8 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,∠C=90°,OB=25,OC=20.
(1) 求点C的坐标；
(2) 设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.

8. (1) 如图，过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $. $ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，$ \therefore BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，$ \therefore BC=15 $. 根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，$ \therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $.
$ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，$ \therefore OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，$ \therefore OH=16 $，$ \therefore $ 点$ C $的坐标为$ (16,-12) $
(2) 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时，点$ P $的坐标为$ (0,20) $或$ (0,-20) $或$ (0,-24) $；当$ OC $为$ △ OCP $的底时，点$ P $的坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $

9 [2025淮安]点P(-1,1)沿y轴向上平移4个单位长度后的点的坐标是 ()

A.(3,1)
B.(-5,1)
C.(-1,-3)
D.(-1,5)

9. D

10 在平面直角坐标系中,点A与点A₁关于x轴对称,点A与点A₂关于y轴对称.已知点A₁的坐标是(1,2),则点A₂的坐标是 ()

A.(-2,1)
B.(-2,-1)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)

10. D

11 [2025苏州工业园区期中]如图，点A的坐标为(-3,4)，将线段AO绕点A逆时针旋转90°至AA'，则点A'的坐标是。（第11题）

11. $(1,7)$
【解析】过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M.先证$△ A'MA≌△ ANO$(AAS)，则$A'M=AN$，$MA=NO$. $\because$ 点A的坐标为$(-3,4)$，$\therefore A'M=AN=4$，$MA=NO=3$，$\therefore 4-3=1$，$4+3=7$，$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$。

12 如图，$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为$A_1(1,1),B_1(4,2),C_1(3,4)$。
（1）请画出$△ ABC$，并写出点$A,B,C$的坐标；
（2）求$△ AOA_1$与$△ ABC$的面积；
（3）求在整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积。

12. (1) 如图，$△ ABC$即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) 如图，连接$AO,A_1O,AA_1$. $△ AOA_1$的面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$，$△ ABC$的面积为$3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}$
(3) 如图，连接$CC_1$. 由平移的性质，可知$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$，$\therefore △ ABC$扫过的面积为$S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ A_1B_1C_1}=S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ ABC}=4×3+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$

13 在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ()

A.5
B.6
C.7
D.8

13. A