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典例解析
典例1
解 (1)$(2x+3y)^2$
$=(2x)^2 + 2·(2x)·(3y)+(3y)^2$
$=4x^2 +12xy +9y^2.$
(2)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2$
$=(\frac{1}{3}m)^2 -2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2$
$=\frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{4}n^2.$
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$=9x^2 -6xy + y^2 -x^2 +4y^2$
$=8x^2 -6xy +5y^2.$
(2)若$(a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,求$a^2 + b^2$和$ab$的值.
典例2
解 (1)①$50.01^2=(50+0.01)^2$
$=50^2 +2×50×0.01 +0.01^2$
$=2500 +1 +0.0001$
$=2501.0001.$
②$49.9^2=(50 -0.1)^2$
$=50^2 -2×50×0.1 +0.1^2$
$=2500 -10 +0.01=2490.01.$
(2)$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2 +2xy + y^2=16,①$
$x^2 -2xy + y^2=4,②$
$① - ②$,得$4xy=12$,解得$xy=3.$
典例1
解 (1)$(2x+3y)^2$
$=(2x)^2 + 2·(2x)·(3y)+(3y)^2$
$=4x^2 +12xy +9y^2.$
(2)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2$
$=(\frac{1}{3}m)^2 -2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2$
$=\frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{4}n^2.$
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$=9x^2 -6xy + y^2 -x^2 +4y^2$
$=8x^2 -6xy +5y^2.$
(2)若$(a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,求$a^2 + b^2$和$ab$的值.
典例2
解 (1)①$50.01^2=(50+0.01)^2$
$=50^2 +2×50×0.01 +0.01^2$
$=2500 +1 +0.0001$
$=2501.0001.$
②$49.9^2=(50 -0.1)^2$
$=50^2 -2×50×0.1 +0.1^2$
$=2500 -10 +0.01=2490.01.$
(2)$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2 +2xy + y^2=16,①$
$x^2 -2xy + y^2=4,②$
$① - ②$,得$4xy=12$,解得$xy=3.$
答案
解：
∵$(a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$
∴$a^2+2ab+b^2=13$，①
$a^2-2ab+b^2=7$，②
①+②，得$2a^2+2b^2=20$，
两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
①-②，得$4ab=6$，
两边同时除以4，得$ab=\frac{3}{2}$。
∵$(a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$
∴$a^2+2ab+b^2=13$，①
$a^2-2ab+b^2=7$，②
①+②，得$2a^2+2b^2=20$，
两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
①-②，得$4ab=6$，
两边同时除以4，得$ab=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式，将已知的两个完全平方式分别展开，观察两个展开式的结构特征：两个式子都含有$a^2+b^2$项，$ab$项的系数分别为$+2$和$-2$。我们可以通过加减消元的思路：将两个展开式相加，可消去$ab$项，得到仅含$a^2+b^2$的等式，即可求出$a^2+b^2$的值；将两个展开式相减，可消去$a^2$和$b^2$项，得到仅含$ab$的等式，即可求出$ab$的值。
【解析】
$\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$
$\therefore$ 根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13$ ①
$a^2-2ab+b^2=7$ ②
①+②，得$2a^2+2b^2=20$，
两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
①-②，得$4ab=6$，
两边同时除以4，得$ab=\frac{3}{2}$。
【答案】
$a^2+b^2=10$，$ab=\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用题，解题核心是利用两个完全平方展开式的结构特点，通过加减消元的方法消除无关项，进而求出目标代数式的值，这类变形技巧在整式化简求值类题型中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式，将已知的两个完全平方式分别展开，观察两个展开式的结构特征：两个式子都含有$a^2+b^2$项，$ab$项的系数分别为$+2$和$-2$。我们可以通过加减消元的思路：将两个展开式相加，可消去$ab$项，得到仅含$a^2+b^2$的等式，即可求出$a^2+b^2$的值；将两个展开式相减，可消去$a^2$和$b^2$项，得到仅含$ab$的等式，即可求出$ab$的值。
【解析】
$\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$
$\therefore$ 根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13$ ①
