14 [2025攀枝花]已知点A在平面直角坐标系中的坐标为$(-1,2)$，现将该平面直角坐标系绕原点O按逆时针方向旋转$90°$，则点A在新的平面直角坐标系中的坐标为（）

A.$(-1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$

14. B
【解析】将原平面直角坐标系绕原点O按逆时针方向旋转$90°$，相当于把点A在原平面直角坐标系中按顺时针方向旋转$90°$. $\because$ 点A在原平面直角坐标系中的坐标为$(-1,2)$，$\therefore$ 点A在新平面直角坐标系中的坐标为$(2,1)$。

【分析】
解题时首先要明确坐标系旋转和点旋转的相对关系：当坐标系绕原点逆时针旋转90°时，相当于坐标系中的点相对于坐标系绕原点顺时针旋转90°，这样就可以把陌生的坐标系旋转问题转化为我们熟悉的点绕原点旋转的坐标求解问题。接下来回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入点A的原坐标计算即可得到新坐标系下的坐标，也可以通过手绘坐标系和点的位置旋转验证结果。
【解析】
将平面直角坐标系绕原点O逆时针旋转90°，等价于点A在原坐标系中绕原点O顺时针旋转90°。
点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后的坐标变换规律为：新坐标为$(y, -x)$。
已知点A原坐标为$(-1,2)$，代入规律可得：
新横坐标 = 原纵坐标 = $2$，
新纵坐标 = $-$原横坐标 = $-(-1) = 1$，
因此点A在新坐标系中的坐标为$(2,1)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 旋转的坐标变换
2. 相对运动思想
【点评】
本题主要考查旋转变换下的坐标变化规律，解题核心是通过相对运动将坐标系的旋转转化为点的旋转，降低解题难度，熟记点绕原点旋转90°的坐标变换规律可快速得出答案，也可通过画图的方法直观验证结果。
【难度系数】
0.7

15 新考向 阅读理解题 在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点$(a,b)$,规定下列三种变换:
① $△(a,b)=(-a,b)$;② $◯(a,b)=(-a,-b)$;③ $\Omega(a,b)=(a,-b)$.例如:$△[◯(1,2)]=(1,-2)$,则$◯[\Omega(3,4)]=$.
$A(-3,3)$
$y\uparrow$

15. $(-3,4)$
【解析】$\because \Omega(a,b)=(a,-b)$，$\therefore \Omega(3,4)=(3,-4)$. $\because ◯(a,b)=(-a,-b)$，$\therefore ◯(3,-4)=(-3,4)$，$\therefore ◯[\Omega(3,4)]=(-3,4)$。

【分析】
这是一道新定义变换的运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序。首先明确题目给出的变换规则，先计算内层的Ω(3,4)，将得到的结果作为外层◯变换的输入，再按照◯变换的规则计算最终结果即可，计算时注意坐标符号的变化。
【解析】
根据变换规则③$\Omega(a,b)=(a,-b)$，先计算内层变换：
$\Omega(3,4)=(3,-4)$
再根据变换规则②$◯(a,b)=(-a,-b)$，计算外层变换：
$◯(3,-4)=(-3,-(-4))=(-3,4)$
因此$◯[\Omega(3,4)]=(-3,4)$
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
自定义新运算；坐标变换
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心考查对新规则的理解与运用能力，解题时只要严格遵循给定的变换规则，按从内到外的顺序逐步计算，注意符号变换即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

16 [2025广元]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3,3)，B是x轴负半轴上的动点，C是y轴负半轴上的动点。若∠BAC=90°，则OB－OC的值为。

16. 6
【解析】如图，过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为D，E. $\because AD⊥ x$轴，$AE⊥ y$轴，$\therefore ∠ ADB=∠ ADO=∠ AEC=90°$. $\because ∠ DAE=360°-∠ ADO-∠ DOE-∠ AEC=90°=∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ DAC + ∠ CAE$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$. $\because A(-3,3)$，$\therefore AD=AE=3$. 在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\begin{cases} ∠ ADB=∠ AEC, \\ AD=AE, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA})$，$\therefore BD=CE$，即$BD=OE+OC=3+OC$，$\therefore OB=BD+OD=3+OC+3=6+OC$，$\therefore OB-OC=6$。

【分析】
要解决动点条件下OB-OC的定值问题，首先结合点A(-3,3)的坐标特征，考虑过点A向x轴、y轴作垂线，可得到两条长度相等的垂线段；再结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推导对应角相等，证明构造出的两个三角形全等，将未知线段进行转化，最后把OB、OC用含相同未知量的式子表示，作差即可消去未知量得到定值。
【解析】
如图，过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为D，E。
$\because AD⊥ x$轴，$AE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADO=∠ AEC=90°$。
$\because$ 四边形ADOE内角和为$360°$，且$∠ DOE=90°$，
$\therefore ∠ DAE=360°-∠ ADO-∠ DOE-∠ AEC=90°$，
又$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC$，即$∠ BAD + ∠ DAC = ∠ DAC + ∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$。
$\because A(-3,3)$，
$\therefore AD=AE=3$，$OD=OE=3$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC, \\AD=AE, \\∠ BAD=∠ CAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BD=CE$。
由图可知$CE=OE+OC=3+OC$，$OB=BD+OD$，
代入$BD=CE$得：$OB=3+OC+3=6+OC$，
$\therefore OB-OC=6$。

【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的典型动点定值题，通过作辅助线构造全等三角形实现线段转化是解题的关键，能有效考查几何推理和数形结合的能力。
【难度系数】
0.6

17 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的各顶点分别为A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4).
(1)作出△ABC 关于原点O对称的△A₁B₁C₁.
(2)在(1)的条件下,作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A₁B₁C₁的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是.

