7. [2025南通海安十三校联考月考] 已知关于x的一元二次方程$ax^2 - 2(a - 2)x + a - 4 = 0(a ＞ 0)$，设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$(其中$x_1 ＞ x_2$),y是关于a的函数,且$y = x_1 - ax_2$,若$y ＞ 0$,则 ()

A.$0 ＜ a ＜ 3$
B.$0 ＜ a ＜ 5$
C.$a ＞ 3$
D.$a ＞ 5$

7.B $[-2(a - 2)]^2 -4a(a - 4) =16＞0$,由求根公式,得$x=\frac{2(a - 2)\pm\sqrt{16}}{2a}=\frac{a - 2\pm2}{a}$,$\therefore x=1$或$x=1-\frac{4}{a}$.$\because a＞0$,$x_1＞x_2$,$\therefore x_1=1$,$x_2=1-\frac{4}{a}$,$\therefore y=x_1 - a x_2=1 - a(1 - \frac{4}{a})=1 - a +4＞0$,解得$a＜5$,$\therefore 0＜a＜5$.

8. 若一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$的两个实数根中较小的一个根是$m(m≠0)$，则$b + \sqrt{b^2 -16} =$.(用含$m$的代数式表示)

8.-2m $\because x^2 + bx + 4 = 0$的两个实数根中较小的一个根是$m$,$\therefore \frac{-b - \sqrt{b^2 -16}}{2}=m$,解得$b + \sqrt{b^2 -16}=-2m$.

9. ▶一题多解 小颖解一元二次方程$3x^2 + □x -1 =0$时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，则□代表的数为。

9.-6 通解 设□代表的数为$m$,原方程可化为$3x^2 +mx -1 = 0$,依题意有$x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 -4×3×(-1)}}{2×3} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 +12}}{6}$.而$x = \frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$是该方程的解,且$\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3} = \frac{6\pm\sqrt{48}}{6}$,$\therefore \frac{-m \pm \sqrt{m^2 +12}}{6} = \frac{6\pm\sqrt{48}}{6}$,$\therefore m = -6$,即□代表的数为$-6$.
另解 设□代表的数为$m$,由题意,得$x = \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$是方程$3x^2 +mx -1 =0$的解,将其代入,得$3×(\frac{3+2\sqrt{3}}{3})^2 + \frac{3+2\sqrt{3}}{3}m -1 =0$.化简,得$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}m = -(6+4\sqrt{3}) = -2(3+2\sqrt{3})$,$\therefore m = -6$,即□代表的数为$-6$.

10. 一题多解 已知实数$a,b$满足$a^2 + ab - b^2 = 0$，且$ab≠0$，则$\frac{a}{b}$的值为。

10.$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ 通解 根据目标式可将$a^2 + ab - b^2 =0(ab≠0)$方程两边同除以$b^2$,得$(\frac{a}{b})^2 + \frac{a}{b} -1 =0$,将$\frac{a}{b}$看成一个整体,可得$\frac{a}{b} = \frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4×1×(-1)}}{2×1} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
另解 $a^2 + ab - b^2 =0(ab≠0)$可以看成关于字母$a$的一元二次方程,用公式法解得$a = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 +4b^2}}{2} = \frac{(-1\pm\sqrt{5})b}{2}$,所以$\frac{a}{b} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.

11. 已知一个矩形的相邻两边长分别为 $2m - 1$，$m + 3$，若此矩形的面积为30，求该矩形的周长。

11. 解:由题意,得$(2m - 1)(m + 3) = 30(m＞\frac{1}{2})$,
整理,得$2m^2 +5m -33 =0$.
$\because a =2,b =5,c = -33$,
$b^2 -4ac =5^2 -4×2×(-33) =289＞0$,
$\therefore m = \frac{-5\pm\sqrt{289}}{2×2} = \frac{-5\pm17}{4}$,
$\therefore m_1 =3,m_2 = -\frac{11}{2}$(舍去),
$\therefore m =3,\therefore 2m -1 =5,m +3 =6$,
$\therefore$ 该矩形相邻两边的长分别为$5$,$6$,
$\therefore$ 该矩形的周长为$2×(5 +6) =22$.

12. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 -2mx + m+1=0$.
(1)求该方程的根；
(2)当$m$为何整数时,该方程的两个根都为正整数?

12. 解:(1)根据题意,得$m≠1$.
$\because a =m -1,b = -2m,c =m +1$,
$b^2 -4ac = (-2m)^2 -4(m -1)(m +1) =4＞0$,
$\therefore x = \frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m -1)} = \frac{m\pm1}{m -1}$,
$\therefore x_1 =1,x_2 = \frac{m +1}{m -1}$.
(2)由(1)知,$x_1 =1,x_2 = \frac{m +1}{m -1} =1 + \frac{2}{m -1}$.
$\because$ 方程的两个根都为正整数,$m$为整数,
$\therefore \frac{2}{m -1}$是非负整数,
$\therefore m -1 =1$或$m -1 =2$,
$\therefore m =2$或$m =3$,
$\therefore$ 当$m =2$或$m =3$时,该方程的两个根都为正整数.

13. 天星原创 解关于$x$的方程:$ax^2 + 2x - 1 = 0.$

13. 解:①若$a =0$,则方程$ax^2 +2x -1 =0$即为$2x -1 =0$,解得$x = \frac{1}{2}$.
②若$a≠0$,则$b^2 -4ac =2^2 -4a×(-1) =4 +4a$.
当$4 +4a≥0$,即$a≥-1$时,$b^2 -4ac≥0$,
$\therefore x = \frac{-2\pm\sqrt{4 +4a}}{2a} = \frac{-2\pm2\sqrt{1 +a}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{1 +a}}{a}$,
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 +a}}{a},x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 +a}}{a}$.
当$4 +4a ＜0$,即$a ＜ -1$时,原方程无解.
综上可知,当$a =0$时,$x = \frac{1}{2}$;当$a≥-1$,且$a≠0$时,$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 +a}}{a},x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 +a}}{a}$;当$a ＜ -1$时,原方程无解.

14. 应用意识 阅读下面的例题.
在实数范围内分解因式:$x^2 + 2x - 1$.
解:令$x^2 + 2x - 1 = 0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a=1,b=2,c=-1,b^2 -4ac=4+4=8＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$,
解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$.
$\therefore x^2 +2x -1=(x -x_1)(x -x_2)=[x -(-1+\sqrt{2})][x -(-1-\sqrt{2})]=(x +1-\sqrt{2})(x +1+\sqrt{2})$.
这种因式分解的方法叫求根法,请你利用这种方法解决下面问题:
(1)已知代数式$x^2 -2x -k$对应的方程的解为-3和5,则代数式$x^2 -2x -k$在实数范围内分解后为;
(2)将代数式$x^2 -3x +1$在实数范围内分解因式.

14. 解:(1)$(x +3)(x -5)$
(2)令$x^2 -3x +1 =0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a =1,b = -3,c =1,b^2 -4ac =9 -4 =5＞0$,
$\therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$,解得$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$,
$\therefore x^2 -3x +1 = (x -x_1)(x -x_2) = (x - \frac{3 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}).$