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12 如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为$4π \ \mathrm{m}^2$的圆。已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m，试求吊灯距圆桌面的距离。
答案
12 因为$π CD^2=4π$,所以$CD=2\mathrm{m}$。因为$AB // CD$,所以$△ PAB ∽ △ PCD$,所以$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{CD}$,所以$\frac{PA}{PA+1}=\frac{0.5}{2}$,所以$PA=\frac{1}{3}\mathrm{m}$,则吊灯距圆桌面的距离为$\frac{1}{3}\mathrm{m}$。
解析
【分析】
首先根据地面投影圆的面积求出投影圆的半径，再结合中心投影的特征，可知圆桌与投影的位置关系可推出两个以吊灯顶点P为公共顶点的三角形相似，两个三角形的对应高分别为吊灯到桌面的距离、吊灯到地面的距离，对应边分别为圆桌半径和投影圆半径，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程，即可求解吊灯距圆桌面的距离。
【解析】
解：设地面投影圆的半径为$R$，由圆的面积公式得：
$π R^2=4π$，解得$R=2\ \mathrm{m}$。
由题意可知$AB// CD$，因此$△ PAB ∽ △ PCD$。
设吊灯距圆桌面的距离$PA=x\ \mathrm{m}$，则吊灯到地面的距离$PC=(x+1)\ \mathrm{m}$，已知圆桌半径$AB=0.5\ \mathrm{m}$。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{R}$
代入数值：$\frac{x}{x+1}=\frac{0.5}{2}$
解方程得：
$2x=0.5(x+1)$
$2x=0.5x+0.5$
$1.5x=0.5$
$x=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质；圆的面积计算
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，解题核心是将生活中的投影问题转化为相似三角形模型，通过相似性质建立等量关系求解，能够很好地考察学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据地面投影圆的面积求出投影圆的半径，再结合中心投影的特征，可知圆桌与投影的位置关系可推出两个以吊灯顶点P为公共顶点的三角形相似，两个三角形的对应高分别为吊灯到桌面的距离、吊灯到地面的距离，对应边分别为圆桌半径和投影圆半径，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程，即可求解吊灯距圆桌面的距离。
【解析】
解：设地面投影圆的半径为$R$，由圆的面积公式得：
$π R^2=4π$，解得$R=2\ \mathrm{m}$。
由题意可知$AB// CD$，因此$△ PAB ∽ △ PCD$。
设吊灯距圆桌面的距离$PA=x\ \mathrm{m}$，则吊灯到地面的距离$PC=(x+1)\ \mathrm{m}$，已知圆桌半径$AB=0.5\ \mathrm{m}$。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{R}$
代入数值：$\frac{x}{x+1}=\frac{0.5}{2}$
解方程得：
$2x=0.5(x+1)$
$2x=0.5x+0.5$
$1.5x=0.5$
$x=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质；圆的面积计算
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，解题核心是将生活中的投影问题转化为相似三角形模型，通过相似性质建立等量关系求解，能够很好地考察学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
13 如图，AB是某公园的一个圆形桌面的侧面示意图，MN是该桌面在一路灯下的影子，CD是一个圆形凳面的侧面示意图。（桌面、凳面均与地面平行）
（1）请标出路灯O的位置，并画出CD在该路灯下的影子PQ。（保留画图痕迹，光线用虚线表示）
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m，并测得影子MN=2 m，求路灯O与地面的距离。
（1）请标出路灯O的位置，并画出CD在该路灯下的影子PQ。（保留画图痕迹，光线用虚线表示）
