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9. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成$90°$角，则小丽在C处时距离地面的高度是（
A.0.9 m
B.1.3 m
C.1.6 m
D.2 m
A
）A.0.9 m
B.1.3 m
C.1.6 m
D.2 m
答案
9.A 【点拨】如图,过点C作CE⊥OA于点E,摆绳OA与地面的垂足为F,由题意可知,OB=OC=2 m,BD=1.6 m,DF=1.3 m,.在Rt△OBD中,由勾股定理易得OD=1.2 m,所以OF=OD+DF=2.5 m.因为∠ODB=90°,所以∠OBD+∠BOD=90°.因为∠BOC=90°,所以∠BOD+∠COE=90°,所以∠OBD=∠COE.在△BOD和△OCE中,$\begin{cases} ∠ODB=∠CEO=90°, \\ ∠OBD=∠COE, \\ OB=OC, \end{cases}$所以△BOD≌△OCE(AAS),所以OE = BD = 1.6 m,所以EF=OF-OE=0.9 m,即小丽在C处时距离地面的高度是0.9 m.
解析
【分析】
要解决这道题，我们首先将实际荡秋千的场景转化为几何问题：已知摆长OB=OC=2m，∠BOC=90°，BD⊥OA，B点距地面高度为1.3m，BD=1.6m，求C点距地面的高度。解题思路分为三步：第一步，作辅助线，过C作CE⊥OA于E，设OA与地面垂足为F，将C点离地高度转化为线段EF的长度；第二步，在Rt△OBD中用勾股定理计算OD的长度，结合B点高度算出O点到地面的总高度OF；第三步，利用同角的余角相等证明∠OBD=∠COE，进而证明△BOD和△OCE全等，得到OE的长度，最后用总高度OF减去OE即可得到EF，也就是C点离地高度。
【解析】
如图，过点C作CE⊥OA于点E，设摆绳OA与地面的垂足为F。
由题意得：OB=OC=2m，BD=1.6m，B点距地面高度DF=1.3m，∠ODB=∠CEO=∠BOC=90°。
在Rt△OBD中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1.6^2}=\sqrt{1.44}=1.2\mathrm{m}$
因此O点到地面的总高度$OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5\mathrm{m}$。
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°；
又
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE（同角的余角相等）。
在△BOD和△OCE中：
$\begin{cases} ∠ODB=∠CEO=90° \\ ∠OBD=∠COE \\ OB=OC \end{cases}$
∴△BOD≌△OCE（AAS），得$OE=BD=1.6\mathrm{m}$。
因此C点距地面的高度$EF=OF-OE=2.5-1.6=0.9\mathrm{m}$。
【答案】A
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景命题，将实际问题与几何知识融合，考查了学生对勾股定理、全等三角形相关性质的应用能力，以及构造辅助线、转化实际问题的思维能力，贴近生活，综合性适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们首先将实际荡秋千的场景转化为几何问题：已知摆长OB=OC=2m，∠BOC=90°，BD⊥OA，B点距地面高度为1.3m，BD=1.6m，求C点距地面的高度。解题思路分为三步：第一步，作辅助线，过C作CE⊥OA于E，设OA与地面垂足为F，将C点离地高度转化为线段EF的长度；第二步，在Rt△OBD中用勾股定理计算OD的长度，结合B点高度算出O点到地面的总高度OF；第三步，利用同角的余角相等证明∠OBD=∠COE，进而证明△BOD和△OCE全等，得到OE的长度，最后用总高度OF减去OE即可得到EF，也就是C点离地高度。
【解析】
如图，过点C作CE⊥OA于点E，设摆绳OA与地面的垂足为F。
由题意得：OB=OC=2m，BD=1.6m，B点距地面高度DF=1.3m，∠ODB=∠CEO=∠BOC=90°。
在Rt△OBD中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1.6^2}=\sqrt{1.44}=1.2\mathrm{m}$
因此O点到地面的总高度$OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5\mathrm{m}$。
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°；
又
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE（同角的余角相等）。
在△BOD和△OCE中：
$\begin{cases} ∠ODB=∠CEO=90° \\ ∠OBD=∠COE \\ OB=OC \end{cases}$
∴△BOD≌△OCE（AAS），得$OE=BD=1.6\mathrm{m}$。
因此C点距地面的高度$EF=OF-OE=2.5-1.6=0.9\mathrm{m}$。
【答案】A
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景命题，将实际问题与几何知识融合，考查了学生对勾股定理、全等三角形相关性质的应用能力，以及构造辅助线、转化实际问题的思维能力，贴近生活，综合性适中。
【难度系数】
0.6
10. 真实情境题体育赛事 2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160 m，AC=200 m，点C在点B的正东方120 m处，点D在点C的正北方50 m处.
