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1. 如图,在四边形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB的长为 (
A.20
B.25
C.35
D.30
B
)A.20
B.25
C.35
D.30
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先观察图形中的直角三角形，首先在Rt△ADC中，已知两条直角边AD、CD的长度，可先用勾股定理求出公共边AC的长度；再将AC作为Rt△ACB的直角边，结合已知的BC长度，再次运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=16，CD=12，
根据勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=16^2+12^2=256+144=400$，
∴$AC=20$（边长为正数，舍去负根）。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，
∴$AB=25$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心是利用公共边AC作为中间量，两次套用勾股定理求解即可，解题时注意计算准确，避免平方运算出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的直角三角形，首先在Rt△ADC中，已知两条直角边AD、CD的长度，可先用勾股定理求出公共边AC的长度；再将AC作为Rt△ACB的直角边，结合已知的BC长度，再次运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=16，CD=12，
根据勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=16^2+12^2=256+144=400$，
∴$AC=20$（边长为正数，舍去负根）。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，
∴$AB=25$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心是利用公共边AC作为中间量，两次套用勾股定理求解即可，解题时注意计算准确，避免平方运算出错。
【难度系数】
0.8
2.[2026烟台期中]如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BDC=90°，过点A作AE⊥BD于点E，若DE=2，AE=8，则BC的长为（
A.10
B.12
C.14
D.16
A
）A.10
B.12
C.14
D.16
答案
2.A 【点拨】因为∠ABC=90°,所以∠ABE+∠CBD=90°.因为AE⊥BD,所以∠AEB=90°,所以∠ABE+∠BAE=90°.所以∠BAE=∠CBD.在△AEB和△BDC中,
$\begin{cases} ∠AEB=∠BDC=90°, \\ ∠BAE=∠DBC, \\ AB=BC, \end{cases}$
所以△AEB≌△BDC,所以AE=BD,BE=DC.因为DE=2,AE=8,所以DC=BE=BD-DE=8-2=6.在Rt△BDC中,BC²=BD²+DC²=100,所以BC=10.故选A.
$\begin{cases} ∠AEB=∠BDC=90°, \\ ∠BAE=∠DBC, \\ AB=BC, \end{cases}$
所以△AEB≌△BDC,所以AE=BD,BE=DC.因为DE=2,AE=8,所以DC=BE=BD-DE=8-2=6.在Rt△BDC中,BC²=BD²+DC²=100,所以BC=10.故选A.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：图中有多个直角，且已知AB=BC。首先利用直角的性质，通过同角的余角相等推出∠BAE=∠CBD，再结合已知的直角相等、AB=BC的条件，证明△AEB和△BDC全等，得到对应边相等的关系，将已知的AE、DE长度转化为Rt△BDC的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBD（同角的余角相等）。
在△AEB和△BDC中：
$\begin{cases} ∠AEB=∠BDC=90°, \\ ∠BAE=∠CBD, \\ AB=BC, \end{cases}$
∴△AEB≌△BDC（AAS），
∴AE=BD，BE=DC。
已知AE=8，
∴BD=AE=8，
又
∵DE=2，
∴BE=BD-DE=8-2=6，即DC=6。
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2+DC^2=8^2+6^2=100$，
∵BC为线段长度，为正数，
∴BC=10。
故选A。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角度推导证明三角形全等，实现已知线段向目标三角形边长的转化，再结合勾股定理计算，考查了几何逻辑推理能力和线段转化的思想。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：图中有多个直角，且已知AB=BC。首先利用直角的性质，通过同角的余角相等推出∠BAE=∠CBD，再结合已知的直角相等、AB=BC的条件，证明△AEB和△BDC全等，得到对应边相等的关系，将已知的AE、DE长度转化为Rt△BDC的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBD（同角的余角相等）。
在△AEB和△BDC中：
$\begin{cases} ∠AEB=∠BDC=90°, \\ ∠BAE=∠CBD, \\ AB=BC, \end{cases}$
∴△AEB≌△BDC（AAS），
∴AE=BD，BE=DC。
已知AE=8，
∴BD=AE=8，
又
∵DE=2，
∴BE=BD-DE=8-2=6，即DC=6。
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2+DC^2=8^2+6^2=100$，
∵BC为线段长度，为正数，
∴BC=10。
故选A。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角度推导证明三角形全等，实现已知线段向目标三角形边长的转化，再结合勾股定理计算，考查了几何逻辑推理能力和线段转化的思想。
【难度系数】
0.7
