AD.
(2) 连接DF,交EO于点G,则DF⊥EO,DG=OG=$\frac{1}{2}$EO=1,
∴GA=4,
∴AD=$\sqrt{DG^2+GA^2}=\sqrt{1+4^2}=\sqrt{17}$,
∴CF=AD=$\sqrt{17}$.
解析
【分析】
（1）要判断旋转后AD与CF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：结合正方形性质可得两组对应边相等，再利用角的和差推导两组边的夹角相等，即可通过SAS证明三角形全等，得到线段相等的结论。
（2）由（1）的结论可知CF=AD，因此将求CF的长转化为求AD的长即可。利用正方形对角线的性质求出DG、OG的长度，结合AO的长度得到GA的长，再在直角三角形DGA中用勾股定理计算AD的长度，即可得到CF的长。
【解析】
(1) AD与CF相等，理由如下：
∵四边形ODEF、ABCO都为正方形，
∴∠DOF=∠COA=90°，FO=DO，CO=AO，
∴∠DOF+∠COD=∠COA+∠COD，即∠COF=∠AOD，
在△COF和△AOD中：
$\{\begin{array}{l}FO=DO\\ ∠ COF=∠ AOD\\ CO=AO\end{array} $
∴△COF≌△AOD（SAS），
∴CF=AD。
(2) 连接DF，交EO于点G，则DF⊥EO，
∵正方形ODEF边长为$\sqrt{2}$，
∴对角线$EO=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∴$DG=OG=\frac{1}{2}EO=1$，
又
∵AO=3，
∴GA=AO+OG=3+1=4，
在Rt△DGA中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{DG^2+GA^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，
由(1)知CF=AD，
∴$CF=\sqrt{17}$。
【答案】
(1) AD与CF相等，理由见解析；
(2) $\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题以正方形旋转为载体，考查了全等三角形、正方形性质、勾股定理的综合应用，解题核心是利用旋转不变性构造全等三角形，将未知线段转化为易计算的线段，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
（1）要判断旋转后AD与CF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：结合正方形性质可得两组对应边相等，再利用角的和差推导两组边的夹角相等，即可通过SAS证明三角形全等，得到线段相等的结论。
（2）由（1）的结论可知CF=AD，因此将求CF的长转化为求AD的长即可。利用正方形对角线的性质求出DG、OG的长度，结合AO的长度得到GA的长，再在直角三角形DGA中用勾股定理计算AD的长度，即可得到CF的长。
【解析】
(1) AD与CF相等，理由如下：
∵四边形ODEF、ABCO都为正方形，
∴∠DOF=∠COA=90°，FO=DO，CO=AO，
∴∠DOF+∠COD=∠COA+∠COD，即∠COF=∠AOD，
在△COF和△AOD中：
$\{\begin{array}{l}FO=DO\\ ∠ COF=∠ AOD\\ CO=AO\end{array} $
∴△COF≌△AOD（SAS），
∴CF=AD。
(2) 连接DF，交EO于点G，则DF⊥EO，
∵正方形ODEF边长为$\sqrt{2}$，
∴对角线$EO=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∴$DG=OG=\frac{1}{2}EO=1$，
又
∵AO=3，
∴GA=AO+OG=3+1=4，
在Rt△DGA中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{DG^2+GA^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，
由(1)知CF=AD，
∴$CF=\sqrt{17}$。
【答案】
(1) AD与CF相等，理由见解析；
(2) $\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题以正方形旋转为载体，考查了全等三角形、正方形性质、勾股定理的综合应用，解题核心是利用旋转不变性构造全等三角形，将未知线段转化为易计算的线段，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