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
答案
10.【解】(1)AB⊥BC.理由如下：
由题知AB=160 m,AC=200 m,BC=120 m.
因为AB²+BC²=160²+120²=200²=AC²,
所以△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.
所以AB⊥BC.
(2)由题意可知BC⊥CD,CD=50 m.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD=130 m,
所以AB+BD=160+130=290(m).
而AC+CD=200+50=250(m).
因为290 m＞250 m,即AB+BD＞AC+CD,
所以小亮跑的路线更短.
由题知AB=160 m,AC=200 m,BC=120 m.
因为AB²+BC²=160²+120²=200²=AC²,
所以△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.
所以AB⊥BC.
(2)由题意可知BC⊥CD,CD=50 m.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD=130 m,
所以AB+BD=160+130=290(m).
而AC+CD=200+50=250(m).
因为290 m＞250 m,即AB+BD＞AC+CD,
所以小亮跑的路线更短.
解析
【分析】
(1)要判断AB与BC的位置关系，已知△ABC三边的长度，可借助勾股定理的逆定理验证：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角，即可得出垂直关系。
(2)要比较两人跑的路线长短，只需分别计算两条路线的总长度再比较大小。首先根据方位信息可知BC⊥CD，已知BC和CD的长度，用勾股定理算出BD的长度，再分别计算两条路线的总长度，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) $AB⊥ BC$，理由如下：
由题意得$AB=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AC=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AB^2+BC^2=160^2+120^2=25600+14400=40000$，
而$AC^2=200^2=40000$，
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
故$AB⊥ BC$。
(2) 由点C在点B的正东方，点D在点C的正北方，可得$BC⊥ CD$，即$∠ BCD=90°$，已知$CD=50\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{m}$，
爸爸跑的$A\to B\to D$路线总长度为：$AB+BD=160+130=290\ \mathrm{m}$，
小亮跑的$A\to C\to D$路线总长度为：$AC+CD=200+50=250\ \mathrm{m}$，
因为$290＞250$，所以小亮跑的路线更短。
【答案】
(1) $AB⊥ BC$；
(2) 小亮跑的路线更短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；方位角应用
【点评】
本题结合生活中的晨跑场景命题，体现了数学的实用性，解题关键是从题干和方位信息中提取直角条件，结合勾股定理及其逆定理计算即可，能够考查学生对基础定理的应用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.75
(1)要判断AB与BC的位置关系，已知△ABC三边的长度，可借助勾股定理的逆定理验证：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角，即可得出垂直关系。
(2)要比较两人跑的路线长短，只需分别计算两条路线的总长度再比较大小。首先根据方位信息可知BC⊥CD，已知BC和CD的长度，用勾股定理算出BD的长度，再分别计算两条路线的总长度，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) $AB⊥ BC$，理由如下：
由题意得$AB=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AC=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AB^2+BC^2=160^2+120^2=25600+14400=40000$，
而$AC^2=200^2=40000$，
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
故$AB⊥ BC$。
(2) 由点C在点B的正东方，点D在点C的正北方，可得$BC⊥ CD$，即$∠ BCD=90°$，已知$CD=50\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{m}$，
爸爸跑的$A\to B\to D$路线总长度为：$AB+BD=160+130=290\ \mathrm{m}$，
小亮跑的$A\to C\to D$路线总长度为：$AC+CD=200+50=250\ \mathrm{m}$，
因为$290＞250$，所以小亮跑的路线更短。
【答案】
(1) $AB⊥ BC$；
(2) 小亮跑的路线更短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；方位角应用
【点评】
本题结合生活中的晨跑场景命题，体现了数学的实用性，解题关键是从题干和方位信息中提取直角条件，结合勾股定理及其逆定理计算即可，能够考查学生对基础定理的应用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.75
11. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20 cm、长是50 cm、宽是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是
130
cm.答案
11.130
解析
【分析】
要解决台阶上蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：首先将立体的台阶表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，最短路径就是展开后A、B两点的线段长度；接着确定展开后线段AB所在直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
1. 将台阶的所有面向外展开为平面图形，此时A、B两点间的线段就是爬行的最短路径。
2. 计算展开后直角三角形的两条直角边长度：
一条直角边为台阶的长度，即$\boldsymbol{50\ \mathrm{cm}}$；
另一条直角边为2级台阶的总高度加总深度，即$2×20 + 2×40=120\ \mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理计算AB的长度：
$AB=\sqrt{50^2+120^2}=\sqrt{2500+14400}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{cm}$。
【答案】
130
【知识点】
最短路径问题、勾股定理的应用
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型考题，解题关键是掌握将立体图形展开为平面图形的方法，结合勾股定理即可求解，需要注意展开时不要漏算各段边长。
【难度系数】
0.6
要解决台阶上蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：首先将立体的台阶表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，最短路径就是展开后A、B两点的线段长度；接着确定展开后线段AB所在直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
1. 将台阶的所有面向外展开为平面图形，此时A、B两点间的线段就是爬行的最短路径。
2. 计算展开后直角三角形的两条直角边长度：
一条直角边为台阶的长度，即$\boldsymbol{50\ \mathrm{cm}}$；
另一条直角边为2级台阶的总高度加总深度，即$2×20 + 2×40=120\ \mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理计算AB的长度：
$AB=\sqrt{50^2+120^2}=\sqrt{2500+14400}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{cm}$。
【答案】
130
【知识点】
最短路径问题、勾股定理的应用
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型考题，解题关键是掌握将立体图形展开为平面图形的方法，结合勾股定理即可求解，需要注意展开时不要漏算各段边长。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形$EBFC$的面积为
60
.答案
12.60 【点拨】因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BF//AC,所以∠ACB=∠CBF.所以∠ABC=∠CBF.所以BC平分∠ABF.过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,则CM=CN.因为$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CM$,$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF·CN$,且BF=AE,所以$S_{△CBF}=S_{△ACE}$.所以四边形EBFC的面积为$S_{△CBF}+S_{△CBE}=S_{△ACE}+S_{△CBE}=S_{△CBA}$.因为AC=13,所以AB=13.设AM=x,则BM=13-x,由勾股定理,得CM²=AC²-AM²=BC²-BM²,所以13²-x²=10²-(13-x)²,解得$x=\frac{119}{13}$,所以易得$CM=\frac{120}{13}$.所以$S_{△CBA}=\frac{1}{2}AB·CM=60$.所以四边形EBFC的面积为60.
解析
【分析】
解题时首先要将不规则四边形EBFC的面积转化为规则图形的面积计算：第一步，结合等腰三角形性质和平行线的性质，推导得出BC平分∠ABF；第二步，利用角平分线的性质得到点C到AB、BF的距离相等，再结合AE=BF，可推出△ACE和△CBF面积相等，即可得到四边形EBFC的面积等于△ABC的面积；第三步，已知等腰△ABC的三边长，通过勾股定理求出腰上的高，计算出△ABC的面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BF//AC，
∴∠ACB=∠CBF，
∴∠ABC=∠CBF，即BC平分∠ABF。
过点C作CM⊥AB于M，CN⊥BF于N，根据角平分线的性质可得CM=CN。
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CM$，$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF·CN$，且BF=AE，
