15. 推理能力 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(m,0),B(m-a,0)(a＞m＞0)$的位置和函数$y_1=\frac{m}{x}(x＞0),y_2=\frac{m-a}{x}(x＜0)$的图象如图所示.以$AB$为边在$x$轴上方作正方形$ABCD$,$AD$边与函数$y_1$的图象相交于点$E$,$CD$边与函数$y_1,y_2$的图象分别相交于点$G,H$,一次函数$y_3$的图象经过点$E,G$,与$y$轴相交于点$P$,连接$PH$.
(1)若$m=2,a=4$,求函数$y_3$的表达式及$△ PGH$的面积.
(2)当$a,m$在满足$a＞m＞0$的条件下任意变化时,$△ PGH$的面积是否变化?请说明理由.
(3)试判断直线$PH$与$BC$边的交点是否在函数$y_2$的图象上,并说明理由.

解:(1)
∵m=2,a=4,
∴A(2,0),B(-2,0),$y_1=\frac{2}{x}$,$y_2=-\frac{2}{x}$,
∴AB=BC=CD=DA=4,
∴E(2,1),$G(\frac{1}{2},4)$,$H(-\frac{1}{2},4)$.
∵一次函数$y_3$的图象经过点E,G,
∴设$y_3=kx+b$,则$\begin{cases}2k + b = 1,\\\frac{1}{2}k + b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=5,\end{cases}$
∴函数$y_3$的表达式为$y_3=-2x+5$,
∴P(0,5).
设CD与y轴的交点为点M,如图,
∴PM=OP-OM=1,
∴$S_{△PGH}=\frac{1}{2}×HG×PM=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}.$

(2)△PGH的面积不变化.理由如下:
∵A(m,0),B(m-a,0),$y_1=\frac{m}{x}$,$y_2=\frac{m-a}{x}$,
∴E(m,1),$G(\frac{m}{a},a)$,$H(\frac{m-a}{a},a)$.
设$y_3=k_1x+b_1$,则$\begin{cases}k_1m + b_1 = 1,\\\frac{k_1m}{a} + b_1 = a,\end{cases}$
∴$b_1=a+1$,
∴P(0,a+1),
∴PM=OP-OM=1,
∴$S_{△PGH}=\frac{1}{2}×HG×PM=\frac{1}{2}×(\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a})×1=\frac{1}{2}$,
∴当a,m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时,△PGH的面积不变化.
(3)如图,设直线PH与BC边的交点为N,设直线PH的表达式为$y=k_2x+a+1$,
代入$H(\frac{m-a}{a},a)$,得$\frac{k_2(m-a)}{a}+a+1=a$,
∴$k_2=\frac{a}{a-m}$,
∴$y=\frac{a}{a-m}x+a+1$,
当x=m-a时,y=1,
∴N(m-a,1),
∴点N在$y_2=\frac{m-a}{x}(x＜0)$的图象上.

1. [2026宿迁宿豫区模拟]函数$y_1=mx$（$m$是常数，且$m≠0$）与$y_2=\frac{n}{x}$（$n$是常数，且$n≠0$）的图象交于$A(-1,2)$，$B$两点，则当$y_1＞y_2$时，自变量$x$的取值范围是。

x ＜ -1 或 0 ＜ x ＜ 1 将A(-1,2)代入y₁=mx,得2=-m,解得m=-2,即y₁=-2x.将A(-1,2)代入$y_2=\frac{n}{x}$,得$2=\frac{n}{-1}$,解得n=-2,即$y_2=-\frac{2}{x}$.
∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点对称,
∴两个交点关于原点对称,可得点B的坐标为(1,-2),画出两个函数的图象如图所示.由函数图象可知,当y₁＞y₂时,自变量x的取值范围是x ＜ -1 或 0 ＜ x ＜ 1.

2. [2026南通海安墩头初级中学月考]在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(m,6m),B(3m,2n),C(-3m,-2n)$是函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的三点.若$S_{△ ABC}=2$,则$k$的值为.

$\frac{3}{4}$

∵A(m,6m),B(3m,2n),C(-3m,-2n)是函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的三点,
∴k=6m²＞0,k=6mn,
∴m=n,
∴B(3m,2m),C(-3m,-2m),
∴点B,C关于原点对称.设直线BC的表达式为y=ax(a≠0),将B(3m,2m)代入,得2m=3ma,解得$a=\frac{2}{3}$,
∴直线BC的表达式为$y=\frac{2}{3}x$.不妨设m＞0,如图,过点A作x轴的垂线交BC于点D.把x=m代入$y=\frac{2}{3}x$,得$y=\frac{2}{3}m$,
∴$D(m,\frac{2}{3}m)$,
∴$AD=6m-\frac{2}{3}m=\frac{16}{3}m$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{16}{3}m×(3m+3m)=2$,
∴$m²=\frac{1}{8}$,
∴$k=6m²=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$.而当m＜0时,同理可得$k=\frac{3}{4}.$

3. [2024镇江中考] 如图,在平面直角坐标系中,过点$A(m,0)$且垂直于$x$轴的直线$l$与反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象交于点$B$,将直线$l$绕点$B$逆时针旋转$45°$,所得的直线经过第一、二、四象限,则$m$的取值范围是 ()

A.$m ＜ -2$或$m ＞ 2$
B.$-2 ＜ m ＜ 2$且$m≠0$
C.$-2 ＜ m ＜ 0$或$m ＞ 2$
D.$m ＜ -2$或$0 ＜ m ＜ 2$

C 当点A在原点右侧时,点B的坐标为$(m,-\frac{4}{m})$.
∵直线l绕点B逆时针旋转45°,
∴所得的直线与直线y=-x平行.设这条直线的表达式为y=-x+b.
∵这条直线经过第一、二、四象限,
∴b＞0.
∵点B在直线y=-x+b上,
∴$-m + b=-\frac{4}{m}$,
∴$b=m-\frac{4}{m}=\frac{m²-4}{m}＞0$.
∵m＞0,
∴m²-4＞0,
∴m＞2.当点A在原点左侧时,设这条直线的表达式为y=-x+b',同理可得$b'=\frac{m²-4}{m}＞0$.
∵m＜0,
∴m²-4＜0,
∴-2＜m＜0.综上所述,m的取值范围是-2＜m＜0或m＞2.