3. [2026保定期中] 如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处。已知AD=8，BE=3，则图中阴影部分的面积为（
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
4. [黄冈市竞赛] 如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1,2,3，正放的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4$，则$S_1+2S_2+2S_3+S_4=$（
A. 5
B. 4
C. 6
D. 16
考点2 直角三角形的判定
5. 下列由三条线段$a,b,c$构成的三角形$ABC$中：
①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$；
③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$（$m$为大于1的整数），其中是直角三角形的是（
A. ①④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③
C
）A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
4. [黄冈市竞赛] 如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1,2,3，正放的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4$，则$S_1+2S_2+2S_3+S_4=$（
C
）A. 5
B. 4
C. 6
D. 16
考点2 直角三角形的判定
5. 下列由三条线段$a,b,c$构成的三角形$ABC$中：
①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$；
③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$（$m$为大于1的整数），其中是直角三角形的是（
B
）A. ①④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③
答案
3.C 【点拨】因为四边形ABCD是长方形,所以AD=BC=8,AB=CD,∠A=∠B=∠C=90°.所以CE=BC-BE=8-3=5.因为将长方形ABCD沿直线DE折叠,所以DC=DF,CE=EF=5,∠DFE=∠C=90°,在Rt△BEF中,由勾股定理得BF=4.在Rt△ADF中,AD²+AF²=DF²,所以64+(AB-4)²=AB²,所以AB=10,所以AF=6,所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×3×4=30$.
4.C 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE,所以AC=BE.根据勾股定理得,DE²+BE²=BD²,所以DE²+AC²=BD²,所以S₁+S₂=1.同理可得S₂+S₃=2,S₃+S₄=3,所以S₁+2S₂+2S₃+S₄=1+2+3=6.
5.B
4.C 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE,所以AC=BE.根据勾股定理得,DE²+BE²=BD²,所以DE²+AC²=BD²,所以S₁+S₂=1.同理可得S₂+S₃=2,S₃+S₄=3,所以S₁+2S₂+2S₃+S₄=1+2+3=6.
5.B
解析
第3题
【分析】
本题属于矩形折叠类问题，解题核心是利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理求解未知边长。首先根据矩形对边相等求出CE的长度，折叠后CE=EF，先在Rt△BEF中用勾股定理算出BF的长度；再设AB=CD=DF=x，将AF用x表示，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求出AB的长，最后将阴影部分拆成两个直角三角形，分别计算面积求和即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ AD=BC=8，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°
∴ CE=BC-BE=8-3=5
由折叠的性质可得：DC=DF，CE=EF=5，∠DFE=∠C=90°
在Rt△BEF中，由勾股定理得：$BF=\sqrt{EF^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设AB=x，则DF=CD=x，AF=AB-BF=x-4
在Rt△ADF中，由勾股定理得：$AD^2+AF^2=DF^2$
代入得：$8^2+(x-4)^2=x^2$
展开计算：$64+x^2-8x+16=x^2$，解得x=10，即AB=10
∴ AF=10-4=6
阴影部分面积为$S_{△ADF}+S_{△BEF}=\frac{1}{2}×AD×AF+\frac{1}{2}×BE×BF=\frac{1}{2}×8×6+\frac{1}{2}×3×4=24+6=30$
【答案】C
【知识点】矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】本题结合折叠性质和勾股定理解题，运用方程思想求边长是关键，折叠类问题要注意抓住前后不变的边和角建立等量关系。
【难度系数】
0.7
---
第4题
【分析】
本题需要结合全等三角形和勾股定理找正方形面积之间的关系。首先观察斜放正方形旁边的两个直角三角形，可证其全等，得到对应直角边相等，再根据勾股定理，斜放正方形的边长平方等于两个直角边的平方和，也就是相邻两个正放正方形的面积和等于中间斜放正方形的面积，由此得到$S_1+S_2=1$，$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$，将所求式子拆分重组为这三个和相加即可得到结果。
【解析】
观察图形可得：斜放正方形旁边的两个直角三角形满足∠ACB=∠BED=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，故∠ABC=∠BDE，且BC=BD，因此△ABC≌△BDE（AAS），可得AC=BE
根据勾股定理，在Rt△BDE中：$DE^2+BE^2=BD^2$，代入BE=AC得$DE^2+AC^2=BD^2$
∵ $S_1=AC^2$，$S_2=DE^2$，斜放正方形面积为$BD^2=1$
∴ $S_1+S_2=1$
同理可得：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$
