登录
9. [2026南京建邺区期中]对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），给出下列条件：①$ac ＜ 0$；②$abc ＞ 0$；③$2a - b + c = 0$。若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
一元二次方程有实数根的条件是根的判别式$Δ=b^2 -4ac≥0$. 若$ac＜0$,则$-4ac＞0$,
∵$b^2≥0$,
∴$Δ=b^2 -4ac＞0$,故添加条件①可以判定方程有实数根(当一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$中,a与c异号时,该一元二次方程必有两个不相等的实数根). 由$abc＞0$,不容易判断方程是否有实数根,根据特殊值法,令$a=1,b=1,c=1$,则$abc=1＞0$,但$Δ=1-4=-3＜0$,故添加条件②无法判定方程有实数根. 若$2a -b +c=0$,则$b=2a +c$,
∴$Δ=(2a +c)^2 -4ac=4a^2 +4ac +c^2 -4ac=4a^2 +c^2$.
∵$a≠0$,
∴$4a^2＞0$.
∵$c^2≥0$,
∴$Δ＞0$,故添加条件③可以判定方程有实数根. 综上,正确条件的序号是①③.
∵$b^2≥0$,
∴$Δ=b^2 -4ac＞0$,故添加条件①可以判定方程有实数根(当一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$中,a与c异号时,该一元二次方程必有两个不相等的实数根). 由$abc＞0$,不容易判断方程是否有实数根,根据特殊值法,令$a=1,b=1,c=1$,则$abc=1＞0$,但$Δ=1-4=-3＜0$,故添加条件②无法判定方程有实数根. 若$2a -b +c=0$,则$b=2a +c$,
∴$Δ=(2a +c)^2 -4ac=4a^2 +4ac +c^2 -4ac=4a^2 +c^2$.
∵$a≠0$,
∴$4a^2＞0$.
∵$c^2≥0$,
∴$Δ＞0$,故添加条件③可以判定方程有实数根. 综上,正确条件的序号是①③.
10.若直线 $ y = x + a $ 不经过第二象限，则关于x的方程 $ ax^2 + 2x + 1 = 0 $ 的实数根的个数是
1或2
。答案
∵直线$y=x+a$不经过第二象限,
∴$a≤0$. 当$a=0$时,关于x的方程$ax^2 +2x +1=0$是一元一次方程,解得$x=-\frac{1}{2}$;当$a＜0$时,关于x的方程$ax^2 +2x +1=0$是一元二次方程,
∵$2^2 -4a＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根. 故关于x的方程$ax^2 +2x +1=0$的实数根的个数是1或2.
11. [2024宿迁中考改编]规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c = ac + b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1 = 2×1 +3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为
$m＜\frac{1}{4}且m≠0$
.答案
由题意,得$x(mx)+x+1=0$. 整理,得$mx^2 +x +1=0$,
∴$a=m,b=1,c=1$.
∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,
∴$b^2 -4ac=1-4m＞0$且$m≠0$(二次项系数不为0),解得$m＜\frac{1}{4}且m≠0$.
∴$a=m,b=1,c=1$.
∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,
∴$b^2 -4ac=1-4m＞0$且$m≠0$(二次项系数不为0),解得$m＜\frac{1}{4}且m≠0$.
12. [2025 苏州立达中学期末] 已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
(1)如果$x = -1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(1)如果$x = -1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
(1)$△ABC$是等腰三角形. 理由如下:
∵$x=-1$是方程的根,
∴$(a + c)-2b +(a - c)=0$,
∴$a + c -2b +a -c=0$,
∴$a=b$,
∴$△ABC$是等腰三角形.
(2)$△ABC$是直角三角形. 理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴$(2b)^2 -4(a + c)(a - c)=0$,
∴$4b^2 -4a^2 +4c^2=0$,
∴$a^2 =b^2 +c^2$,
∴$△ABC$是直角三角形.
∵$x=-1$是方程的根,
∴$(a + c)-2b +(a - c)=0$,
∴$a + c -2b +a -c=0$,
∴$a=b$,
∴$△ABC$是等腰三角形.
(2)$△ABC$是直角三角形. 理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴$(2b)^2 -4(a + c)(a - c)=0$,
∴$4b^2 -4a^2 +4c^2=0$,
∴$a^2 =b^2 +c^2$,
∴$△ABC$是直角三角形.
13. [2025镇江句容市崇明中学月考]已知关于$x$的方程
$mx^2 + (4m - 2)x + 4m - 4 = 0$（$m$为常数，且$m≠0$）.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若该方程有两个实数根，
①不论$m$取何实数，该方程总有一个不变的实数根为
②若$m$为整数，且方程的两个实数根都是整数，求$m$的值.
$mx^2 + (4m - 2)x + 4m - 4 = 0$（$m$为常数，且$m≠0$）.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若该方程有两个实数根，
①不论$m$取何实数，该方程总有一个不变的实数根为
-2
；②若$m$为整数，且方程的两个实数根都是整数，求$m$的值.
答案
(1)证明:
∵$m≠0$,
∴方程为一元二次方程.
∵$(4m -2)^2 -4m(4m -4)=4＞0$,
∴方程总有两个实数根.