∴$S_{△CBF}=S_{△ACE}$。
∴四边形EBFC的面积$S=S_{△CBF}+S_{△CBE}=S_{△ACE}+S_{△CBE}=S_{△ABC}$。
∵AC=13，AB=AC，
∴AB=13，
设AM=x，则BM=13-x，
在Rt△ACM和Rt△BCM中，由勾股定理得：
$CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$，
代入数据得：$13^2-x^2=10^2-(13-x)^2$，
解得$x=\frac{119}{13}$，
代入计算得$CM=\frac{120}{13}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM=\frac{1}{2}×13×\frac{120}{13}=60$，
即四边形EBFC的面积为60。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过角平分线性质和等底等高三角形面积相等的规律，将不规则四边形的面积转化为等腰三角形的面积求解，避免了直接拆分计算四边形面积的复杂过程，对学生的几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要将不规则四边形EBFC的面积转化为规则图形的面积计算：第一步，结合等腰三角形性质和平行线的性质，推导得出BC平分∠ABF；第二步，利用角平分线的性质得到点C到AB、BF的距离相等，再结合AE=BF，可推出△ACE和△CBF面积相等，即可得到四边形EBFC的面积等于△ABC的面积；第三步，已知等腰△ABC的三边长，通过勾股定理求出腰上的高，计算出△ABC的面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BF//AC，
∴∠ACB=∠CBF，
∴∠ABC=∠CBF，即BC平分∠ABF。
过点C作CM⊥AB于M，CN⊥BF于N，根据角平分线的性质可得CM=CN。
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CM$，$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF·CN$，且BF=AE，
∴$S_{△CBF}=S_{△ACE}$。
∴四边形EBFC的面积$S=S_{△CBF}+S_{△CBE}=S_{△ACE}+S_{△CBE}=S_{△ABC}$。
∵AC=13，AB=AC，
∴AB=13，
设AM=x，则BM=13-x，
在Rt△ACM和Rt△BCM中，由勾股定理得：
$CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$，
代入数据得：$13^2-x^2=10^2-(13-x)^2$，
解得$x=\frac{119}{13}$，
代入计算得$CM=\frac{120}{13}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM=\frac{1}{2}×13×\frac{120}{13}=60$，
即四边形EBFC的面积为60。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过角平分线性质和等底等高三角形面积相等的规律，将不规则四边形的面积转化为等腰三角形的面积求解，避免了直接拆分计算四边形面积的复杂过程，对学生的几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图，点C为直线$ l $上的一个动点，$ AD ⊥ l $于点D，$ BE ⊥ l $于点E，点E在点D右侧，并且点A，B在直线$ l $的同侧，$ AD=DE=8 $，$ BE=2 $，当CD的长为多少时，$ △ ABC $为直角三角形？
答案
13.【解】过点B作BF⊥AD于点F,
则易得四边形DEBF为长方形,所以BF=DE=8,DF=BE=2,所以AF=AD-DF=6.由勾股定理得,AB²=AF²+BF²=100,AC²=64+CD².当∠CAB=90°时,点C在点D的左侧,此时BC²=(CD+8)²+4=CD²+16CD+64+4.由勾股定理得AB²+AC²=BC²,所以100+64+CD²=CD²+16CD+64+4,解得CD=6;
当∠ABC=90°时,点C在线段DE上,此时BC²=(8-CD)²+4=CD²-16CD+64+4.
由勾股定理得AC²=AB²+BC²,所以64+CD²=100+CD²-16CD+64+4,解得$CD=\frac{13}{2}$;
当∠ACB=90°时,易知点C在线段DE上,此时BC²=(8-CD)²+4=CD²-16CD+64+4.
由勾股定理得AB²=AC²+BC²,
所以100=64+CD²+CD²-16CD+64+4,
所以(CD-4)²=0,所以CD=4.
综上,当CD长为6或4或$\frac{13}{2}$时,△ABC为直角三角形.
则易得四边形DEBF为长方形,所以BF=DE=8,DF=BE=2,所以AF=AD-DF=6.由勾股定理得,AB²=AF²+BF²=100,AC²=64+CD².当∠CAB=90°时,点C在点D的左侧,此时BC²=(CD+8)²+4=CD²+16CD+64+4.由勾股定理得AB²+AC²=BC²,所以100+64+CD²=CD²+16CD+64+4,解得CD=6;
当∠ABC=90°时,点C在线段DE上,此时BC²=(8-CD)²+4=CD²-16CD+64+4.
由勾股定理得AC²=AB²+BC²,所以64+CD²=100+CD²-16CD+64+4,解得$CD=\frac{13}{2}$;
当∠ACB=90°时,易知点C在线段DE上,此时BC²=(8-CD)²+4=CD²-16CD+64+4.
由勾股定理得AB²=AC²+BC²,
所以100=64+CD²+CD²-16CD+64+4,
所以(CD-4)²=0,所以CD=4.
