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1. 已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=5$，那么斜边$AB$的长是（
A.整数
B.分数
C.有理数
D.非有理数
D
）A.整数
B.分数
C.有理数
D.非有理数
答案
D
解析
【分析】
这道题是直角三角形边长计算结合数的分类的基础题，解题可按两步思考：第一步，已知直角三角形的两条直角边长度，优先用勾股定理计算斜边的平方，再得到斜边的表达式；第二步，根据整数、分数、有理数、非有理数的定义，判断斜边所属的数的类型，对应匹配选项即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，△ABC为直角三角形
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入$AC=4$，$BC=5$计算：
$AB^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
∴ $AB = \sqrt{41}$
∵ $\sqrt{41}$是开方开不尽的数，既不属于整数，也不属于分数，而整数和分数统称为有理数，因此$\sqrt{41}$是非有理数。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；有理数定义；无理数识别
【点评】
本题属于基础考察题，将勾股定理运算和实数分类知识结合，只要熟练掌握勾股定理计算方法，明确有理数和非有理数的范畴，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
这道题是直角三角形边长计算结合数的分类的基础题，解题可按两步思考：第一步，已知直角三角形的两条直角边长度，优先用勾股定理计算斜边的平方，再得到斜边的表达式；第二步，根据整数、分数、有理数、非有理数的定义，判断斜边所属的数的类型，对应匹配选项即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，△ABC为直角三角形
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入$AC=4$，$BC=5$计算：
$AB^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
∴ $AB = \sqrt{41}$
∵ $\sqrt{41}$是开方开不尽的数，既不属于整数，也不属于分数，而整数和分数统称为有理数，因此$\sqrt{41}$是非有理数。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；有理数定义；无理数识别
【点评】
本题属于基础考察题，将勾股定理运算和实数分类知识结合，只要熟练掌握勾股定理计算方法，明确有理数和非有理数的范畴，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 以下各正方形的边长不是有理数的是 （
A.面积为25的正方形
B.面积为$\frac{4}{25}$的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
C
）A.面积为25的正方形
B.面积为$\frac{4}{25}$的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆正方形面积与边长的关系，正方形面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根；其次明确有理数的定义，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数不属于有理数；最后分别计算每个选项中正方形的边长，判断是否为有理数即可得出答案。
【解析】
设正方形的边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式可得$a=\sqrt{S}$（$S$为正方形面积），结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数）逐一分析选项：
A. 当$S=25$时，$a=\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，不符合题意；
B. 当$S=\frac{4}{25}$时，$a=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. 当$S=8$时，$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2\sqrt{2}$不是有理数，符合题意；
D. 当$S=1.44$时，$a=\sqrt{1.44}=1.2$，1.2可化为分数$\frac{6}{5}$，属于有理数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的计算 2.有理数的定义 3.正方形面积公式
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题的核心是掌握算术平方根的计算方法，能准确区分有理数和无理数，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先回忆正方形面积与边长的关系，正方形面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根；其次明确有理数的定义，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数不属于有理数；最后分别计算每个选项中正方形的边长，判断是否为有理数即可得出答案。
【解析】
设正方形的边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式可得$a=\sqrt{S}$（$S$为正方形面积），结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数）逐一分析选项：
A. 当$S=25$时，$a=\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，不符合题意；
B. 当$S=\frac{4}{25}$时，$a=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. 当$S=8$时，$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2\sqrt{2}$不是有理数，符合题意；