∴ $S_1+2S_2+2S_3+S_4=(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)=1+2+3=6$
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题的解题关键是通过全等三角形将正放正方形的面积和与斜放正方形的面积建立联系，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
---
第5题
【分析】
判断直角三角形可从两个角度入手：一是通过内角和判断是否有90°的角，二是通过勾股定理的逆定理判断三边长是否满足两边平方和等于第三边的平方。逐个分析4个条件即可得出结论。
【解析】
① 已知∠A+∠B=∠C，由三角形内角和为180°得：∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠C=180°，∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
② $a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$，计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，即$a^2+b^2=c^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
③ ∠A:∠B:∠C=3:4:5，最大角∠C=$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，不是直角三角形；
④ $a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$（m为大于1的整数），显然a是最长边，计算得$b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=a^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形。
综上，①②④是直角三角形。
【答案】B
【知识点】直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形的两种判定方法，验证边长时要注意先确定最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。
【难度系数】
0.75
【分析】
本题属于矩形折叠类问题，解题核心是利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理求解未知边长。首先根据矩形对边相等求出CE的长度，折叠后CE=EF，先在Rt△BEF中用勾股定理算出BF的长度；再设AB=CD=DF=x，将AF用x表示，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求出AB的长，最后将阴影部分拆成两个直角三角形，分别计算面积求和即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ AD=BC=8，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°
∴ CE=BC-BE=8-3=5
由折叠的性质可得：DC=DF，CE=EF=5，∠DFE=∠C=90°
在Rt△BEF中，由勾股定理得：$BF=\sqrt{EF^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设AB=x，则DF=CD=x，AF=AB-BF=x-4
在Rt△ADF中，由勾股定理得：$AD^2+AF^2=DF^2$
代入得：$8^2+(x-4)^2=x^2$
展开计算：$64+x^2-8x+16=x^2$，解得x=10，即AB=10
∴ AF=10-4=6
阴影部分面积为$S_{△ADF}+S_{△BEF}=\frac{1}{2}×AD×AF+\frac{1}{2}×BE×BF=\frac{1}{2}×8×6+\frac{1}{2}×3×4=24+6=30$
【答案】C
【知识点】矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】本题结合折叠性质和勾股定理解题，运用方程思想求边长是关键，折叠类问题要注意抓住前后不变的边和角建立等量关系。
【难度系数】
0.7
---
第4题
【分析】
本题需要结合全等三角形和勾股定理找正方形面积之间的关系。首先观察斜放正方形旁边的两个直角三角形，可证其全等，得到对应直角边相等，再根据勾股定理，斜放正方形的边长平方等于两个直角边的平方和，也就是相邻两个正放正方形的面积和等于中间斜放正方形的面积，由此得到$S_1+S_2=1$，$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$，将所求式子拆分重组为这三个和相加即可得到结果。
【解析】
观察图形可得：斜放正方形旁边的两个直角三角形满足∠ACB=∠BED=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，故∠ABC=∠BDE，且BC=BD，因此△ABC≌△BDE（AAS），可得AC=BE
根据勾股定理，在Rt△BDE中：$DE^2+BE^2=BD^2$，代入BE=AC得$DE^2+AC^2=BD^2$
∵ $S_1=AC^2$，$S_2=DE^2$，斜放正方形面积为$BD^2=1$
∴ $S_1+S_2=1$
同理可得：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$
∴ $S_1+2S_2+2S_3+S_4=(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)=1+2+3=6$
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题的解题关键是通过全等三角形将正放正方形的面积和与斜放正方形的面积建立联系，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
---
第5题
【分析】
判断直角三角形可从两个角度入手：一是通过内角和判断是否有90°的角，二是通过勾股定理的逆定理判断三边长是否满足两边平方和等于第三边的平方。逐个分析4个条件即可得出结论。
【解析】
① 已知∠A+∠B=∠C，由三角形内角和为180°得：∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠C=180°，∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