(2)解:①
$x=\frac{-(4m -2)±2}{2m}=\frac{-2m +1±1}{m}$,
解得$x_1=-2$,$x_2=-\frac{2m -2}{m}$,
∴不论m取何实数,该方程总有一个不变的实数根-2.
②由(2)①得$x=-2$或$x=-\frac{2m -2}{m}=-2+\frac{2}{m}$.
∵m为整数,且方程的两个实数根都是整数,
∴m的值为±1,±2.
∵$m≠0$,
∴方程为一元二次方程.
∵$(4m -2)^2 -4m(4m -4)=4＞0$,
∴方程总有两个实数根.
(2)解:①
$x=\frac{-(4m -2)±2}{2m}=\frac{-2m +1±1}{m}$,
解得$x_1=-2$,$x_2=-\frac{2m -2}{m}$,
∴不论m取何实数,该方程总有一个不变的实数根-2.
②由(2)①得$x=-2$或$x=-\frac{2m -2}{m}=-2+\frac{2}{m}$.
∵m为整数,且方程的两个实数根都是整数,
∴m的值为±1,±2.
14. 应用意识 [2025 扬州中学教育集团树人学校月考] 我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 & ①, \\ x + y = 2 & ② \end{cases}$的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解. 其解法如下：
解:由②,得$y = 2 - x$ ③.
将③代入①,得$x^2 + (2 - x)^2 = 10$.
整理,得$x^2 - 2x - 3 = 0$,解得$x_1 = -1, x_2 = 3$.
将$x_1 = -1, x_2 = 3$分别代入③,得$y_1 = 2 + 1 = 3, y_2 = 2 - 3 = -1$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 3, \\ y = -1 \end{cases}$.
(1) 请你用代入消元法解二元二次方程组:$\begin{cases} 2x - y = -1, \\ y^2 - 3x^2 + x - 7 = 0. \end{cases}$
(2) 若关于$x, y$的二元二次方程组$\begin{cases} 2x - y = -1, \\ y^2 + ax^2 + x - 7 = 0 \end{cases}$有实数解,求实数$a$的取值范围.
解:由②,得$y = 2 - x$ ③.
将③代入①,得$x^2 + (2 - x)^2 = 10$.
整理,得$x^2 - 2x - 3 = 0$,解得$x_1 = -1, x_2 = 3$.
将$x_1 = -1, x_2 = 3$分别代入③,得$y_1 = 2 + 1 = 3, y_2 = 2 - 3 = -1$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 3, \\ y = -1 \end{cases}$.
(1) 请你用代入消元法解二元二次方程组:$\begin{cases} 2x - y = -1, \\ y^2 - 3x^2 + x - 7 = 0. \end{cases}$
(2) 若关于$x, y$的二元二次方程组$\begin{cases} 2x - y = -1, \\ y^2 + ax^2 + x - 7 = 0 \end{cases}$有实数解,求实数$a$的取值范围.
答案
(1)$\begin{cases} 2x - y = -1 \ \ ①, \\ y^2 - 3x^2 + x -7=0 \ \ ②. \end{cases}$
由①,得$y=2x+1$ ③,
把③代入②,得$(2x+1)^2 -3x^2 +x -7=0$,
整理,得$x^2 +5x -6=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-6$.
把$x_1=1$,$x_2=-6$分别代入③,得$y_1=2×1+1=3$,$y_2=2×(-6)+1=-11$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6, \\ y=-11. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x - y = -1 \ \ ①, \\ y^2 +ax^2 +x -7=0 \ \ ②. \end{cases}$
由①,得$y=2x+1$ ③,
把③代入②,得$(2x+1)^2 +ax^2 +x -7=0$.
整理,得$(a+4)x^2 +5x -6=0$.
①若$a+4=0$,则$a=-4$,此时原方程可化为$5x -6=0$,解得$x=\frac{6}{5}$,符合题意;
②若$a+4≠0$,则$5^2 -4×(a+4)×(-6)≥0$且$a≠-4$,解得$a≥-\frac{121}{24}且a≠-4$.
综上可知,实数a的取值范围为$a≥-\frac{121}{24}$.
由①,得$y=2x+1$ ③,
把③代入②,得$(2x+1)^2 -3x^2 +x -7=0$,
整理,得$x^2 +5x -6=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-6$.
把$x_1=1$,$x_2=-6$分别代入③,得$y_1=2×1+1=3$,$y_2=2×(-6)+1=-11$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6, \\ y=-11. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x - y = -1 \ \ ①, \\ y^2 +ax^2 +x -7=0 \ \ ②. \end{cases}$
由①,得$y=2x+1$ ③,
把③代入②,得$(2x+1)^2 +ax^2 +x -7=0$.
整理,得$(a+4)x^2 +5x -6=0$.
①若$a+4=0$,则$a=-4$,此时原方程可化为$5x -6=0$,解得$x=\frac{6}{5}$,符合题意;
②若$a+4≠0$,则$5^2 -4×(a+4)×(-6)≥0$且$a≠-4$,解得$a≥-\frac{121}{24}且a≠-4$.
综上可知,实数a的取值范围为$a≥-\frac{121}{24}$.
