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9 新趋势 新运算（2025南京模拟）记$a · b$是两个实数$a$与$b$的一种运算. 已知$a · 0 = 1 - a$，函数$y = m · (x + 1)(m ≠ 1)$为正比例函数，则$4 · 5$等于（
A.12
B.16
C.20
D.24
A
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
9. A
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合正比例函数的题目，解题思路分三步：①先根据新运算的特征设出运算的通用表达式，结合已知$a·0=1-a$确定表达式中的部分系数；②再利用正比例函数“形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$，无常数项）”的定义，结合函数$y=m·(x+1)$是正比例函数的条件，求出剩余系数，得到完整的新运算规则；③最后将$a=4$、$b=5$代入运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先推导新运算$a·b$的规则：
设新运算满足$a·b = kab + pa + qb + c$（$k、p、q、c$为常数）
1. 由已知$a·0 = 1 - a$，代入$b=0$得：
$ka·0 + pa + q·0 + c = pa + c = 1 - a$
对比等式两边系数可得：$p=-1$，$c=1$，因此运算式简化为$a·b = kab - a + qb + 1$。
2. 函数$y = m·(x+1)$是关于$x$的正比例函数，正比例函数需满足：含$x$的项系数不为0，且无常数项。
将$a=m$，$b=x+1$代入运算式：
$y = k·m·(x+1) - m + q(x+1) + 1$
展开整理得：$y = (km + q)x + (km - m + q + 1)$
因为该函数对任意$m≠1$均为正比例函数，因此常数项必须对任意$m$都为0，$x$的系数对任意$m≠1$都不为0：
常数项：$m(k - 1) + (q + 1) = 0$对任意$m$成立，因此$k - 1 = 0$，$q + 1 = 0$，解得$k=1$，$q=-1$。
此时$x$的系数为$1·m + (-1) = m - 1$，结合$m≠1$，可知系数$m-1≠0$，符合正比例函数要求。
3. 综上，新运算规则为：$a·b = ab - a - b + 1$
计算$4·5$：代入得$4×5 - 4 - 5 + 1 = 20 - 9 + 1 = 12$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，正比例函数的概念，整式的化简
【点评】
这道题属于新定义类的基础综合题，将新运算和一次函数性质结合，解题核心是通过已知条件推导出新运算的通用规则，考察对新概念的理解能力和基础代数推导能力。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算结合正比例函数的题目，解题思路分三步：①先根据新运算的特征设出运算的通用表达式，结合已知$a·0=1-a$确定表达式中的部分系数；②再利用正比例函数“形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$，无常数项）”的定义，结合函数$y=m·(x+1)$是正比例函数的条件，求出剩余系数，得到完整的新运算规则；③最后将$a=4$、$b=5$代入运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先推导新运算$a·b$的规则：
设新运算满足$a·b = kab + pa + qb + c$（$k、p、q、c$为常数）
1. 由已知$a·0 = 1 - a$，代入$b=0$得：
$ka·0 + pa + q·0 + c = pa + c = 1 - a$
对比等式两边系数可得：$p=-1$，$c=1$，因此运算式简化为$a·b = kab - a + qb + 1$。
2. 函数$y = m·(x+1)$是关于$x$的正比例函数，正比例函数需满足：含$x$的项系数不为0，且无常数项。
将$a=m$，$b=x+1$代入运算式：
$y = k·m·(x+1) - m + q(x+1) + 1$
展开整理得：$y = (km + q)x + (km - m + q + 1)$
因为该函数对任意$m≠1$均为正比例函数，因此常数项必须对任意$m$都为0，$x$的系数对任意$m≠1$都不为0：
常数项：$m(k - 1) + (q + 1) = 0$对任意$m$成立，因此$k - 1 = 0$，$q + 1 = 0$，解得$k=1$，$q=-1$。
此时$x$的系数为$1·m + (-1) = m - 1$，结合$m≠1$，可知系数$m-1≠0$，符合正比例函数要求。
3. 综上，新运算规则为：$a·b = ab - a - b + 1$
计算$4·5$：代入得$4×5 - 4 - 5 + 1 = 20 - 9 + 1 = 12$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，正比例函数的概念，整式的化简
【点评】
这道题属于新定义类的基础综合题，将新运算和一次函数性质结合，解题核心是通过已知条件推导出新运算的通用规则，考察对新概念的理解能力和基础代数推导能力。
【难度系数】
0.6