② $a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$，计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，即$a^2+b^2=c^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
③ ∠A:∠B:∠C=3:4:5，最大角∠C=$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，不是直角三角形；
④ $a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$（m为大于1的整数），显然a是最长边，计算得$b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=a^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形。
综上，①②④是直角三角形。
【答案】B
【知识点】直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形的两种判定方法，验证边长时要注意先确定最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。
【难度系数】
0.75
6. 如图，在$4×4$的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（
A.$AB^2=20$
B.$∠ BAC=90°$
C.$△ ABC$的面积为10
D.点A到直线BC的距离是2
C
）A.$AB^2=20$
B.$∠ BAC=90°$
C.$△ ABC$的面积为10
D.点A到直线BC的距离是2
答案
6.C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，我们可以按以下思路解题：首先借助网格，用勾股定理计算△ABC三边长度的平方，验证A、B选项；其次用直角三角形面积公式或割补法计算△ABC的面积，判断C选项；最后利用面积法求点A到BC的距离，验证D选项。
【解析】
设每个小正方形边长为1：
1. 计算各边平方：
AC横向占2格、纵向占1格，故$AC^2=2^2+1^2=5$；
AB横向占4格、纵向占2格，故$AB^2=4^2+2^2=20$，A选项结论正确，不符合题意；
BC横向占3格、纵向占4格，故$BC^2=3^2+4^2=25$。
因为$AC^2+AB^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ BAC=90°$，B选项结论正确，不符合题意。
2. 计算$△ ABC$的面积：
因为$△ ABC$是直角三角形，直角边为AC、AB，所以面积$S=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{20}=\frac{1}{2}×10=5$，不是10，C选项结论错误，符合题意。
3. 求点A到直线BC的距离：
设点A到直线BC的距离为h，$BC=\sqrt{25}=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× h$，代入$S=5$得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格类几何计算题，将勾股定理、逆定理和面积法结合考查，解题时要灵活运用网格的边长特征计算线段长度，面积法是求点到直线距离的常用方法。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，我们可以按以下思路解题：首先借助网格，用勾股定理计算△ABC三边长度的平方，验证A、B选项；其次用直角三角形面积公式或割补法计算△ABC的面积，判断C选项；最后利用面积法求点A到BC的距离，验证D选项。
【解析】
设每个小正方形边长为1：
1. 计算各边平方：
AC横向占2格、纵向占1格，故$AC^2=2^2+1^2=5$；
AB横向占4格、纵向占2格，故$AB^2=4^2+2^2=20$，A选项结论正确，不符合题意；
BC横向占3格、纵向占4格，故$BC^2=3^2+4^2=25$。
因为$AC^2+AB^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ BAC=90°$，B选项结论正确，不符合题意。
2. 计算$△ ABC$的面积：
因为$△ ABC$是直角三角形，直角边为AC、AB，所以面积$S=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{20}=\frac{1}{2}×10=5$，不是10，C选项结论错误，符合题意。
3. 求点A到直线BC的距离：
设点A到直线BC的距离为h，$BC=\sqrt{25}=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× h$，代入$S=5$得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格类几何计算题，将勾股定理、逆定理和面积法结合考查，解题时要灵活运用网格的边长特征计算线段长度，面积法是求点到直线距离的常用方法。
【难度系数】
0.7
7.如图,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,BD=5,CD²=125,连接BC.
(1)求BC的长;
(2)求△BCD的面积.
(1)求BC的长;
(2)求△BCD的面积.
答案
7.【解】(1)因为在△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,所以BC²=AB²+AC²=100,所以BC=10.
(2)因为BC=10,BD=5,CD²=125,
所以BC²+BD²=10²+5²=125=CD²,
所以△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°,
所以△BCD的面积为$\frac{1}{2}BD·BC=\frac{1}{2}×5×10=25$.
(2)因为BC=10,BD=5,CD²=125,
所以BC²+BD²=10²+5²=125=CD²,
所以△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°,
所以△BCD的面积为$\frac{1}{2}BD·BC=\frac{1}{2}×5×10=25$.
