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1. [2025扬州中考]关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
∵Δ=(-3)²-4×1×1=5＞0,
∴方程$x^2 - 3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根.
2. ▶一题多解 下列一元二次方程有实数根的是（
A.$2x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 2 = 0$
C.$x^2 + 3x - 2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
C
）A.$2x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 2 = 0$
C.$x^2 + 3x - 2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
答案
通解 A选项,
∵$(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$,
∴方程$2x^2 -x +1=0$没有实数根;B选项,
∵$(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$,
∴方程$x^2 -2x +2=0$没有实数根;C选项,
∵$3^2 -4×1×(-2)=17＞0$,
∴方程$x^2 +3x -2=0$有两个不相等的实数根;D选项,
∵$0^2 -4×1×2=-8＜0$,
∴方程$x^2 +2=0$没有实数根.
另解 由a,c异号时,关于x的方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$必有两个不相等的实数根,知C选项中方程有实数根.
∵$(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$,
∴方程$2x^2 -x +1=0$没有实数根;B选项,
∵$(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$,
∴方程$x^2 -2x +2=0$没有实数根;C选项,
∵$3^2 -4×1×(-2)=17＞0$,
∴方程$x^2 +3x -2=0$有两个不相等的实数根;D选项,
∵$0^2 -4×1×2=-8＜0$,
∴方程$x^2 +2=0$没有实数根.
另解 由a,c异号时,关于x的方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$必有两个不相等的实数根,知C选项中方程有实数根.
3. 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$；
(3)$(2x + 1)^2 + 3 = 0$；
(4)$(x + 1)(4x + 1) = 2x$。
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$；
(3)$(2x + 1)^2 + 3 = 0$；
(4)$(x + 1)(4x + 1) = 2x$。
答案
(1)
∵$a=2,b=3,c=-4$,
$b^2 -4ac=3^2 -4×2×(-4)=41＞0$,
∴方程$2x^2 +3x -4=0$有两个不相等的实数根.
(2)将方程$3x^2 +2=2\sqrt{6}x$化为一般形式,得$3x^2 -2\sqrt{6}x +2=0$.
∵$a=3,b=-2\sqrt{6},c=2,b^2 -4ac=(-2\sqrt{6})^2 -4×3×2=0$,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)移项,得$(2x+1)^2=-3$.
∵$-3＜0$,
∴原方程没有实数根.
(4)将方程$(x+1)(4x+1)=2x$化为一般形式,得$4x^2 +3x +1=0$.
∵$a=4,b=3,c=1,b^2 -4ac=3^2 -4×4×1=-7＜0$,
∴原方程没有实数根.
∵$a=2,b=3,c=-4$,
$b^2 -4ac=3^2 -4×2×(-4)=41＞0$,
∴方程$2x^2 +3x -4=0$有两个不相等的实数根.
(2)将方程$3x^2 +2=2\sqrt{6}x$化为一般形式,得$3x^2 -2\sqrt{6}x +2=0$.
∵$a=3,b=-2\sqrt{6},c=2,b^2 -4ac=(-2\sqrt{6})^2 -4×3×2=0$,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)移项,得$(2x+1)^2=-3$.
∵$-3＜0$,
∴原方程没有实数根.
(4)将方程$(x+1)(4x+1)=2x$化为一般形式,得$4x^2 +3x +1=0$.
∵$a=4,b=3,c=1,b^2 -4ac=3^2 -4×4×1=-7＜0$,
∴原方程没有实数根.
4. [2025常州中考]若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则实数m的值为
1
。答案
∵关于x的一元二次方程$x^2 -2x +m=0$有两个相等的实数根,
∴Δ=0,
∴$(-2)^2 -4m=0$,
∴$m=1$.
5. [2026南京科利华中学月考] 关于x的一元二次方程$mx^2 + 2x = 1$有两个实数根，则m的取值范围为
$m≥-1且m≠0$
。答案
将方程化为一般形式为$mx^2 +2x -1=0$,由题意,知Δ=4+4m≥0,且$m≠0$,
∴$m≥-1且m≠0$.
∴$m≥-1且m≠0$.
6. [2026 盐城东台期末]已知关于x的一元二次方程$a^2x^2 + bx - 2 = 0(a≠0)$。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根。
(2)若方程的一个根是2,求代数式$8a^2 + 4b$的值。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根。
(2)若方程的一个根是2,求代数式$8a^2 + 4b$的值。
答案
(1)证明:由题意,得$Δ=b^2 -4a^2×(-2)=b^2 +8a^2＞0$,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由题意,知$4a^2 +2b -2=0$,
即$2a^2 +b=1$,
∴$8a^2 +4b=4(2a^2 +b)=4×1=4$.
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由题意,知$4a^2 +2b -2=0$,
即$2a^2 +b=1$,
∴$8a^2 +4b=4(2a^2 +b)=4×1=4$.
7. 已知关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$.
(1)当m取何值时,原方程没有实数根?
(2)给m选取一个符合条件的非零整数,使原方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
(1)当m取何值时,原方程没有实数根?
(2)给m选取一个符合条件的非零整数,使原方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
答案
(1)
∵原方程没有实数根,$a=1,b=-2(m+1)$,$c=m^2$,
∴$b^2 -4ac=[-2(m+1)]^2 -4m^2=8m+4＜0$,
∴$m＜-\frac{1}{2}$,
∴当$m＜-\frac{1}{2}$时,原方程没有实数根.
(2)由(1)可知,当$m≥-\frac{1}{2}$时,原方程有实数根,且当$m=-\frac{1}{2}$时,原方程有两个相等的实数根,故只需令$m＞-\frac{1}{2}$即可保证原方程有两个不相等的实数根.
取$m=4$,原方程变为$x^2 -10x +16=0$,
解得$x_1=2,x_2=8$.(答案不唯一)
∵原方程没有实数根,$a=1,b=-2(m+1)$,$c=m^2$,
∴$b^2 -4ac=[-2(m+1)]^2 -4m^2=8m+4＜0$,
∴$m＜-\frac{1}{2}$,
∴当$m＜-\frac{1}{2}$时,原方程没有实数根.
(2)由(1)可知,当$m≥-\frac{1}{2}$时,原方程有实数根,且当$m=-\frac{1}{2}$时,原方程有两个相等的实数根,故只需令$m＞-\frac{1}{2}$即可保证原方程有两个不相等的实数根.
取$m=4$,原方程变为$x^2 -10x +16=0$,
解得$x_1=2,x_2=8$.(答案不唯一)
8. [2026无锡宜兴期末]已知$a,b,c$分别是$△ ABC$中$∠ A,∠ B,∠ C$所对边的长,且关于$x$的一元二次方程$(c + b)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根,若$a = 3,c = 6$,试判断$△ ABC$的形状并求其面积.
答案
解:由题意,得$Δ=(-2a)^2 -4(c + b)(c - b)=0$,
整理,得$a^2 +b^2 =c^2$,
所以$△ABC$是直角三角形且$∠C=90°$.
因为$a=3,c=6$,
所以$b=\sqrt{6^2 -3^2}=3\sqrt{3}$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
整理,得$a^2 +b^2 =c^2$,
所以$△ABC$是直角三角形且$∠C=90°$.
因为$a=3,c=6$,
所以$b=\sqrt{6^2 -3^2}=3\sqrt{3}$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