综上,当CD长为6或4或$\frac{13}{2}$时,△ABC为直角三角形.
解析
【分析】
本题属于直角三角形动点存在性问题，由于未明确△ABC的直角顶点，需分三种情况讨论：①∠CAB为直角；②∠ABC为直角；③∠ACB为直角。首先通过作辅助线构造矩形求出固定边AB的长度，再设CD的长为未知数，分别用含未知数的式子表示AC²、BC²，结合勾股定理列方程求解即可，求解时要注意不同直角顶点对应点C的位置，保证结果符合位置要求。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F，
∵AD⊥l，BE⊥l，BF⊥AD，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=8，DF=BE=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
在Rt△ABF中，由勾股定理得$AB^2=AF^2+BF^2=6^2+8^2=100$。
设CD的长为$x$，在Rt△ACD中，$AC^2=AD^2+CD^2=64+x^2$，分三种情况讨论：
1. 当∠CAB=90°时，点C在点D左侧，
此时$CE=CD+DE=x+8$，在Rt△BCE中，$BC^2=CE^2+BE^2=(x+8)^2+2^2=x^2+16x+68$，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得：
$100+64+x^2=x^2+16x+68$，解得$x=6$，即$CD=6$；
2. 当∠ABC=90°时，点C在线段DE上，
此时$CE=DE-CD=8-x$，在Rt△BCE中，$BC^2=CE^2+BE^2=(8-x)^2+2^2=x^2-16x+68$，
由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，代入得：
$64+x^2=100+x^2-16x+68$，解得$x=\frac{13}{2}$，即$CD=\frac{13}{2}$；
3. 当∠ACB=90°时，点C在线段DE上，
此时$BC^2=x^2-16x+68$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，代入得：
$100=64+x^2+x^2-16x+68$，整理得$(x-4)^2=0$，解得$x=4$，即$CD=4$。
【答案】
当CD的长为4、6或$\frac{13}{2}$时，△ABC为直角三角形。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的直角三角形动点存在性问题，解题核心是对直角顶点分情况讨论，结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意不同情况对应点的位置，避免出现漏解或增解的问题。
【难度系数】
0.6
本题属于直角三角形动点存在性问题，由于未明确△ABC的直角顶点，需分三种情况讨论：①∠CAB为直角；②∠ABC为直角；③∠ACB为直角。首先通过作辅助线构造矩形求出固定边AB的长度，再设CD的长为未知数，分别用含未知数的式子表示AC²、BC²，结合勾股定理列方程求解即可，求解时要注意不同直角顶点对应点C的位置，保证结果符合位置要求。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F，
∵AD⊥l，BE⊥l，BF⊥AD，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=8，DF=BE=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
在Rt△ABF中，由勾股定理得$AB^2=AF^2+BF^2=6^2+8^2=100$。
设CD的长为$x$，在Rt△ACD中，$AC^2=AD^2+CD^2=64+x^2$，分三种情况讨论：
1. 当∠CAB=90°时，点C在点D左侧，
此时$CE=CD+DE=x+8$，在Rt△BCE中，$BC^2=CE^2+BE^2=(x+8)^2+2^2=x^2+16x+68$，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得：
$100+64+x^2=x^2+16x+68$，解得$x=6$，即$CD=6$；
2. 当∠ABC=90°时，点C在线段DE上，
此时$CE=DE-CD=8-x$，在Rt△BCE中，$BC^2=CE^2+BE^2=(8-x)^2+2^2=x^2-16x+68$，
由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，代入得：
$64+x^2=100+x^2-16x+68$，解得$x=\frac{13}{2}$，即$CD=\frac{13}{2}$；
3. 当∠ACB=90°时，点C在线段DE上，
此时$BC^2=x^2-16x+68$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，代入得：
$100=64+x^2+x^2-16x+68$，整理得$(x-4)^2=0$，解得$x=4$，即$CD=4$。
【答案】
当CD的长为4、6或$\frac{13}{2}$时，△ABC为直角三角形。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的直角三角形动点存在性问题，解题核心是对直角顶点分情况讨论，结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意不同情况对应点的位置，避免出现漏解或增解的问题。
【难度系数】
0.6