解析
【分析】
(1) 求BC的长时，观察到△ABC是直角三角形，且∠A=90°，已知两条直角边AB、AC的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边BC的长度。
(2) 求△BCD的面积时，先结合第一问求出的BC长度，以及已知的BD长度、CD²的数值，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，若为直角三角形，直接利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100$
因为BC为线段长度，取正值，所以$BC=\sqrt{100}=10$。
(2) 已知BC=10，BD=5，$CD^2=125$，计算可得：
$BC^2+BD^2=10^2+5^2=100+25=125=CD^2$
根据勾股定理的逆定理，可知△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
所以△BCD的面积为：$\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×5×10=25$。
【答案】
(1) $BC=10$；(2) $△ BCD$的面积为25
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的基础综合应用题，解题的关键是先求出公共边BC的长度，再通过逆定理判定直角三角形，进而求解面积，计算时注意边长为正值，避免算错平方数值即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求BC的长时，观察到△ABC是直角三角形，且∠A=90°，已知两条直角边AB、AC的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边BC的长度。
(2) 求△BCD的面积时，先结合第一问求出的BC长度，以及已知的BD长度、CD²的数值，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，若为直角三角形，直接利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100$
因为BC为线段长度，取正值，所以$BC=\sqrt{100}=10$。
(2) 已知BC=10，BD=5，$CD^2=125$，计算可得：
$BC^2+BD^2=10^2+5^2=100+25=125=CD^2$
根据勾股定理的逆定理，可知△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
所以△BCD的面积为：$\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×5×10=25$。
【答案】
(1) $BC=10$；(2) $△ BCD$的面积为25
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的基础综合应用题，解题的关键是先求出公共边BC的长度，再通过逆定理判定直角三角形，进而求解面积，计算时注意边长为正值，避免算错平方数值即可。
【难度系数】
0.7
8.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如$x^2+y^2=z^2$的方程，显然，这个方程有无数组解。我们把满足该方程的正整数解$(x,y,z)$称为勾股数。如$(3,4,5)$就是一组勾股数。
(1)请你再写出两组勾股数：______，________；
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果$n$表示大于1的整数，$x=2n$，$y=n^2-1$，$z=n^2+1$，那么以$x,y,z$为三边长的三角形为直角三角形，即$(x,y,z)$为勾股数。请你加以说明。
(1)请你再写出两组勾股数：______，________；
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果$n$表示大于1的整数，$x=2n$，$y=n^2-1$，$z=n^2+1$，那么以$x,y,z$为三边长的三角形为直角三角形，即$(x,y,z)$为勾股数。请你加以说明。
答案
8.【解】(1)(6,8,10);(9,12,15)(答案不唯一)
(2)因为$x^2+y^2=(2n)^2+(n^2-1)^2=4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=z^2$,所以$(x,y,z)$为勾股数.
(2)因为$x^2+y^2=(2n)^2+(n^2-1)^2=4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=z^2$,所以$(x,y,z)$为勾股数.
解析
【分析】
(1) 勾股数是满足$x^2+y^2=z^2$的正整数组$(x,y,z)$，我们可以将已知的基础勾股数（如$(3,4,5)$）同时乘以相同的正整数倍数，即可得到新的勾股数，也可直接填写常见的勾股数组，答案不唯一。
(2) 要说明$x,y,z$为勾股数，根据勾股数的定义，只需验证较小两个数的平方和等于最大数的平方即可。首先可判断$n＞1$时$z=n^2+1$是三者中的最大值，接下来分别计算$x^2+y^2$和$z^2$，通过整式运算化简验证二者相等即可。
【解析】
(1) 将基础勾股数$(3,4,5)$分别扩大2倍、3倍，可得两组勾股数：$(6,8,10)$、$(9,12,15)$，满足勾股数的定义（答案不唯一）。
(2) 计算$x^2+y^2$并化简：
$\begin{aligned}x^2+y^2&=(2n)^2+(n^2-1)^2\\&=4n^2+n^4-2n^2+1\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2\end{aligned}$
又因为$z=n^2+1$，所以$z^2=(n^2+1)^2$，因此$x^2+y^2=z^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
(1) $(6,8,10)$；$(9,12,15)$（答案不唯一）
(2) 因为$x^2+y^2=(2n)^2+(n^2-1)^2=4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=z^2$,所以$(x,y,z)$为勾股数。
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 完全平方公式