D. 当$S=1.44$时，$a=\sqrt{1.44}=1.2$，1.2可化为分数$\frac{6}{5}$，属于有理数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的计算 2.有理数的定义 3.正方形面积公式
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题的核心是掌握算术平方根的计算方法，能准确区分有理数和无理数，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
3. 母题 教材P₂₆随堂练习T₁ 已知一个等边三角形的边长为4，则这个三角形的高为
无限不循环
小数.(填“无限循环”或“无限不循环”)答案
无限不循环
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用等边三角形“三线合一”的性质，得到高将底边平分为长度相等的两段，再结合勾股定理计算出三角形高的长度，最后根据无理数的定义判断高属于哪类小数即可。
【解析】
已知等边三角形边长为4，根据等边三角形三线合一的性质，其高将底边分为两段，每段长度为$4÷2=2$。
设高为$h$，由高、半条底边、三角形的边可构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$h^2 + 2^2 = 4^2$
解得$h=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$是无限不循环小数（无理数），因此$2\sqrt{3}$也是无限不循环小数。
【答案】
无限不循环
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，无理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，将几何图形性质计算与数的分类判断结合，解题核心是先正确求出等边三角形的高，再结合无理数的特征判断即可，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用等边三角形“三线合一”的性质，得到高将底边平分为长度相等的两段，再结合勾股定理计算出三角形高的长度，最后根据无理数的定义判断高属于哪类小数即可。
【解析】
已知等边三角形边长为4，根据等边三角形三线合一的性质，其高将底边分为两段，每段长度为$4÷2=2$。
设高为$h$，由高、半条底边、三角形的边可构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$h^2 + 2^2 = 4^2$
解得$h=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$是无限不循环小数（无理数），因此$2\sqrt{3}$也是无限不循环小数。
【答案】
无限不循环
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，无理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，将几何图形性质计算与数的分类判断结合，解题核心是先正确求出等边三角形的高，再结合无理数的特征判断即可，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是$21\ \mathrm{m}^2$，现决定把此正方形菜地的边长增加1 m，则新的正方形菜地的边长范围是 （
A.4 m与5 m之间
B.5 m与6 m之间
C.6 m与7 m之间
D.7 m与8 m之间
B
）A.4 m与5 m之间
B.5 m与6 m之间
C.6 m与7 m之间
D.7 m与8 m之间
答案
B
解析
【分析】
要确定新正方形菜地的边长范围，首先需要根据原正方形的面积求出原边长，再得到增加1m后的新边长表达式，最后通过估算无理数的取值范围，推导得到新边长的区间。第一步：回忆正方形面积公式，面积等于边长的平方，已知原面积可求出原边长为算术平方根形式；第二步：新边长等于原边长加1，得到含无理数的新边长表达式；第三步：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围，再通过不等式变形得到新边长的范围。
【解析】
设原正方形菜地的边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=21$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{21}$
则新正方形菜地的边长为$(\sqrt{21}+1)\ \mathrm{m}$
接下来估算$\sqrt{21}$的取值范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜21＜25$
所以$\sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{21}＜5$
不等式三边同时加1，可得：
$4+1＜\sqrt{21}+1＜5+1$，即$5＜\sqrt{21}+1＜6$
因此新的正方形菜地的边长在5m与6m之间。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式；无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算在实际生活中的应用类题目，解题的核心是先结合几何公式得到含无理数的目标量表达式，再通过找相邻完全平方数确定无理数的范围，最终推导得到目标量的取值区间，解题思路清晰，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
要确定新正方形菜地的边长范围，首先需要根据原正方形的面积求出原边长，再得到增加1m后的新边长表达式，最后通过估算无理数的取值范围，推导得到新边长的区间。第一步：回忆正方形面积公式，面积等于边长的平方，已知原面积可求出原边长为算术平方根形式；第二步：新边长等于原边长加1，得到含无理数的新边长表达式；第三步：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围，再通过不等式变形得到新边长的范围。
【解析】
设原正方形菜地的边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=21$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{21}$
则新正方形菜地的边长为$(\sqrt{21}+1)\ \mathrm{m}$
接下来估算$\sqrt{21}$的取值范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜21＜25$