10 规定：$[k,b]$是一次函数$y=kx+b$($k,b$为实数，$k≠0$)的“特征数”，若“特征数”是$[4,-m]$的一次函数是正比例函数，则点$(2-m,2+m)$所在的象限是 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10. A
解析
【分析】
解题首先要正确理解“特征数”的新定义，先写出对应一次函数的解析式；再结合正比例函数的性质（正比例函数的常数项为0）求出m的值；最后将m代入点的坐标，根据横、纵坐标的正负判断点所在的象限。
【解析】
① 根据“特征数”的定义，特征数为$[4,-m]$的一次函数解析式为：$y=4x - m$。
② 已知该一次函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，一次函数$y=kx+b$中当$b=0$时为正比例函数，因此可得：$-m=0$，解得$m=0$。
③ 将$m=0$代入点$(2-m,2+m)$，得横坐标为$2-0=2＞0$，纵坐标为$2+0=2＞0$。
④ 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此该点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 新定义运算 2. 正比例函数的概念 3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查基础概念的应用，解题关键是准确理解新定义的规则，熟练掌握正比例函数的特征和各象限内点的符号特点，整体计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要正确理解“特征数”的新定义，先写出对应一次函数的解析式；再结合正比例函数的性质（正比例函数的常数项为0）求出m的值；最后将m代入点的坐标，根据横、纵坐标的正负判断点所在的象限。
【解析】
① 根据“特征数”的定义，特征数为$[4,-m]$的一次函数解析式为：$y=4x - m$。
② 已知该一次函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，一次函数$y=kx+b$中当$b=0$时为正比例函数，因此可得：$-m=0$，解得$m=0$。
③ 将$m=0$代入点$(2-m,2+m)$，得横坐标为$2-0=2＞0$，纵坐标为$2+0=2＞0$。
④ 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为正数的点在第一象限，因此该点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 新定义运算 2. 正比例函数的概念 3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查基础概念的应用，解题关键是准确理解新定义的规则，熟练掌握正比例函数的特征和各象限内点的符号特点，整体计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11 一辆轿车从A地驶向B地，设出发x h后，这辆轿车离B地路程为y km，已知y与x之间的函数表达式为$y=200-80x$，则轿车从A地到达B地所用时间是
2.5
h.答案
11. 2.5
解析
【分析】
首先明确函数中两个变量的实际意义：x代表轿车的行驶时间，y代表轿车距离B地的路程。当轿车到达B地时，距离B地的路程为0，即此时y=0，只需将y=0代入给定的一次函数表达式，求解对应的x值，就是轿车从A地到B地的总用时。
【解析】
当轿车到达B地时，离B地的路程为0，即y=0。
将y=0代入函数表达式$y=200-80x$，可得：
$0=200-80x$
移项得：$80x=200$
解得：$x=200÷80=2.5$
因此轿车从A地到达B地所用时间为2.5h。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用，解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在行程场景下的基础应用题，解题关键是结合实际情境理解函数值为0的含义，再通过简单解方程得到结果，侧重考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.85
首先明确函数中两个变量的实际意义：x代表轿车的行驶时间，y代表轿车距离B地的路程。当轿车到达B地时，距离B地的路程为0，即此时y=0，只需将y=0代入给定的一次函数表达式，求解对应的x值，就是轿车从A地到B地的总用时。
【解析】
当轿车到达B地时，离B地的路程为0，即y=0。
将y=0代入函数表达式$y=200-80x$，可得：
$0=200-80x$
移项得：$80x=200$
解得：$x=200÷80=2.5$
因此轿车从A地到达B地所用时间为2.5h。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用，解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在行程场景下的基础应用题，解题关键是结合实际情境理解函数值为0的含义，再通过简单解方程得到结果，侧重考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.85
12 一个长为120 m，宽为100 m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x m，宽增加y m，则y与x的函数表达式是
$y=x+20$
。答案
12. $y=x+20$
解析
【分析】