3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题围绕勾股数设计，既考查了对勾股数概念的理解和灵活应用，又结合整式运算考查了勾股定理逆定理的推导验证，侧重基础能力的考查，属于勾股定理应用的常规题型。
【难度系数】
0.85
(1) 勾股数是满足$x^2+y^2=z^2$的正整数组$(x,y,z)$，我们可以将已知的基础勾股数（如$(3,4,5)$）同时乘以相同的正整数倍数，即可得到新的勾股数，也可直接填写常见的勾股数组，答案不唯一。
(2) 要说明$x,y,z$为勾股数，根据勾股数的定义，只需验证较小两个数的平方和等于最大数的平方即可。首先可判断$n＞1$时$z=n^2+1$是三者中的最大值，接下来分别计算$x^2+y^2$和$z^2$，通过整式运算化简验证二者相等即可。
【解析】
(1) 将基础勾股数$(3,4,5)$分别扩大2倍、3倍，可得两组勾股数：$(6,8,10)$、$(9,12,15)$，满足勾股数的定义（答案不唯一）。
(2) 计算$x^2+y^2$并化简：
$\begin{aligned}x^2+y^2&=(2n)^2+(n^2-1)^2\\&=4n^2+n^4-2n^2+1\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2\end{aligned}$
又因为$z=n^2+1$，所以$z^2=(n^2+1)^2$，因此$x^2+y^2=z^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
(1) $(6,8,10)$；$(9,12,15)$（答案不唯一）
(2) 因为$x^2+y^2=(2n)^2+(n^2-1)^2=4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=z^2$,所以$(x,y,z)$为勾股数。
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 完全平方公式
3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题围绕勾股数设计，既考查了对勾股数概念的理解和灵活应用，又结合整式运算考查了勾股定理逆定理的推导验证，侧重基础能力的考查，属于勾股定理应用的常规题型。
【难度系数】
0.85
4. [黄冈市竞赛] 如图，在直线$ l $上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1,2,3，正放的四个正方形的面积依次是$ S_1,S_2,S_3,S_4 $，则$ S_1 + 2S_2 + 2S_3 + S_4 = $（
A.5
B.4
C.6
D.16
C
）A.5
B.4
C.6
D.16
答案
4.C 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE,所以AC=BE.根据勾股定理得,DE²+BE²=BD²,所以DE²+AC²=BD²,所以S₁+S₂=1.同理可得S₂+S₃=2,S₃+S₄=3,所以S₁+2S₂+2S₃+S₄=1+2+3=6.
解析
【分析】
首先观察图形，斜放的正方形和相邻两个正放正方形之间夹有两个直角三角形，我们可以先证明这两个直角三角形全等，再结合勾股定理推导正放正方形面积和与斜放正方形面积的关系，最后将所求代数式拆分，代入推导得到的关系即可计算结果。具体思路：1. 先看面积为1的斜放正方形，证明其下方两个直角三角形全等，得到对应边相等，结合勾股定理得$S_1+S_2=1$；2. 同理推导另外两组正放正方形面积和与斜放正方形面积的关系：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$；3. 把所求式子$S_1+2S_2+2S_3+S_4$拆分为$(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)$，代入求和即可。
【解析】
解：
∵正方形的各边相等，各内角为$90°$，
∴对于面积为1的斜放正方形，边长$AB=BD$，$∠ ABD=90°$，
∴$∠ ABC+∠ DBE=90°$，
又
∵$∠ ACB=∠ BED=90°$，
∴$∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAC=∠ DBE$，
在$△ ABC$和$△ BDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ BED \\∠ BAC=∠ DBE \\AB=BD\end{array} $
∴$△ ABC≌△ BDE$（AAS），
∴$AC=BE$，
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入$BE=AC$，得$DE^2+AC^2=BD^2$，
∵$AC^2=S_1$，$DE^2=S_2$，$BD^2=1$，
∴$S_1+S_2=1$，
同理可得：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$，
∴$S_1+2S_2+2S_3+S_4=(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)=1+2+3=6$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用全等三角形转化线段，结合勾股定理建立正放正方形面积与斜放正方形面积的关系，再通过拆分所求代数式即可快速求出结果，巧妙体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，斜放的正方形和相邻两个正放正方形之间夹有两个直角三角形，我们可以先证明这两个直角三角形全等，再结合勾股定理推导正放正方形面积和与斜放正方形面积的关系，最后将所求代数式拆分，代入推导得到的关系即可计算结果。具体思路：1. 先看面积为1的斜放正方形，证明其下方两个直角三角形全等，得到对应边相等，结合勾股定理得$S_1+S_2=1$；2. 同理推导另外两组正放正方形面积和与斜放正方形面积的关系：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$；3. 把所求式子$S_1+2S_2+2S_3+S_4$拆分为$(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)$，代入求和即可。
【解析】
解：
∵正方形的各边相等，各内角为$90°$，
