完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的，加上(或减去)它们的积的。
用字母表示为$(a+b)^2=$，
$(a-b)^2=$。

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。用字母表示为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$。

【分析】
本题考查完全平方公式的基础概念，解题时结合所学的完全平方公式相关内容回忆即可。首先回忆文字描述逻辑：两个数的和（或差）的平方，是先计算两个数各自的平方再求和（即平方和），再根据是“和”还是“差”对应加上或减去两个数乘积的2倍；再通过多项式乘多项式的运算推导对应字母表达式即可完成填空。
【解析】
根据完全平方公式的定义：
1. 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍；
2. 字母表达式推导：
计算$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a· a + a· b + b· a + b· b = a^2 + 2ab + b^2$；
计算$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a· a - a· b - b· a + b· b = a^2 - 2ab + b^2$。
将对应内容填入空中即可。
【答案】
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。用字母表示为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$。
【知识点】
完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考察对完全平方公式核心内容的记忆与理解，熟练掌握该公式是后续运用其进行整式化简、计算、因式分解等运算的重要前提，需牢记公式特征避免混淆。
【难度系数】
0.9

典例1 运用完全平方公式计算：
(1)$(2x+3y)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{3}m - \dfrac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$。
规律方法 求二项式的平方时，当所给的二项式中两项的符号相同时，一般选“和”的完全平方公式，当所给的二项式中两项的符号相反时，一般选“差”的完全平方公式。

解：
(1) 原式$=(2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 + 12xy + 9y^2$
(2) 原式$=(\dfrac{1}{3}m)^2 - 2· \dfrac{1}{3}m· \dfrac{1}{2}n + (\dfrac{1}{2}n)^2$
$=\dfrac{1}{9}m^2 - \dfrac{1}{3}mn + \dfrac{1}{4}n^2$
(3) 原式$=(9x^2 - 6xy + y^2) - (x^2 - 4y^2)$
$=9x^2 - 6xy + y^2 - x^2 + 4y^2$
$=8x^2 - 6xy + 5y^2$

【分析】
本题考查整式乘法公式的基础运用，解题思路如下：1. 先牢记核心公式：完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 前两题先确定二项式的两项分别对应公式里的$a$和$b$，根据两项符号是相同还是相反选择对应的完全平方公式展开即可；3. 第(3)题先分别用完全平方公式计算$(3x-y)^2$、用平方差公式计算$(x-2y)(x+2y)$，再去括号、合并同类项得到结果，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号。
【解析】
(1) 原式为和的完全平方形式，对应$a=2x$，$b=3y$，代入公式得：
原式$=(2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 + 12xy + 9y^2$
(2) 原式为差的完全平方形式，对应$a=\dfrac{1}{3}m$，$b=\dfrac{1}{2}n$，代入公式得：
原式$=(\dfrac{1}{3}m)^2 - 2· \dfrac{1}{3}m· \dfrac{1}{2}n + (\dfrac{1}{2}n)^2$
$=\dfrac{1}{9}m^2 - \dfrac{1}{3}mn + \dfrac{1}{4}n^2$
(3) 先分别展开两个乘法部分：
$(3x-y)^2$用完全平方公式展开得$9x^2 - 6xy + y^2$，
$(x-2y)(x+2y)$用平方差公式展开得$x^2 - 4y^2$，
原式$=(9x^2 - 6xy + y^2) - (x^2 - 4y^2)$
$=9x^2 - 6xy + y^2 - x^2 + 4y^2$
合并同类项得：$8x^2 - 6xy + 5y^2$
【答案】
(1) $4x^2 + 12xy + 9y^2$
(2) $\dfrac{1}{9}m^2 - \dfrac{1}{3}mn + \dfrac{1}{4}n^2$
(3) $8x^2 - 6xy + 5y^2$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式混合运算
【点评】
本题属于乘法公式的基础考察题，解题核心是准确匹配算式对应的公式，找准公式中$a$、$b$对应的项，运算时注意符号规则，避免出现漏乘$2ab$项、去括号符号错误这类常见失误。
【难度系数】
0.75

举一反三 运用完全平方公式计算：
(1)$(-cd+\dfrac{1}{2})^2$；
(2)$(-a-b)^2$；
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$。