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m，并测得影子MN=2 m，求路灯O与地面的距离。
答案
13 （1）如图,路灯O和线段PQ即为所画。
（2）如图,过点O作$OF ⊥ MN$,交AB于点E,交MN于点F。因为$AB // MN$,所以$OF ⊥ AB$, $∠ OAB = ∠ OMN$, $∠ OBA = ∠ ONM$,所以$△ OAB ∽ △ OMN$,所以$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。因为$AB = 1.2\mathrm{m}$, $EF=1.2\mathrm{m}$, $MN=2\mathrm{m}$,所以$\frac{1.2}{2}=\frac{OF-1.2}{OF}$,所以$OF=3\mathrm{m}$。所以路灯O与地面的距离为3米。
解析
【分析】
（1）中心投影的光线由点光源（路灯）发出，因此桌面端点与影子对应端点的连线必然经过点光源：延长MA、NB，两线交点就是路灯O的位置；同理连接OC、OD并延长交地面于P、Q，即可得到CD的影子PQ。
（2）已知AB和地面平行，可得△OAB与△OMN相似，相似三角形对应高的比等于相似比。过O作地面的垂线OF，交AB于E，OF为路灯到地面的距离，EF是桌面到地面的距离，即OE=OF-EF，将已知数值代入相似比的等式，解方程即可求出OF的长度。
【解析】
（1）作图步骤：①分别延长射线MA、NB，两射线的交点即为路灯O；②连接OC、OD并分别延长，交地面所在直线于点P、Q，线段PQ即为CD的影子，光线用虚线绘制，保留作图痕迹即可。
（2）过点O作$OF ⊥ MN$，垂足为F，OF交AB于点E。
∵$AB // MN$，
∴$OF ⊥ AB$，且$∠OAB=∠OMN$，$∠OBA=∠ONM$，
∴$△OAB ∽ △OMN$。
根据相似三角形的性质可得$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
由题意得$AB=1.2\mathrm{m}$，$EF=1.2\mathrm{m}$，$MN=2\mathrm{m}$，$OE=OF-EF=OF-1.2$，代入得：
$\frac{1.2}{2}=\frac{OF-1.2}{OF}$
交叉相乘得$1.2OF=2(OF-1.2)$，
整理得$0.8OF=2.4$，
解得$OF=3\mathrm{m}$。
【答案】
（1）如图,路灯O和线段PQ即为所画。
（2）路灯O与地面的距离为3米。
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查几何知识，第一问掌握中心投影的光线特点即可正确作图，第二问的关键是利用平行关系构造相似三角形，通过相似性质建立方程求解，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）中心投影的光线由点光源（路灯）发出，因此桌面端点与影子对应端点的连线必然经过点光源：延长MA、NB，两线交点就是路灯O的位置；同理连接OC、OD并延长交地面于P、Q，即可得到CD的影子PQ。
（2）已知AB和地面平行，可得△OAB与△OMN相似，相似三角形对应高的比等于相似比。过O作地面的垂线OF，交AB于E，OF为路灯到地面的距离，EF是桌面到地面的距离，即OE=OF-EF，将已知数值代入相似比的等式，解方程即可求出OF的长度。
【解析】
（1）作图步骤：①分别延长射线MA、NB，两射线的交点即为路灯O；②连接OC、OD并分别延长，交地面所在直线于点P、Q，线段PQ即为CD的影子，光线用虚线绘制，保留作图痕迹即可。
（2）过点O作$OF ⊥ MN$，垂足为F，OF交AB于点E。
∵$AB // MN$，
∴$OF ⊥ AB$，且$∠OAB=∠OMN$，$∠OBA=∠ONM$，
∴$△OAB ∽ △OMN$。
根据相似三角形的性质可得$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
由题意得$AB=1.2\mathrm{m}$，$EF=1.2\mathrm{m}$，$MN=2\mathrm{m}$，$OE=OF-EF=OF-1.2$，代入得：
$\frac{1.2}{2}=\frac{OF-1.2}{OF}$
交叉相乘得$1.2OF=2(OF-1.2)$，
整理得$0.8OF=2.4$，
解得$OF=3\mathrm{m}$。
【答案】
（1）如图,路灯O和线段PQ即为所画。
（2）路灯O与地面的距离为3米。
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查几何知识，第一问掌握中心投影的光线特点即可正确作图，第二问的关键是利用平行关系构造相似三角形，通过相似性质建立方程求解，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