解题的核心是抓住扩建成正方形后边长相等这一关键条件。首先明确正方形的四条边长度相等，所以扩建后场地的长和宽一定相等。我们可以先分别表示出扩建后的长和宽，再根据二者相等列出等量关系，最后整理变形就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：
∵扩建成的场地是正方形，正方形的边长相等
∴扩建后的长 = 扩建后的宽
已知原长120m，增加x m后长为$(120+x)$m；原宽100m，增加y m后宽为$(100+y)$m
列等式得：$120 + x = 100 + y$
移项整理得：$y = x + 20$
【答案】
$y=x+20$
【知识点】
正方形的性质；列函数关系式
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是从几何图形的性质中找到等量关系，再通过简单的等式变形得到所求的函数表达式，只要掌握正方形的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题的核心是抓住扩建成正方形后边长相等这一关键条件。首先明确正方形的四条边长度相等，所以扩建后场地的长和宽一定相等。我们可以先分别表示出扩建后的长和宽，再根据二者相等列出等量关系，最后整理变形就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：
∵扩建成的场地是正方形，正方形的边长相等
∴扩建后的长 = 扩建后的宽
已知原长120m，增加x m后长为$(120+x)$m；原宽100m，增加y m后宽为$(100+y)$m
列等式得：$120 + x = 100 + y$
移项整理得：$y = x + 20$
【答案】
$y=x+20$
【知识点】
正方形的性质；列函数关系式
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是从几何图形的性质中找到等量关系，再通过简单的等式变形得到所求的函数表达式，只要掌握正方形的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
13 已知等腰三角形的周长为20，则底边长y与腰长x的函数表达式为
$y=20-2x$
，自变量x的取值范围是$5＜x＜10$
。答案
13. $y=20-2x$ $5＜x＜10$
解析
【分析】
首先根据等腰三角形周长的计算公式找到底边长和腰长的等量关系，整理后就能得到函数表达式；接下来求自变量x的取值范围时，需要同时满足两个限制条件：一是三角形的各边长必须为正数，二是三角形的三边关系（两边之和大于第三边），分别列不等式求解后取公共范围即可。
【解析】
1. 推导函数表达式：
等腰三角形的周长=2×腰长+底边长，已知周长为20，腰长为x，底边长为y，因此可列等式：
$2x + y = 20$
整理得：$y = 20 - 2x$
2. 求自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，即$y＞0$，代入表达式得：
$20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边长，即$2x ＞ y$，代入表达式得：
$2x ＞ 20 - 2x$
移项合并得：$4x ＞ 20$，解得$x ＞ 5$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 10$
【答案】
$y=20-2x$；$5＜x＜10$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；自变量取值范围
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时除了根据周长公式推导函数关系外，尤其要注意不要忽略三角形三边关系这一隐含限制条件，避免求自变量范围时只考虑边长为正导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形周长的计算公式找到底边长和腰长的等量关系，整理后就能得到函数表达式；接下来求自变量x的取值范围时，需要同时满足两个限制条件：一是三角形的各边长必须为正数，二是三角形的三边关系（两边之和大于第三边），分别列不等式求解后取公共范围即可。
【解析】
1. 推导函数表达式：
等腰三角形的周长=2×腰长+底边长，已知周长为20，腰长为x，底边长为y，因此可列等式：
$2x + y = 20$
整理得：$y = 20 - 2x$
2. 求自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，即$y＞0$，代入表达式得：
$20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边长，即$2x ＞ y$，代入表达式得：
$2x ＞ 20 - 2x$
移项合并得：$4x ＞ 20$，解得$x ＞ 5$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$5 ＜ x ＜ 10$
【答案】
$y=20-2x$；$5＜x＜10$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；自变量取值范围
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时除了根据周长公式推导函数关系外，尤其要注意不要忽略三角形三边关系这一隐含限制条件，避免求自变量范围时只考虑边长为正导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
错题 若函数$y=(m+3)x^{2m+1}+4x-5(x≠0)$是关于x的一次函数，则m的值为
$0或-3或-\dfrac{1}{2}$
答案
