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8 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,∠C=90°,OB=25,OC=20.
(1) 求点C的坐标；
(2) 设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
(1) 求点C的坐标；
(2) 设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
答案
8. (1) 如图，过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $. $ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，$ \therefore BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，$ \therefore BC=15 $. 根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，$ \therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $.
$ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，$ \therefore OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，$ \therefore OH=16 $，$ \therefore $ 点$ C $的坐标为$ (16,-12) $
(2) 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时，点$ P $的坐标为$ (0,20) $或$ (0,-20) $或$ (0,-24) $；当$ OC $为$ △ OCP $的底时，点$ P $的坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $
解析
【分析】
(1) 要求点C的坐标，需确定点C到x轴、y轴的距离，可过C作CH⊥x轴于H，CH是C到x轴的距离，OH是C到y轴的距离。首先在Rt△OCB中用勾股定理求出BC的长度，再利用三角形面积的两种计算方法求出CH的长度，最后在Rt△OHC中用勾股定理求出OH的长度，结合C在第四象限即可得到坐标。
(2) 等腰三角形的动点问题需分类讨论：①以OC为腰，分两种情况：顶点为O时，OP=OC；顶点为C时，CP=CO。②以OC为底时，OP=CP。结合P在y轴上（横坐标为0），分别计算对应的纵坐标即可得到所有P点坐标。
【解析】
(1) 过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，由勾股定理得$ BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，解得$ BC=15 $。
根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，代入数值计算得$ CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $。
在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，由勾股定理得$ OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，解得$ OH=16 $。
因为点C在第四象限，所以点$ C $的坐标为$ (16,-12) $。
(2) 分情况讨论：
① 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时：
若O为顶角顶点，$ OP=OC=20 $，P在y轴正半轴时坐标为$ (0,20) $，P在y轴负半轴时坐标为$ (0,-20) $；
若C为顶角顶点，$ CP=CO=20 $，由等腰三角形三线合一可知P到C的纵坐标距离等于OM=12，故OP=24，P在y轴负半轴，坐标为$ (0,-24) $。
② 当$ OC $为$ △ OCP $的底时，$ OP=CP $，设P(0,m)，m＜0，由勾股定理得$16^2+(m+12)^2=m^2$，解得$m=-\frac{50}{3}$，故P坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $。
【答案】
8. (1) 如图，过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $. $ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，$ \therefore BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，$ \therefore BC=15 $. 根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，$ \therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $.
$ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，$ \therefore OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，$ \therefore OH=16 $，$ \therefore $ 点$ C $的坐标为$ (16,-12) $
(2) 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时，点$ P $的坐标为$ (0,20) $或$ (0,-20) $或$ (0,-24) $；当$ OC $为$ △ OCP $的底时，点$ P $的坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $
【知识点】
勾股定理；等腰三角形分类讨论；平面直角坐标系点坐标
【点评】
本题第一问考查了勾股定理和面积法求高的常用技巧，第二问需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要求点C的坐标，需确定点C到x轴、y轴的距离，可过C作CH⊥x轴于H，CH是C到x轴的距离，OH是C到y轴的距离。首先在Rt△OCB中用勾股定理求出BC的长度，再利用三角形面积的两种计算方法求出CH的长度，最后在Rt△OHC中用勾股定理求出OH的长度，结合C在第四象限即可得到坐标。
(2) 等腰三角形的动点问题需分类讨论：①以OC为腰，分两种情况：顶点为O时，OP=OC；顶点为C时，CP=CO。②以OC为底时，OP=CP。结合P在y轴上（横坐标为0），分别计算对应的纵坐标即可得到所有P点坐标。
【解析】
(1) 过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，由勾股定理得$ BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，解得$ BC=15 $。
根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，代入数值计算得$ CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $。
在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，由勾股定理得$ OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，解得$ OH=16 $。
因为点C在第四象限，所以点$ C $的坐标为$ (16,-12) $。
(2) 分情况讨论：
① 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时：
若O为顶角顶点，$ OP=OC=20 $，P在y轴正半轴时坐标为$ (0,20) $，P在y轴负半轴时坐标为$ (0,-20) $；
若C为顶角顶点，$ CP=CO=20 $，由等腰三角形三线合一可知P到C的纵坐标距离等于OM=12，故OP=24，P在y轴负半轴，坐标为$ (0,-24) $。
② 当$ OC $为$ △ OCP $的底时，$ OP=CP $，设P(0,m)，m＜0，由勾股定理得$16^2+(m+12)^2=m^2$，解得$m=-\frac{50}{3}$，故P坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $。
【答案】
8. (1) 如图，过点$ C $作$ CH⊥ OB $，垂足为$ H $. $ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OCB $中，$ ∠ OCB=90° $，$ OB=25 $，$ OC=20 $，$ \therefore BC^2+OC^2=OB^2 $，即$ BC^2+20^2=25^2 $，$ \therefore BC=15 $. 根据$ △ OCB $的面积公式，得$ \frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC $，$ \therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12 $.