17. (1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求
【解析】描出$A_1(2,2)$，$B_1(4,1)$，$C_1(4,4)$三点，再依次连接即可。
(2) 如图，点$A'$即为所求 $4＜a＜6$

【分析】
(1) 要作△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点、连线即可得到所求图形。
(2) 先根据关于x轴对称的点的坐标规律（横坐标不变，纵坐标互为相反数）求出点A'的坐标；点向右平移a个单位时，横坐标加a、纵坐标不变，得到平移后点的坐标。再结合△A₁B₁C₁的范围，找到平移后点落在其内部（不含边界和顶点）时横坐标的取值范围，进而求出a的取值范围。
【解析】
(1) 已知△ABC的顶点坐标为A(-2,-2)，B(-4,-1)，C(-4,-4)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，可得对应点坐标：
$A_1(2,2)$，$B_1(4,1)$，$C_1(4,4)$。
在平面直角坐标系中依次描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，再顺次连接，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) ① 求点A关于x轴的对称点$A'$：根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A'(-2,2)$。
② 点$A'$向右平移a个单位长度后，坐标变为$(a-2, 2)$。
③ 分析$△ A_1B_1C_1$的范围：纵坐标为2时，在$△ A_1B_1C_1$内部（不含边界、顶点）的点的横坐标需满足$2＜x＜4$，因此有不等式：
$2 ＜ a-2 ＜4$
解得$4 ＜a ＜6$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求

(2) $4＜a＜6$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标特征；坐标与图形的平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，结合了对称、平移的坐标规律，以及点与图形位置关系的判断，解题时结合图形分析，运用数形结合思想可以更直观地得到取值范围，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7

18 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,m+1),B(a,m+1),C(3,m+3),D(1,m+a),m＞0$,$1＜a＜3$,$P(n-m,n)$是四边形$ABCD$内的一点,且$△ PAD$与$△ PBC$的面积相等,求$n-m$的值.

18. 设$n-m=t$. $\because A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$，$\therefore AB=a-1$，$AB// x$轴. $\because A(1,m+1),D(1,m+a)$，$\therefore AD=(m+a)-(m+1)=a-1$，$AD// y$轴. 如图，分别过点$P,C$作$PE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，分别交$AB$，$AB$的延长线于点$E,F$. $\because P(n-m,n),C(3,m+3)$，$\therefore$ 点$P$到$AD$的距离为$n-m-1=t-1$，$PE=n-(m+1)=t-1$，$CF=(m+3)-(m+1)=2$，$BE=a-(n-m)=a-t$，$BF=3-a$，$EF=3-(n-m)=3-t$，$\therefore S_{△ PAD}=\frac{1}{2}(a-1)(t-1)$，$S_{△ PBC}=S_{\mathrm{梯形}PEFC}-S_{△ PBE}-S_{△ BFC}=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a)×2$. $\because S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$，$\therefore \frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a)×2$. 化简，得$at-2a-t+2=0$. 将左边分解因式，得$(a-1)(t-2)=0$. $\because 1＜a＜3$，$\therefore a-1≠0$，$\therefore t-2=0$，即$t=2$，$\therefore n-m=2$

【分析】
解题时首先观察各点坐标特征：点A、B纵坐标相同，可判断AB平行于x轴，计算得AB长度为a-1；点A、D横坐标相同，可判断AD平行于y轴，计算得AD长度也为a-1。对于△PAD的面积，可直接以AD为底，点P到AD的水平距离为高计算；△PBC的面积无法直接计算，采用割补法：过P、C作AB所在直线的垂线，将其转化为梯形面积减去两个小直角三角形的面积。为简化运算，设t=n-m，将两个三角形的面积都用含t、a的代数式表示，根据面积相等列方程，化简后因式分解，结合a的取值范围即可求出t的值，也就是n-m的值。
【解析】
设$n-m=t$.
$\because A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$，
$\therefore AB$纵坐标相同，$AB// x$轴，$AB=a-1$.
$\because A(1,m+1),D(1,m+a)$，
$\therefore AD$横坐标相同，$AD// y$轴，$AD=(m+a)-(m+1)=a-1$.
如图，分别过点$P,C$作$PE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，分别交$AB$、$AB$的延长线于点$E,F$.
$\because P(n-m,n),C(3,m+3)$，
$\therefore$ 点$P$到$AD$的距离为$n-m-1=t-1$，
$PE=n-(m+1)=t-1$，
$CF=(m+3)-(m+1)=2$，
$BE=a-(n-m)=a-t$，
$BF=3-a$，
$EF=3-(n-m)=3-t$，
$\therefore S_{△ PAD}=\frac{1}{2}(a-1)(t-1)$，
$S_{△ PBC}=S_{\mathrm{梯形}PEFC}-S_{△ PBE}-S_{△ BFC}=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a)×2$.
$\because S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$，
$\therefore \frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a)×2$.
化简得$at-2a-t+2=0$，
将左边因式分解，得$(a-1)(t-2)=0$.
$\because 1＜a＜3$，$\therefore a-1≠0$，
$\therefore t-2=0$，即$t=2$，
$\therefore n-m=2$.
【答案】
$n-m=2$

【知识点】
坐标与图形的性质；三角形面积计算；因式分解的应用
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中线段位置、长度的判断，以及不规则图形面积的割补法求解，解题时通过设参数简化了含多字母的运算，最后借助因式分解和参数的取值范围求结果，对几何分析能力和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.6