解 (1)$(-cd+\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2}-cd)^2=(\dfrac{1}{2})^2 - 2·(cd)·(\dfrac{1}{2})+(cd)^2=\dfrac{1}{4}-cd + c^2d^2$。
(2)$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2=-32x^2-24xy$。

【分析】
解题前先回忆两个整式乘法核心公式：1. 完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$；2. 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
第(1)题：可以先交换括号内两项的位置，转化为完全平方差的标准形式，再代入公式计算，注意公式里对应$a$、$b$的项分别是$\frac{1}{2}$和$cd$。
第(2)题：先把括号内的负号提取出来，利用负数平方为正的性质，转化为$(a+b)^2$的形式，再代入完全平方和公式展开。
第(3)题：先观察前半部分乘积式，交换位置后符合平方差公式特征，先计算平方差的结果，再把后半部分的完全平方展开，最后合并同类项即可，计算时要注意完全平方展开后的符号，去括号不要出错。
【解析】
(1) 调整括号内项的顺序，套用完全平方差公式：
$(-cd+\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2}-cd)^2=(\dfrac{1}{2})^2 - 2·\dfrac{1}{2}·cd+(cd)^2=\dfrac{1}{4}-cd + c^2d^2$
(2) 提取括号内负号，套用完全平方和公式：
$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(3) 分别计算平方差、完全平方，再合并同类项：
$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$
$=(3y+4x)(3y-4x)-(16x^2+24xy+9y^2)$
$=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2$
$=-32x^2-24xy$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}-cd + c^2d^2$；(2)$a^2+2ab+b^2$；(3)$-32x^2-24xy$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题是整式乘法公式的基础应用题，解题关键是准确识别算式对应的公式形式，找准公式中对应的$a$、$b$项，尤其要注意负号的处理，展开时不要漏项、不要弄错符号，合并同类项时要准确区分同类项。
【难度系数】
0.75

典例2 (1)运用完全平方公式计算：
①$50.01^2$；
②$49.9^2$。
(2)已知$(x+y)^2=16$，$(x-y)^2=4$，求$xy$的值。
规律方法 (1)运用完全平方公式进行计算时，关键是把已知数拆成适当两数(容易平方的数)的和或差的形式。
(2)完全平方公式的常见变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$；
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$。
举一反三 (1)计算：
①$105^2$；
②$199^2$。

解 (1)①$105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025$。
②$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601$。
(2)$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7$，
$\therefore a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
①+②,得$2a^2+2b^2=20,\therefore a^2+b^2=10$。
①-②,得$4ab=6,\therefore ab=\dfrac{3}{2}$。

【分析】
本题分为两部分考查完全平方公式的应用：（1）对于接近整百数的平方计算，解题思路是将原数拆成整百数与一个较小数的和或差的形式，再套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$计算，可大幅简化运算量，避免直接硬算出错。（2）对于已知两个完全平方的值求代数式的问题，解题思路是先将两个完全平方公式展开，通过两式相加、相减的方式消去不需要的项，利用整体思想求出目标代数式的值。
【解析】
(1) ① 计算$105^2$，将105拆为$100+5$，套用和的完全平方公式：
$\begin{aligned}105^2&=(100+5)^2\\&=100^2+2×100×5+5^2\\&=10000+1000+25\\&=11025\end{aligned}$
② 计算$199^2$，将199拆为$200-1$，套用差的完全平方公式：
$\begin{aligned}199^2&=(200-1)^2\\&=200^2-2×200×1+1^2\\&=40000-400+1\\&=39601\end{aligned}$
(2) 已知$(a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$，先展开两个完全平方：
$a^2+2ab+b^2=13 \quad ①$
$a^2-2ab+b^2=7 \quad ②$
求$a^2+b^2$：将①+②，得：
$2a^2+2b^2=20$
两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$
求$ab$：将①-②，得：
$4ab=6$
两边同时除以4，得$ab=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) ①$\boxed{11025}$；②$\boxed{39601}$
(2) $a^2+b^2=\boxed{10}$，$ab=\boxed{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
完全平方公式，完全平方公式变形，整式简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，既考查了公式在简便计算中的拆分技巧，也考查了公式变形的整体代换思想，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，这类题型是整式乘法章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7