$ \because $ 在$ \mathrm{Rt}△ OHC $中，$ ∠ OHC=90° $，$ \therefore OH^2+CH^2=OC^2 $，即$ OH^2+12^2=20^2 $，$ \therefore OH=16 $，$ \therefore $ 点$ C $的坐标为$ (16,-12) $
(2) 当$ OC $为$ △ OCP $的腰时，点$ P $的坐标为$ (0,20) $或$ (0,-20) $或$ (0,-24) $；当$ OC $为$ △ OCP $的底时，点$ P $的坐标为$ (0,-\frac{50}{3}) $
【知识点】
勾股定理；等腰三角形分类讨论；平面直角坐标系点坐标
【点评】
本题第一问考查了勾股定理和面积法求高的常用技巧，第二问需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9 [2025淮安]点P(-1,1)沿y轴向上平移4个单位长度后的点的坐标是 (
A.(3,1)
B.(-5,1)
C.(-1,-3)
D.(-1,5)
D
)A.(3,1)
B.(-5,1)
C.(-1,-3)
D.(-1,5)
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：当点沿y轴方向平移时，横坐标保持不变，仅调整纵坐标即可，向上平移时纵坐标加平移的单位长度，向下平移时纵坐标减平移的单位长度。本题已知原点点坐标和平移方向、平移距离，先确定横坐标不变，再计算平移后的纵坐标，就能得到最终坐标，匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中点的平移规则：点沿y轴平移时，横坐标保持不变，向上平移n个单位，纵坐标增加n。
已知原点点P的坐标为(-1,1)，沿y轴向上平移4个单位：
1. 横坐标不变，仍为-1；
2. 平移后的纵坐标为：$1 + 4 = 5$；
因此平移后点的坐标为$(-1,5)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题型，考查点在平面直角坐标系中平移后的坐标计算，只要牢记沿不同坐标轴平移时坐标的变化规律，即可快速准确得出答案，是考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：当点沿y轴方向平移时，横坐标保持不变，仅调整纵坐标即可，向上平移时纵坐标加平移的单位长度，向下平移时纵坐标减平移的单位长度。本题已知原点点坐标和平移方向、平移距离，先确定横坐标不变，再计算平移后的纵坐标，就能得到最终坐标，匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中点的平移规则：点沿y轴平移时，横坐标保持不变，向上平移n个单位，纵坐标增加n。
已知原点点P的坐标为(-1,1)，沿y轴向上平移4个单位：
1. 横坐标不变，仍为-1；
2. 平移后的纵坐标为：$1 + 4 = 5$；
因此平移后点的坐标为$(-1,5)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题型，考查点在平面直角坐标系中平移后的坐标计算，只要牢记沿不同坐标轴平移时坐标的变化规律，即可快速准确得出答案，是考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
10 在平面直角坐标系中,点A与点A₁关于x轴对称,点A与点A₂关于y轴对称.已知点A₁的坐标是(1,2),则点A₂的坐标是 (
A.(-2,1)
B.(-2,-1)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
D
)A.(-2,1)
B.(-2,-1)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
答案
10. D
解析
【分析】
解题时我们可以分两步推导：首先利用关于x轴对称的点的坐标变化规律，由已知的A₁坐标求出点A的坐标；再利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，由点A的坐标求出A₂的坐标。需要牢记两个对称规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，按规律逐步计算即可。
【解析】
已知点A与点A₁关于x轴对称，点A₁坐标为(1,2)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得点A的坐标为(1, -2)。
又因为点A与点A₂关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得点A₂的横坐标为1的相反数-1，纵坐标与A相同为-2，即点A₂坐标为(-1, -2)。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律、关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中对称点坐标的基础应用题，核心考查对称点的坐标变化规律，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时我们可以分两步推导：首先利用关于x轴对称的点的坐标变化规律，由已知的A₁坐标求出点A的坐标；再利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，由点A的坐标求出A₂的坐标。需要牢记两个对称规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，按规律逐步计算即可。