所以$\sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{21}＜5$
不等式三边同时加1，可得：
$4+1＜\sqrt{21}+1＜5+1$，即$5＜\sqrt{21}+1＜6$
因此新的正方形菜地的边长在5m与6m之间。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式；无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算在实际生活中的应用类题目，解题的核心是先结合几何公式得到含无理数的目标量表达式，再通过找相邻完全平方数确定无理数的范围，最终推导得到目标量的取值区间，解题思路清晰，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
5. 母题 教材$P_{25}$思考·交流 面积为$17π$的圆，它的半径的整数部分是
4
，十分位是1
，百分位是2
，千分位是3
。答案
4;1;2;3
解析
【分析】
首先利用圆的面积公式推导出半径的表达式，已知圆面积为17π，代入公式可得到半径r=√17，接下来从高位到低位逐位估算√17的数值：先找相邻整数的平方确定整数部分，再依次计算更高一位小数的平方，通过比较17落在两个相邻平方数的区间，确定对应数位的数字即可。
【解析】
1. 推导半径表达式：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$S=17π$，得$π r^2=17π$，两边同除以$π$得$r^2=17$，半径为正，故$r=\sqrt{17}$。
2. 求整数部分：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，整数部分为4。
3. 求十分位：
计算得$4.1^2=16.81$，$4.2^2=17.64$，且$16.81＜17＜17.64$，所以$4.1＜\sqrt{17}＜4.2$，十分位为1。
4. 求百分位：
计算得$4.12^2=16.9744$，$4.13^2=17.0569$，且$16.9744＜17＜17.0569$，所以$4.12＜\sqrt{17}＜4.13$，百分位为2。
5. 求千分位：
计算得$4.123^2=16.999129$，$4.124^2=17.007376$，且$16.999129＜17＜17.007376$，所以$4.123＜\sqrt{17}＜4.124$，千分位为3。
【答案】
4;1;2;3
【知识点】
圆的面积公式，无理数的估算
【点评】
本题是无理数估算的典型题型，核心是通过“夹逼法”逐位缩小无理数的取值范围，掌握平方运算和比较大小的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先利用圆的面积公式推导出半径的表达式，已知圆面积为17π，代入公式可得到半径r=√17，接下来从高位到低位逐位估算√17的数值：先找相邻整数的平方确定整数部分，再依次计算更高一位小数的平方，通过比较17落在两个相邻平方数的区间，确定对应数位的数字即可。
【解析】
1. 推导半径表达式：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$S=17π$，得$π r^2=17π$，两边同除以$π$得$r^2=17$，半径为正，故$r=\sqrt{17}$。
2. 求整数部分：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，整数部分为4。
3. 求十分位：
计算得$4.1^2=16.81$，$4.2^2=17.64$，且$16.81＜17＜17.64$，所以$4.1＜\sqrt{17}＜4.2$，十分位为1。
4. 求百分位：
计算得$4.12^2=16.9744$，$4.13^2=17.0569$，且$16.9744＜17＜17.0569$，所以$4.12＜\sqrt{17}＜4.13$，百分位为2。
5. 求千分位：
计算得$4.123^2=16.999129$，$4.124^2=17.007376$，且$16.999129＜17＜17.007376$，所以$4.123＜\sqrt{17}＜4.124$，千分位为3。
【答案】
4;1;2;3
【知识点】
圆的面积公式，无理数的估算
【点评】
本题是无理数估算的典型题型，核心是通过“夹逼法”逐位缩小无理数的取值范围，掌握平方运算和比较大小的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. [2026温州期中] 如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少？
(2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间.
(1)图中阴影部分的面积是多少？
(2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间.
答案
(1)$S_{阴影}=2×2+\frac{1}{2}×1×3×4=4+6=10.$
(2)因为$3^2＜10＜4^2$,所以边长的值在3与4之间.
(2)因为$3^2＜10＜4^2$,所以边长的值在3与4之间.
解析
【分析】
(1) 求解网格中不规则阴影的面积，优先选用割补法：本题可将阴影部分分割为1个中间小正方形和4个全等的直角三角形，分别计算各部分面积后求和即可得到阴影总面积；
(2) 已知正方形面积求边长，本质是求面积的算术平方根，要估算边长的范围，只需找到与10相邻的两个完全平方数，即可确定边长对应的算术平方根的整数范围。
【解析】
(1) 观察图形可知，阴影部分由1个边长为2的小正方形，以及4个直角边分别为1和3的直角三角形组成：
小正方形的面积 = $2 × 2 = 4$
1个直角三角形的面积 = $\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$
4个直角三角形的总面积 = $4 × \frac{3}{2} = 6$
因此阴影部分的面积 $S_{阴影}=4 + 6 = 10$
(2) 设阴影部分正方形的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式可得$a^2 = S_{阴影}=10$，即$a=\sqrt{10}$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，即阴影部分正方形的边长在3与4之间。
【答案】
(1) 阴影部分的面积是$\boxed{10}$；
