9. [2026无锡江阴一模]如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点,点B在x轴上,$AO=AB$,点C为OA的中点,若$△ ABC$的面积为4,则k的值为 ()

A.-4
B.-8
C.-6
D.$\frac{1}{2}$

B 如图,过点A作AD⊥x轴于点D.
∵点C为OA的中点,△ABC的面积为4,
∴△ABO的面积为8.
∵AB=AO,AD⊥OB,
∴BD=DO,
∴△ADO的面积=4=$\frac{1}{2}|k|$.又
∵反比例函数的图象位于第二象限,
∴k＜0,
∴k=-8.

10. [2025 南通崇川区期末] 如图, 四边形 OABF 中, $∠ OAB = ∠ B = 90°$, 点 A 在 x 轴上, 双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过点 F, 交 AB 于点 E, 连接 EF. 若 $\frac{BF}{OA} = \frac{2}{3}$, $S_{△ BEF} = 4$, 则 k 的值为 ()

A.6
B.8
C.12
D.16

A 如图,过点F作FC⊥OA于点C.
∵$\frac{BF}{OA}=\frac{2}{3}$,
∴OA=3OC,BF=2OC.设F(m,n),则OA=3m,BF=2m.
∵$S_{△BEF}=4$,
∴BE=$\frac{4}{m}$,则$E(3m,n-\frac{4}{m})$.
∵点F,E在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,
∴$mn=3m(n-\frac{4}{m})$,
∴mn=6,即k=6.

11. [2025无锡金桥双语实验学校模拟] 如图,平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,点B在y轴上,点C,D在x轴上,AD与y轴交于点E,连接CE.若$S_{△ BCE}=3$,则k的值为.

-6 如图,过点A作AF⊥x轴于点F,则四边形ABOF是矩形.根据反比例函数中k的几何意义,知$S_{矩形ABOF}=|k|=-k$.
∵$S_{□ABCD}=2S_{△BCE}=6$,
∴$S_{矩形ABOF}=-k=6$,
∴k=-6.

12. 如图,点A,D在反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象上,点B,C在反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象上,$AB// CD// x$轴,若$AB=3$,$CD=5$,$AB$所在直线与$CD$所在直线之间的距离为8,则$b - a$的值为.

15

∵点A,D在反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象上,点B,C在反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象上,
∴设$A(\frac{a}{m},m)$,$B(\frac{b}{m},m)$,则$AB=\frac{b}{m}-\frac{a}{m}=3$,
∴$b-a=3m$.
∵AB所在直线与CD所在直线之间的距离为8,且AB//CD//x轴,
∴$D(\frac{a}{m-8},m-8)$,$C(\frac{b}{m-8},m-8)$.
∵CD=5,
∴$CD=\frac{a}{m-8}-\frac{b}{m-8}=5$,则$a-b=5(m-8)=5m-40$,
∴$b-a=-(5m-40)$.由3m=-(5m-40),得m=5,
∴b-a=3×5=15.

13. [2026泰州靖江外国语学校月考] 如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在BC上，且$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连接点D,O,M.若$△ DOM$的面积为4，则k的值为.

$\frac{16}{3}$ 如图,连接OB.由题意,知点M是OB的中点,
∴OM=BM,
∴$S_{△OBD}=2S_{△DOM}$.
∵$S_{△DOM}=4$,
∴$S_{△OBD}=8$.
∵点D在BC上,且$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$,
∴$S_{△OCD}=\frac{1}{3}S_{△OBD}=\frac{1}{3}×8=\frac{8}{3}$.
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,且∠OCD=90°,
∴$S_{△OCD}=\frac{1}{2}k$,
∴$\frac{1}{2}k=\frac{8}{3}$,
∴$k=\frac{16}{3}.$

14. [2026 北京平谷区期末] 在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=2x+1$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的交点是$A(a,3)$。
(1)求$a$和$k$的值；
(2)当$x＞3$时，对于$x$的每个值，函数$y=m(x-1)(m≠0)$既大于函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的值，又小于函数$y=2x+1$的值，直接写出$m$的取值范围。

解:(1)将A(a,3)代入y=2x+1,得3=2a+1,解得a=1,
∴点A的坐标为(1,3).
将A(1,3)代入$y=\frac{k}{x}$,得$3=\frac{k}{1}$,解得k=3.
(2)$\frac{1}{2}≤m≤2.$
对于函数y=m(x-1),当x=1时,y=0,
∴函数y=m(x-1)的图象过点(1,0).
把x=3代入$y=\frac{3}{x}$,得y=1,
把(3,1)代入y=m(x-1),得1=m(3-1),解得$m=\frac{1}{2}$,如图1.
当m=2时,直线y=m(x-1)与直线y=2x+1平行,如图2,
∴当$\frac{1}{2}≤m≤2$时,对于x＞3的每个值,函数y=m(x-1)(m≠0)既大于函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的值,又小于函数y=2x+1的值,
∴m的取值范围是$\frac{1}{2}≤m≤2.$