【解析】
已知点A与点A₁关于x轴对称，点A₁坐标为(1,2)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得点A的坐标为(1, -2)。
又因为点A与点A₂关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得点A₂的横坐标为1的相反数-1，纵坐标与A相同为-2，即点A₂坐标为(-1, -2)。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律、关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中对称点坐标的基础应用题，核心考查对称点的坐标变化规律，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
11 [2025苏州工业园区期中]如图，点A的坐标为(-3,4)，将线段AO绕点A逆时针旋转90°至AA'，则点A'的坐标是
（第11题）
$(1,7)$
。（第11题）答案
11. $(1,7)$
【解析】过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M.先证$△ A'MA≌△ ANO$(AAS)，则$A'M=AN$，$MA=NO$. $\because$ 点A的坐标为$(-3,4)$，$\therefore A'M=AN=4$，$MA=NO=3$，$\therefore 4-3=1$，$4+3=7$，$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$。
【解析】过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M.先证$△ A'MA≌△ ANO$(AAS)，则$A'M=AN$，$MA=NO$. $\because$ 点A的坐标为$(-3,4)$，$\therefore A'M=AN=4$，$MA=NO=3$，$\therefore 4-3=1$，$4+3=7$，$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$。
解析
【分析】
解决平面直角坐标系中线段旋转求点坐标的问题，核心是利用旋转的性质得到相等的边和角，通过构造直角三角形证明全等，将线段长度转化为坐标的变化量。首先我们可以过点A作平行于y轴的直线，再过A'作该直线的垂线，得到两个直角三角形，利用互余关系推出一组角相等，结合旋转后对应边相等证明两个三角形全等，再结合已知点A的坐标得到对应边的长度，最后计算A'的坐标即可。
【解析】
过点A作EF//y轴，交x轴于点N，过点A'作A'M⊥EF，垂足为M。
由旋转的性质可知：$AO=AA'$，$∠ OAA'=90°$，
$\therefore ∠ OAN + ∠ A'AM = 90°$，
$\because A'M ⊥ EF$，$\therefore ∠ AMA' = 90°$，$\therefore ∠ A'AM + ∠ AA'M =90°$，
$\therefore ∠ OAN = ∠ AA'M$，
又$\because ∠ ANO = ∠ M =90°$，$AO=AA'$，
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO$（AAS），
$\therefore A'M=AN$，$MA=NO$，
$\because$点A的坐标为$(-3,4)$，
$\therefore AN=4$，$NO=3$，即$A'M=4$，$MA=3$，
$\therefore$点A'的横坐标为：$-3 + A'M = -3 +4 =1$，
点A'的纵坐标为：$4 + MA =4 +3 =7$，
即点$A'$的坐标为$(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标计算
【点评】
本题是坐标与图形旋转结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，将旋转的性质转化为线段长度关系，进而求出对应点的坐标，这类题能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
解决平面直角坐标系中线段旋转求点坐标的问题，核心是利用旋转的性质得到相等的边和角，通过构造直角三角形证明全等，将线段长度转化为坐标的变化量。首先我们可以过点A作平行于y轴的直线，再过A'作该直线的垂线，得到两个直角三角形，利用互余关系推出一组角相等，结合旋转后对应边相等证明两个三角形全等，再结合已知点A的坐标得到对应边的长度，最后计算A'的坐标即可。
【解析】
过点A作EF//y轴，交x轴于点N，过点A'作A'M⊥EF，垂足为M。
由旋转的性质可知：$AO=AA'$，$∠ OAA'=90°$，
$\therefore ∠ OAN + ∠ A'AM = 90°$，
$\because A'M ⊥ EF$，$\therefore ∠ AMA' = 90°$，$\therefore ∠ A'AM + ∠ AA'M =90°$，