(2) 阴影部分正方形的边长的值在$\boxed{3}$和$\boxed{4}$两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题是实数章节的常见基础题型，重点考查割补法计算不规则图形面积的方法，以及利用平方数估算算术平方根范围的技巧，解题关键是合理对阴影图形进行分割或补全，结合平方数的性质估算无理数大小。
【难度系数】
0.7
(1) 求解网格中不规则阴影的面积，优先选用割补法：本题可将阴影部分分割为1个中间小正方形和4个全等的直角三角形，分别计算各部分面积后求和即可得到阴影总面积；
(2) 已知正方形面积求边长，本质是求面积的算术平方根，要估算边长的范围，只需找到与10相邻的两个完全平方数，即可确定边长对应的算术平方根的整数范围。
【解析】
(1) 观察图形可知，阴影部分由1个边长为2的小正方形，以及4个直角边分别为1和3的直角三角形组成：
小正方形的面积 = $2 × 2 = 4$
1个直角三角形的面积 = $\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$
4个直角三角形的总面积 = $4 × \frac{3}{2} = 6$
因此阴影部分的面积 $S_{阴影}=4 + 6 = 10$
(2) 设阴影部分正方形的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式可得$a^2 = S_{阴影}=10$，即$a=\sqrt{10}$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，即阴影部分正方形的边长在3与4之间。
【答案】
(1) 阴影部分的面积是$\boxed{10}$；
(2) 阴影部分正方形的边长的值在$\boxed{3}$和$\boxed{4}$两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题是实数章节的常见基础题型，重点考查割补法计算不规则图形面积的方法，以及利用平方数估算算术平方根范围的技巧，解题关键是合理对阴影图形进行分割或补全，结合平方数的性质估算无理数大小。
【难度系数】
0.7
7. [跨学科题] 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，若量得溢出水的体积为$34\ \mathrm{cm}^3$，则该铁块棱长大小的范围是 (
A.2 cm 和 3 cm 之间
B.3 cm 和 4 cm 之间
C.4 cm 和 5 cm 之间
D.5 cm 和 6 cm 之间
B
)A.2 cm 和 3 cm 之间
B.3 cm 和 4 cm 之间
C.4 cm 和 5 cm 之间
D.5 cm 和 6 cm 之间
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合物理排水法的原理：完全浸没的物体排开液体的体积等于物体自身的体积，可得到正方体铁块的体积等于溢出水的体积。再结合正方体体积与棱长的关系，可知棱长是体积的立方根，最后通过估算立方根的取值范围就能得到棱长的范围。
【解析】
解：
∵ 正方体铁块完全浸入盛满水的烧杯中，
∴ 铁块体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{铁}}=34\ \mathrm{cm}^3$。
设铁块棱长为$a\ \mathrm{cm}$，由正方体体积公式得：
$a^3=34$，即$a=\sqrt[3]{34}$。
估算$\sqrt[3]{34}$的范围：
∵ $3^3=27$，$4^3=64$，且$27＜34＜64$，
∴ $\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{34}＜\sqrt[3]{64}$，
即$3＜a＜4$，
因此铁块棱长在3 cm和4 cm之间。
【答案】
B
【知识点】
立方根的估算，排水法求体积，正方体体积计算
【点评】
本题属于跨学科基础题，结合了物理实验常识和数学的估算技能，解题关键是先确定铁块体积，再借助常见整数的立方值估算无理数的范围，考查学生对基础知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合物理排水法的原理：完全浸没的物体排开液体的体积等于物体自身的体积，可得到正方体铁块的体积等于溢出水的体积。再结合正方体体积与棱长的关系，可知棱长是体积的立方根，最后通过估算立方根的取值范围就能得到棱长的范围。
【解析】
解：
∵ 正方体铁块完全浸入盛满水的烧杯中，
∴ 铁块体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{铁}}=34\ \mathrm{cm}^3$。
设铁块棱长为$a\ \mathrm{cm}$，由正方体体积公式得：
$a^3=34$，即$a=\sqrt[3]{34}$。
估算$\sqrt[3]{34}$的范围：
∵ $3^3=27$，$4^3=64$，且$27＜34＜64$，
∴ $\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{34}＜\sqrt[3]{64}$，
即$3＜a＜4$，
因此铁块棱长在3 cm和4 cm之间。
【答案】
B
【知识点】
立方根的估算，排水法求体积，正方体体积计算
【点评】
本题属于跨学科基础题，结合了物理实验常识和数学的估算技能，解题关键是先确定铁块体积，再借助常见整数的立方值估算无理数的范围，考查学生对基础知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
8.[2026成都青羊区期中]如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则数a为（
A.有理数
B.无限不循环小数
C.－4.5
D.不存在
B
）A.有理数
B.无限不循环小数
C.－4.5
D.不存在
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：首先明确图中直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长度，该斜边就是半圆的半径，即点A到原点的距离；再结合点A在原点左侧得到a的取值，最后判断a的类型即可选出正确选项。
【解析】
1. 观察图形可得：直角三角形的水平直角边长为4，竖直直角边长为2；
2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即半圆的半径为$2\sqrt{5}$；
3. 点A在原点左侧，到原点的距离等于半圆半径，因此点A表示的数$a=-2\sqrt{5}$；
4. $-2\sqrt{5}$是无理数，也就是无限不循环小数：
选项A：无理数不是有理数，错误；
选项B：无限不循环小数就是无理数，正确；
选项C：$-4.5$是有理数，和$-2\sqrt{5}\approx-4.472$不相等，错误；