14. $0或-3或-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，自变量$x$的最高次数为1。本题的函数包含两个含$x$的项，需要结合函数结构分三类讨论：①第一项的系数为0，此时第一项消失，剩余部分为一次函数；②第一项中$x$的次数为1，且合并后$x$的系数不为0；③第一项中$x$的次数为0，此时第一项变为常数（题目已注明$x≠0$，$x^0$有意义），剩余部分为一次函数。分别计算三类情况的$m$值后验证是否符合条件即可。
【解析】
解：已知函数是关于$x$的一次函数，分三种情况讨论：
1. 当$m+3=0$时，解得$m=-3$，此时函数化简为$y=4x-5$，符合一次函数定义，故$m=-3$成立；
2. 当$2m+1=1$时，解得$m=0$，代入原函数得$y=3x+4x-5=7x-5$，$x$的系数$7≠0$，符合一次函数定义，故$m=0$成立；
3. 当$2m+1=0$时，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，此时第一项为$(-\dfrac{1}{2}+3)x^0=\dfrac{5}{2}$（$x≠0$，$x^0$有意义），函数化简为$y=4x-\dfrac{5}{2}$，符合一次函数定义，故$m=-\dfrac{1}{2}$成立。
综上，$m$的取值为$0$、$-3$或$-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$0或-3或-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的定义，分类讨论思想，零指数幂的意义
【点评】
本题重点考查一次函数概念的应用，解题的核心是结合函数结构全面分类讨论，易错点是容易忽略系数为0、$x$的次数为0这两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.4
解题时首先回忆一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，自变量$x$的最高次数为1。本题的函数包含两个含$x$的项，需要结合函数结构分三类讨论：①第一项的系数为0，此时第一项消失，剩余部分为一次函数；②第一项中$x$的次数为1，且合并后$x$的系数不为0；③第一项中$x$的次数为0，此时第一项变为常数（题目已注明$x≠0$，$x^0$有意义），剩余部分为一次函数。分别计算三类情况的$m$值后验证是否符合条件即可。
【解析】
解：已知函数是关于$x$的一次函数，分三种情况讨论：
1. 当$m+3=0$时，解得$m=-3$，此时函数化简为$y=4x-5$，符合一次函数定义，故$m=-3$成立；
2. 当$2m+1=1$时，解得$m=0$，代入原函数得$y=3x+4x-5=7x-5$，$x$的系数$7≠0$，符合一次函数定义，故$m=0$成立；
3. 当$2m+1=0$时，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，此时第一项为$(-\dfrac{1}{2}+3)x^0=\dfrac{5}{2}$（$x≠0$，$x^0$有意义），函数化简为$y=4x-\dfrac{5}{2}$，符合一次函数定义，故$m=-\dfrac{1}{2}$成立。
综上，$m$的取值为$0$、$-3$或$-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$0或-3或-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的定义，分类讨论思想，零指数幂的意义
【点评】
本题重点考查一次函数概念的应用，解题的核心是结合函数结构全面分类讨论，易错点是容易忽略系数为0、$x$的次数为0这两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.4
15 已知函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4.$
（1）当$m,n$为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当$m,n$为何值时，此函数是一次函数？
（1）当$m,n$为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当$m,n$为何值时，此函数是一次函数？
答案
15. 解:(1) 因为函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是正比例函数，
所以 $m+2≠0$,且$|m|-1=1$,且 $n+4=0$,
解得 $m=2,n=-4$,
所以当 $m=2,n=-4$ 时,函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是正比例函数.
(2) 因为函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是一次函数，
所以 $m+2≠0$,且$|m|-1=1$,且 $n+4$ 为任何数，
解得 $m=2,n$ 为任意实数，
所以当 $m=2,n$ 为任意实数时,函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是一次函数.
所以 $m+2≠0$,且$|m|-1=1$,且 $n+4=0$,
解得 $m=2,n=-4$,
所以当 $m=2,n=-4$ 时,函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是正比例函数.