$\therefore ∠ OAN = ∠ AA'M$，
又$\because ∠ ANO = ∠ M =90°$，$AO=AA'$，
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO$（AAS），
$\therefore A'M=AN$，$MA=NO$，
$\because$点A的坐标为$(-3,4)$，
$\therefore AN=4$，$NO=3$，即$A'M=4$，$MA=3$，
$\therefore$点A'的横坐标为：$-3 + A'M = -3 +4 =1$，
点A'的纵坐标为：$4 + MA =4 +3 =7$，
即点$A'$的坐标为$(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标计算
【点评】
本题是坐标与图形旋转结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，将旋转的性质转化为线段长度关系，进而求出对应点的坐标，这类题能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
12 如图，$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为$A_1(1,1),B_1(4,2),C_1(3,4)$。
（1）请画出$△ ABC$，并写出点$A,B,C$的坐标；
（2）求$△ AOA_1$与$△ ABC$的面积；
（3）求在整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积。
（1）请画出$△ ABC$，并写出点$A,B,C$的坐标；
（2）求$△ AOA_1$与$△ ABC$的面积；
（3）求在整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积。
答案
12. (1) 如图，$△ ABC$即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) 如图，连接$AO,A_1O,AA_1$. $△ AOA_1$的面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$，$△ ABC$的面积为$3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}$
(3) 如图，连接$CC_1$. 由平移的性质，可知$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$，$\therefore △ ABC$扫过的面积为$S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ A_1B_1C_1}=S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ ABC}=4×3+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$
解析
【分析】
（1）已知$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$向右平移4个单位得到的，因此要得到$△ ABC$的各顶点，只需将$A_1$、$B_1$、$C_1$的横坐标都减4（向左平移4个单位），纵坐标保持不变，得到$A$、$B$、$C$的坐标后描点连线即可画出$△ ABC$。
（2）求$△ AOA_1$的面积：先确定$AA_1$的长度和点$O$到直线$AA_1$的距离，直接用三角形面积公式计算即可。求$△ ABC$的面积：网格中求不规则三角形面积用割补法，先算出包含$△ ABC$的最小矩形的面积，再减去矩形内周围三个直角三角形的面积即可。
（3）$△ ABC$平移扫过的区域由平行四边形$AA_1C_1C$和$△ A_1B_1C_1$组成，根据平移性质，平移前后三角形面积相等，先算平行四边形的面积，再加上$△ A_1B_1C_1$的面积即可得到扫过的总面积。
【解析】
（1）根据平移的逆过程，将$A_1(1,1)$、$B_1(4,2)$、$C_1(3,4)$都向左平移4个单位，即横坐标减4，纵坐标不变：
$A$的坐标：$(1-4,1)=(-3,1)$，$B$的坐标：$(4-4,2)=(0,2)$，$C$的坐标：$(3-4,4)=(-1,4)$，描点$A$、$B$、$C$并连线，得到$△ ABC$。
（2）①计算$△ AOA_1$的面积：
$A(-3,1)$，$A_1(1,1)$，所以$AA_1$的长度为$1 - (-3)=4$，直线$AA_1$平行于$x$轴，点$O$到直线$AA_1$的距离为$A$点的纵坐标1，
因此$S_{△ AOA_1}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×1=2$。
②计算$△ ABC$的面积：
取包含$△ ABC$的最小矩形，横向范围为$x=-3$到$x=0$，纵向范围为$y=1$到$y=4$，矩形面积为$3×3=9$，
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
因此$S_{△ ABC}=9 - 3 -1 -1.5=\frac{7}{2}$。