选项D：数a是存在的，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，无理数的概念
【点评】
本题将数轴、勾股定理和数的分类结合考查，解题的核心是先利用勾股定理求出点A到原点的距离，再结合数轴的正负性确定点A对应的数，最后根据无理数的定义判断数的类型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：首先明确图中直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长度，该斜边就是半圆的半径，即点A到原点的距离；再结合点A在原点左侧得到a的取值，最后判断a的类型即可选出正确选项。
【解析】
1. 观察图形可得：直角三角形的水平直角边长为4，竖直直角边长为2；
2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即半圆的半径为$2\sqrt{5}$；
3. 点A在原点左侧，到原点的距离等于半圆半径，因此点A表示的数$a=-2\sqrt{5}$；
4. $-2\sqrt{5}$是无理数，也就是无限不循环小数：
选项A：无理数不是有理数，错误；
选项B：无限不循环小数就是无理数，正确；
选项C：$-4.5$是有理数，和$-2\sqrt{5}\approx-4.472$不相等，错误；
选项D：数a是存在的，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，无理数的概念
【点评】
本题将数轴、勾股定理和数的分类结合考查，解题的核心是先利用勾股定理求出点A到原点的距离，再结合数轴的正负性确定点A对应的数，最后根据无理数的定义判断数的类型。
【难度系数】
0.7
9. 🎖 立德树人 爱国主义 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积为$225\ \mathrm{cm}^2$的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比为$3:2$，面积为$420\ \mathrm{cm}^2$，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断.
答案
因为正方形贺卡的面积为$225\ \mathrm{cm}^2$，
所以正方形贺卡的边长为15 cm.
设长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm.
因为长方形信封的面积为$420\ \mathrm{cm}^2$，
所以$2x · 3x=420$. 所以$x^2=70$.
所以$8＜x＜9$. 所以$16＜2x＜18$. 所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
所以正方形贺卡的边长为15 cm.
设长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm.
因为长方形信封的面积为$420\ \mathrm{cm}^2$，
所以$2x · 3x=420$. 所以$x^2=70$.
所以$8＜x＜9$. 所以$16＜2x＜18$. 所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
解析
【分析】要判断正方形贺卡能否不折叠放入长方形信封，核心是比较正方形贺卡的边长与长方形信封的较短边（宽）的大小：若信封的宽≥贺卡边长，则可以放入，反之不能。解题可按三步推进：第一步根据正方形面积求出贺卡的边长；第二步结合长方形信封的长宽比设未知数，根据面积列方程求出未知数的平方；第三步通过估算无理数的大小得到信封宽的范围，最后和贺卡边长对比得出结论。
【解析】
解：①计算正方形贺卡的边长：
∵正方形贺卡的面积为$225\ \mathrm{cm}^2$，
∴正方形贺卡的边长为$\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
②计算长方形信封的宽的范围：
设长方形信封的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），
根据长方形面积公式可得：$3x·2x=420$，
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$。
∵$64＜70＜81$，
∴$\sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$，即$8＜x＜9$，
∴信封的宽$2x$满足：$2×8＜2x＜2×9$，也就是$16＜2x＜18$。
对比可知信封的宽大于16cm，大于贺卡的边长15cm，因此可以不折叠放入。
【答案】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封。
【知识点】算术平方根计算；无理数估算；列方程解应用题
【点评】本题结合生活场景考查实数的相关应用，解题关键是明确判断能否放入的核心是比较信封较短边长与贺卡边长的大小，切勿误拿信封长作为比较对象，同时要掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法。
【难度系数】0.7
【解析】
解：①计算正方形贺卡的边长：
∵正方形贺卡的面积为$225\ \mathrm{cm}^2$，
∴正方形贺卡的边长为$\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
②计算长方形信封的宽的范围：
设长方形信封的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），
根据长方形面积公式可得：$3x·2x=420$，
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$。
∵$64＜70＜81$，
∴$\sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$，即$8＜x＜9$，
∴信封的宽$2x$满足：$2×8＜2x＜2×9$，也就是$16＜2x＜18$。
对比可知信封的宽大于16cm，大于贺卡的边长15cm，因此可以不折叠放入。
【答案】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封。
【知识点】算术平方根计算；无理数估算；列方程解应用题
【点评】本题结合生活场景考查实数的相关应用，解题关键是明确判断能否放入的核心是比较信封较短边长与贺卡边长的大小，切勿误拿信封长作为比较对象，同时要掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法。
【难度系数】0.7