(2) 因为函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是一次函数，
所以 $m+2≠0$,且$|m|-1=1$,且 $n+4$ 为任何数，
解得 $m=2,n$ 为任意实数，
所以当 $m=2,n$ 为任意实数时,函数 $y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$ 是一次函数.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确正比例函数和一次函数的定义：①正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），需满足x的次数为1、x的系数不为0、常数项为0三个条件；②一次函数的形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数且$k≠0$），需满足x的次数为1、x的系数不为0，常数项无限制。解题时只需根据两个函数的定义分别列方程和不等式，求解即可得到$m、n$的取值。
【解析】
（1）若函数$y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需同时满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\|m|-1=1 \\n+4=0\end{cases}$
解$m+2≠0$得$m≠-2$；解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=\pm2$，结合$m≠-2$得$m=2$；解$n+4=0$得$n=-4$。
因此当$m=2$，$n=-4$时，该函数是正比例函数。
（2）若函数$y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$是一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\|m|-1=1\end{cases}$
解$m+2≠0$得$m≠-2$；解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=\pm2$，结合$m≠-2$得$m=2$，常数项$n+4$无限制，即$n$为任意实数。
因此当$m=2$，$n$为任意实数时，该函数是一次函数。
【答案】
（1）$m=2$，$n=-4$；
（2）$m=2$，$n$为任意实数。
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题考查正比例函数与一次函数的概念辨析，解题核心是准确掌握两类函数的成立条件，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确正比例函数和一次函数的定义：①正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），需满足x的次数为1、x的系数不为0、常数项为0三个条件；②一次函数的形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数且$k≠0$），需满足x的次数为1、x的系数不为0，常数项无限制。解题时只需根据两个函数的定义分别列方程和不等式，求解即可得到$m、n$的取值。
【解析】
（1）若函数$y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需同时满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\|m|-1=1 \\n+4=0\end{cases}$
解$m+2≠0$得$m≠-2$；解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=\pm2$，结合$m≠-2$得$m=2$；解$n+4=0$得$n=-4$。
因此当$m=2$，$n=-4$时，该函数是正比例函数。
（2）若函数$y=(m+2)x^{|m|-1}+n+4$是一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\|m|-1=1\end{cases}$
解$m+2≠0$得$m≠-2$；解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=\pm2$，结合$m≠-2$得$m=2$，常数项$n+4$无限制，即$n$为任意实数。
因此当$m=2$，$n$为任意实数时，该函数是一次函数。
【答案】
（1）$m=2$，$n=-4$；
（2）$m=2$，$n$为任意实数。
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题考查正比例函数与一次函数的概念辨析，解题核心是准确掌握两类函数的成立条件，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
16 新素养 抽象能力（2025南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB=8 m，AD=5 m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2 m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开.
（1）写出展开的画面面积S(m²)关于点P的运动时间t(s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语，播放时间持续3 s，求播放结束时展开的画面面积.
（1）写出展开的画面面积S(m²)关于点P的运动时间t(s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语，播放时间持续3 s，求播放结束时展开的画面面积.
答案
16. 解:(1) 当 $0≤ t≤ 4$ 时,$S=S_{△ APD}=\dfrac{1}{2}AP· AD=\dfrac{1}{2}× 2t× 5=5t$；
当 $4＜t≤ 6.5$ 时,$S=5× 8-\dfrac{1}{2}× 8× (13-2t)=8t-12$.
综上, $S$ 关于点 $P$ 的运动时间 $t$ 的函数表达式为
$S=\begin{cases}5t,&0≤ t≤ 4,\\8t-12,4＜t≤ 6.5.\end{cases}$
(2) 由题意,得 $S=\dfrac{1}{4}× 5× 8=10$.
当 $5t=10$ 时,$t=2$,
所以 $S=8(3+2)-12=28$；
当 $8t-12=10$ 时,$t=\dfrac{11}{4}＜4$,不符合题意.
故播放结束时展开的画面面积是 $28\ \mathrm{m^2}$.
当 $4＜t≤ 6.5$ 时,$S=5× 8-\dfrac{1}{2}× 8× (13-2t)=8t-12$.
综上, $S$ 关于点 $P$ 的运动时间 $t$ 的函数表达式为
$S=\begin{cases}5t,&0≤ t≤ 4,\\8t-12,4＜t≤ 6.5.\end{cases}$
(2) 由题意,得 $S=\dfrac{1}{4}× 5× 8=10$.
当 $5t=10$ 时,$t=2$,
所以 $S=8(3+2)-12=28$；
当 $8t-12=10$ 时,$t=\dfrac{11}{4}＜4$,不符合题意.
故播放结束时展开的画面面积是 $28\ \mathrm{m^2}$.