（3）根据平移的性质，平移前后图形面积相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}=\frac{7}{2}$，且$AA_1$平行且等于$CC_1$，四边形$AA_1C_1C$是平行四边形，
平行四边形$AA_1C_1C$的底$AA_1=4$，高为$4-1=3$，面积为$4×3=12$，
因此$△ ABC$扫过的面积为平行四边形面积加$△ A_1B_1C_1$的面积：$12+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$。
【答案】
(1) 如图，$△ ABC$即为所求，$A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) $△ AOA_1$的面积为$2$，$△ ABC$的面积为$\frac{7}{2}$
(3) $△ ABC$扫过的面积为$\frac{31}{2}$
【知识点】
坐标与图形平移；割补法求面积；平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的相关性质、平面直角坐标系中点的坐标变换规律以及网格中图形面积的计算方法，解题的核心是熟练掌握平移前后点的坐标变化规则，灵活运用割补法求解不规则图形的面积，是平面直角坐标系与平移结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）已知$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$向右平移4个单位得到的，因此要得到$△ ABC$的各顶点，只需将$A_1$、$B_1$、$C_1$的横坐标都减4（向左平移4个单位），纵坐标保持不变，得到$A$、$B$、$C$的坐标后描点连线即可画出$△ ABC$。
（2）求$△ AOA_1$的面积：先确定$AA_1$的长度和点$O$到直线$AA_1$的距离，直接用三角形面积公式计算即可。求$△ ABC$的面积：网格中求不规则三角形面积用割补法，先算出包含$△ ABC$的最小矩形的面积，再减去矩形内周围三个直角三角形的面积即可。
（3）$△ ABC$平移扫过的区域由平行四边形$AA_1C_1C$和$△ A_1B_1C_1$组成，根据平移性质，平移前后三角形面积相等，先算平行四边形的面积，再加上$△ A_1B_1C_1$的面积即可得到扫过的总面积。
【解析】
（1）根据平移的逆过程，将$A_1(1,1)$、$B_1(4,2)$、$C_1(3,4)$都向左平移4个单位，即横坐标减4，纵坐标不变：
$A$的坐标：$(1-4,1)=(-3,1)$，$B$的坐标：$(4-4,2)=(0,2)$，$C$的坐标：$(3-4,4)=(-1,4)$，描点$A$、$B$、$C$并连线，得到$△ ABC$。
（2）①计算$△ AOA_1$的面积：
$A(-3,1)$，$A_1(1,1)$，所以$AA_1$的长度为$1 - (-3)=4$，直线$AA_1$平行于$x$轴，点$O$到直线$AA_1$的距离为$A$点的纵坐标1，
因此$S_{△ AOA_1}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×1=2$。
②计算$△ ABC$的面积：
取包含$△ ABC$的最小矩形，横向范围为$x=-3$到$x=0$，纵向范围为$y=1$到$y=4$，矩形面积为$3×3=9$，
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
因此$S_{△ ABC}=9 - 3 -1 -1.5=\frac{7}{2}$。
（3）根据平移的性质，平移前后图形面积相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}=\frac{7}{2}$，且$AA_1$平行且等于$CC_1$，四边形$AA_1C_1C$是平行四边形，
平行四边形$AA_1C_1C$的底$AA_1=4$，高为$4-1=3$，面积为$4×3=12$，
因此$△ ABC$扫过的面积为平行四边形面积加$△ A_1B_1C_1$的面积：$12+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$。
【答案】
(1) 如图，$△ ABC$即为所求，$A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) $△ AOA_1$的面积为$2$，$△ ABC$的面积为$\frac{7}{2}$
(3) $△ ABC$扫过的面积为$\frac{31}{2}$
【知识点】
坐标与图形平移；割补法求面积；平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的相关性质、平面直角坐标系中点的坐标变换规律以及网格中图形面积的计算方法，解题的核心是熟练掌握平移前后点的坐标变化规则，灵活运用割补法求解不规则图形的面积，是平面直角坐标系与平移结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
13 在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 (
A.5
B.6
C.7
D.8
A
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
13. A