∴对于面积为1的斜放正方形，边长$AB=BD$，$∠ ABD=90°$，
∴$∠ ABC+∠ DBE=90°$，
又
∵$∠ ACB=∠ BED=90°$，
∴$∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAC=∠ DBE$，
在$△ ABC$和$△ BDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ BED \\∠ BAC=∠ DBE \\AB=BD\end{array} $
∴$△ ABC≌△ BDE$（AAS），
∴$AC=BE$，
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入$BE=AC$，得$DE^2+AC^2=BD^2$，
∵$AC^2=S_1$，$DE^2=S_2$，$BD^2=1$，
∴$S_1+S_2=1$，
同理可得：$S_2+S_3=2$，$S_3+S_4=3$，
∴$S_1+2S_2+2S_3+S_4=(S_1+S_2)+(S_2+S_3)+(S_3+S_4)=1+2+3=6$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用全等三角形转化线段，结合勾股定理建立正放正方形面积与斜放正方形面积的关系，再通过拆分所求代数式即可快速求出结果，巧妙体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
5. 下列由三条线段$a,b,c$构成的三角形$ABC$中：
①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$；
③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m(m$为大于1的整数$)$，其中是直角三角形的是 (
A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$；
③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m(m$为大于1的整数$)$，其中是直角三角形的是 (
B
)A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
答案
5.B
解析
【分析】
要判断是否为直角三角形，可从两个角度入手：一是利用三角形内角和定理判断是否有内角为90°；二是利用勾股定理的逆定理，验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方。我们只需逐个验证4个条件是否满足上述任意一个判定规则，再选出符合要求的组合即可。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 对于①：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A+∠B=∠C，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对于②：k＞0，因此最长边为c=5k，计算得：$a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，②符合要求。
3. 对于③：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为$3+4+5=12$，每份对应角度为$180°÷12=15°$，因此三个角分别为$45°、60°、75°$，没有90°角，因此不是直角三角形，③不符合要求。
4. 对于④：m为大于1的整数，先判断最长边：$m^2+1 ＞ m^2-1$，且$(m-1)^2=m^2-2m+1＞0$，即$m^2+1＞2m$，因此最长边为$a=m^2+1$。计算得：$b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=a^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①②④对应的三角形是直角三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，需要熟练结合角的关系和边的关系两种判定方法分析，验证勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再计算平方和关系，避免因边的大小判断错误失分。
【难度系数】
0.7
要判断是否为直角三角形，可从两个角度入手：一是利用三角形内角和定理判断是否有内角为90°；二是利用勾股定理的逆定理，验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方。我们只需逐个验证4个条件是否满足上述任意一个判定规则，再选出符合要求的组合即可。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 对于①：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A+∠B=∠C，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对于②：k＞0，因此最长边为c=5k，计算得：$a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，②符合要求。
3. 对于③：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为$3+4+5=12$，每份对应角度为$180°÷12=15°$，因此三个角分别为$45°、60°、75°$，没有90°角，因此不是直角三角形，③不符合要求。
4. 对于④：m为大于1的整数，先判断最长边：$m^2+1 ＞ m^2-1$，且$(m-1)^2=m^2-2m+1＞0$，即$m^2+1＞2m$，因此最长边为$a=m^2+1$。计算得：$b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=a^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①②④对应的三角形是直角三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，需要熟练结合角的关系和边的关系两种判定方法分析，验证勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再计算平方和关系，避免因边的大小判断错误失分。
【难度系数】
0.7