解析
【分析】
这是一道结合动点场景的分段函数应用题，解题思路如下：首先明确动点P的运动分为两个阶段：沿AB运动、沿BC运动，先计算两个阶段的时间分界点及自变量t的取值范围；再针对不同运动阶段分别推导面积S的表达式：P在AB上时，展开面积是△APD的面积，直接用三角形面积公式计算；P在BC上时，展开面积等于长方形总面积减去△DPC的面积，据此推导对应表达式。第二问先算出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，代入分段函数找到符合取值范围的播放起始时间，加3s得到结束时间后，代入对应表达式即可求出结束时的面积，注意要验证解是否符合对应阶段的自变量取值范围。
【解析】
(1) 先确定动点P的运动时间范围：
点P沿AB运动的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，从A到C的总运动时间为$(8+5)÷2=6.5\ \mathrm{s}$。
①当$0\le t\le4$时，点P在AB边上，$AP=2t\ \mathrm{m}$，展开面积为$△ APD$的面积：
$S=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}×2t×5=5t$；
②当$4＜ t\le6.5$时，点P在BC边上，$PC=5-2(t-4)=13-2t\ \mathrm{m}$，展开面积为长方形ABCD的面积减去$△ DPC$的面积：
长方形面积为$8×5=40\ \mathrm{m^2}$，$△ DPC$的面积为$\frac{1}{2}× DC× PC=\frac{1}{2}×8×(13-2t)$，
因此$S=40-\frac{1}{2}×8×(13-2t)=8t-12$。
综上，S关于t的函数表达式为：
$S=\begin{cases}5t,&0\le t\le4,\\8t-12,&4＜ t\le6.5.\end{cases}$
(2) 电子屏面积的$\frac{1}{4}$为$\frac{1}{4}×8×5=10\ \mathrm{m^2}$。
将$S=10$代入分段函数求解：
①若$5t=10$，解得$t=2$，符合$0\le t\le4$的取值范围；
②若$8t-12=10$，解得$t=\frac{11}{4}=2.75$，不在$4＜ t\le6.5$的范围内，舍去。
播放结束时$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，属于$4＜ t\le6.5$的范围，代入$S=8t-12$得：
$S=8×5-12=28\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t,&0\le t\le4,\\8t-12,&4＜ t\le6.5\end{cases}$
(2) $28\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
分段函数、动点面积计算、一次函数应用
【点评】
本题结合实际动态场景考查分段函数的应用，解题核心是根据动点的位置差异分类讨论，准确写出不同阶段的函数表达式，求解时要注意检验自变量的取值是否符合对应阶段的范围，避免产生不合题意的解。
【难度系数】
0.65
这是一道结合动点场景的分段函数应用题，解题思路如下：首先明确动点P的运动分为两个阶段：沿AB运动、沿BC运动，先计算两个阶段的时间分界点及自变量t的取值范围；再针对不同运动阶段分别推导面积S的表达式：P在AB上时，展开面积是△APD的面积，直接用三角形面积公式计算；P在BC上时，展开面积等于长方形总面积减去△DPC的面积，据此推导对应表达式。第二问先算出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，代入分段函数找到符合取值范围的播放起始时间，加3s得到结束时间后，代入对应表达式即可求出结束时的面积，注意要验证解是否符合对应阶段的自变量取值范围。
【解析】
(1) 先确定动点P的运动时间范围：
点P沿AB运动的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，从A到C的总运动时间为$(8+5)÷2=6.5\ \mathrm{s}$。
①当$0\le t\le4$时，点P在AB边上，$AP=2t\ \mathrm{m}$，展开面积为$△ APD$的面积：
$S=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}×2t×5=5t$；
②当$4＜ t\le6.5$时，点P在BC边上，$PC=5-2(t-4)=13-2t\ \mathrm{m}$，展开面积为长方形ABCD的面积减去$△ DPC$的面积：
长方形面积为$8×5=40\ \mathrm{m^2}$，$△ DPC$的面积为$\frac{1}{2}× DC× PC=\frac{1}{2}×8×(13-2t)$，
因此$S=40-\frac{1}{2}×8×(13-2t)=8t-12$。
综上，S关于t的函数表达式为：
$S=\begin{cases}5t,&0\le t\le4,\\8t-12,&4＜ t\le6.5.\end{cases}$
(2) 电子屏面积的$\frac{1}{4}$为$\frac{1}{4}×8×5=10\ \mathrm{m^2}$。
将$S=10$代入分段函数求解：
①若$5t=10$，解得$t=2$，符合$0\le t\le4$的取值范围；
②若$8t-12=10$，解得$t=\frac{11}{4}=2.75$，不在$4＜ t\le6.5$的范围内，舍去。
播放结束时$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，属于$4＜ t\le6.5$的范围，代入$S=8t-12$得：
$S=8×5-12=28\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t,&0\le t\le4,\\8t-12,&4＜ t\le6.5\end{cases}$
(2) $28\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
分段函数、动点面积计算、一次函数应用
【点评】
本题结合实际动态场景考查分段函数的应用，解题核心是根据动点的位置差异分类讨论，准确写出不同阶段的函数表达式，求解时要注意检验自变量的取值是否符合对应阶段的范围，避免产生不合题意的解。
【难度系数】
0.65