$a^2-2ab+b^2=7$ ②
①+②，得$2a^2+2b^2=20$，
两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
①-②，得$4ab=6$，
两边同时除以4，得$ab=\frac{3}{2}$。
【答案】
$a^2+b^2=10$，$ab=\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用题，解题核心是利用两个完全平方展开式的结构特点，通过加减消元的方法消除无关项，进而求出目标代数式的值，这类变形技巧在整式化简求值类题型中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 运用乘法公式计算$(m-2)^2$的结果是(
A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
C
).A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍，即$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；其次确定本题中对应公式的$a$和$b$，这里$a=m$，$b=2$；最后将$a$、$b$代入公式展开计算，再匹配选项即可，解题时注意不要和平方差公式混淆，避免遗漏中间项或出现符号错误。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
本题中$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2 + 2^2=m^2-4m+4$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需准确区分完全平方公式与平方差公式的差异，牢记公式展开后的项数和各项符号，避免因记错公式导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍，即$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；其次确定本题中对应公式的$a$和$b$，这里$a=m$，$b=2$；最后将$a$、$b$代入公式展开计算，再匹配选项即可，解题时注意不要和平方差公式混淆，避免遗漏中间项或出现符号错误。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
本题中$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2 + 2^2=m^2-4m+4$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需准确区分完全平方公式与平方差公式的差异，牢记公式展开后的项数和各项符号，避免因记错公式导致错误。
【难度系数】
0.8
2. 运算结果是$x^4y^2 - 2x^2y +1$的是(
A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
C
).A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，有两种解题思路：一是先将题干中的多项式利用完全平方公式因式分解，再和选项匹配；二是将各选项分别用完全平方公式展开，和题干的运算结果对比，选出符合的选项。解题核心是牢记完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征，注意平方项和中间项的符号、系数对应关系。
【解析】
利用完全平方公式逐一展开选项验证：
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
选项A：$(-1 + x^2y^2)^2=(x^2y^2-1)^2=(x^2y^2)^2-2· x^2y^2· 1 + 1^2=x^4y^4-2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
选项B：$(1 + x^2y^2)^2=1^2+2· 1· x^2y^2 + (x^2y^2)^2=1+2x^2y^2+x^4y^4$，与题干结果不符，排除；
选项C：$(-1 + x^2y)^2=(x^2y-1)^2=(x^2y)^2-2· x^2y· 1 +1^2=x^4y^2-2x^2y+1$，与题干结果一致，符合要求；
选项D：$(-1 - x^2y)^2=(x^2y+1)^2=(x^2y)^2+2· x^2y· 1 +1^2=x^4y^2+2x^2y+1$，与题干结果不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考查完全平方公式的结构特征，解题时要注意区分两数和与两数差的平方的中间项符号，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，有两种解题思路：一是先将题干中的多项式利用完全平方公式因式分解，再和选项匹配；二是将各选项分别用完全平方公式展开，和题干的运算结果对比，选出符合的选项。解题核心是牢记完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征，注意平方项和中间项的符号、系数对应关系。
【解析】
利用完全平方公式逐一展开选项验证：
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
选项A：$(-1 + x^2y^2)^2=(x^2y^2-1)^2=(x^2y^2)^2-2· x^2y^2· 1 + 1^2=x^4y^4-2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
选项B：$(1 + x^2y^2)^2=1^2+2· 1· x^2y^2 + (x^2y^2)^2=1+2x^2y^2+x^4y^4$，与题干结果不符，排除；
选项C：$(-1 + x^2y)^2=(x^2y-1)^2=(x^2y)^2-2· x^2y· 1 +1^2=x^4y^2-2x^2y+1$，与题干结果一致，符合要求；
选项D：$(-1 - x^2y)^2=(x^2y+1)^2=(x^2y)^2+2· x^2y· 1 +1^2=x^4y^2+2x^2y+1$，与题干结果不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考查完全平方公式的结构特征，解题时要注意区分两数和与两数差的平方的中间项符号，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
