3. 将四个全等的小长方形如图摆放，恰好形成一个大正方形和中间的一个小正方形，则下列等式中，能准确描述其中所蕴含的几何关系的是().

A.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
B.$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
C.$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2$
D.$(a + 2b)(a - b) = a^2 + ab - 2b^2$

3.B

【分析】
解题时先观察图形的组成，理清各部分的边长关系：首先四个全等的小长方形长为a、宽为b，外围大正方形的边长是小长方形长与宽的和，中间小正方形的边长是小长方形长与宽的差。接下来利用面积和差的等量关系：中间小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的总面积，将各部分面积用含a、b的式子表示后，对比选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算各部分面积：
① 单个小长方形的面积为ab，4个小长方形的总面积为4ab；
② 外围大正方形的边长为a+b，面积为$(a+b)^2$；
③ 中间小正方形的边长为a-b，面积为$(a-b)^2$。
2. 根据面积和差关系列等式：
由图可得，中间小正方形的面积等于大正方形面积减去4个小长方形的面积和，即：
$ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
该式与选项B的等式一致，其余选项的代数关系均不符合图中的面积和差逻辑。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式的几何意义
2. 面积和差计算
【点评】
本题是数形结合验证代数公式的典型题型，解题核心是准确梳理图形各部分的边长关系，通过面积的和差建立等式，能很好地考查对完全平方公式的理解和数形结合思维的应用。
【难度系数】
0.7

4. 将$102^2$变形正确的是().

A.$102^2=100^2+2^2$
B.$102^2=100^2-2×100×2+2^2$
C.$102^2=100^2+4×100+2^2$
D.$102^2=100^2+100×2+2^2$

4.C

【分析】
本题考查完全平方和公式的应用，解题思路如下：首先把底数102拆成100+2的形式，再回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将a=100、b=2代入公式展开，最后把展开结果和四个选项逐一对比，就能选出正确答案，解题时要注意不要漏记公式中间项的系数2，也不要和平方差公式混淆。
【解析】
第一步：拆分底数，将102改写为$100+2$，可得$102^2=(100+2)^2$。
第二步：套用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=100$，$b=2$，展开计算：
$\begin{aligned}(100+2)^2&=100^2+2×100×2+2^2\\&=100^2+4×100+2^2\end{aligned}$
第三步：对比选项：
A选项缺少中间的$2×100×2$项，展开错误；
B选项是完全平方差公式的展开，对应$(100-2)^2$，不符合题意；
C选项与展开结果一致，正确；
D选项中间项系数少乘2，展开错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题属于基础考查题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，解题时要学会合理拆分底数，注意避免出现$(a+b)^2=a^2+b^2$这类漏项的常见错误。
【难度系数】
0.85

5.若$(x + k)^2 = x^2 - 6x + 9$，则k的值是。

5.-3

【分析】
解题思路：本题可通过完全平方公式的逆用或者整式展开对应系数相等两种方法求解。步骤1：回忆完全平方公式的结构特征，判断等式右边的二次三项式可转化为完全平方式；步骤2：将右侧式子变形为完全平方形式后和左侧对比，或者展开左右两侧式子，根据恒等式对应项系数相等列方程；步骤3：计算得到k的值。
【解析】
方法1：利用完全平方公式逆用求解
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对等式右侧变形：
$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2· x·3 + 3^2 = (x - 3)^2$
已知$(x + k)^2 = x^2 - 6x + 9$，因此可得$(x + k)^2 = (x - 3)^2$
对比左右两个完全平方式，直接得出$k = -3$。
方法2：展开后对应系数相等求解
将左侧式子展开：$(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$
等式左右两侧为恒等的整式，因此对应项系数相等：
一次项系数满足$2k = -6$，解得$k = -3$；
代入常数项验证：$k^2 = (-3)^2 = 9$，和右侧常数项一致，结果成立。
【答案】
-3
【知识点】
完全平方公式、整式恒等变形
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确判断符号是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

6.运用完全平方公式计算：
(1)$(5a+4b)^2$；
(2)$(3x-2y)^2$；
(3)$(-2m-1)^2$；
(4)$9.98^2$。

6.解 (1)原式=$(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$。
(2)原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$。
(3)原式=$(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$。
(4)原式=$(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$。

【分析】
解题时首先要牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。
对于(1)(2)题，直接确定公式里对应的a、b，套用公式展开即可；
对于(3)题，可将$-2m$看作公式里的a，$-1$看作公式里的b，套用和的完全平方公式计算，避免符号出错；
对于(4)题，先将$9.98$转化为$10-0.02$，再套用差的完全平方公式实现简便计算，减少计算量。
【解析】
(1) 根据和的完全平方公式，令$a=5a$，$b=4b$，代入公式得：
原式=$(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$
(2) 根据差的完全平方公式，令$a=3x$，$b=2y$，代入公式得：
原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
(3) 根据和的完全平方公式，令$a=-2m$，$b=-1$，代入公式得：
原式=$(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$
(4) 先将$9.98$变形为$10-0.02$，再代入差的完全平方公式：
原式=$(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$
【答案】
(1)$25a^2+40ab+16b^2$；(2)$9x^2-12xy+4y^2$；(3)$4m^2+4m+1$；(4)$99.6004$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘法运算 3.简便计算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的a和b，尤其遇到带负号的项时要注意符号运算的正确性，合理拆分数值可以大幅降低计算难度，减少错误率。
【难度系数】
0.8

7. 计算下列各题：
(1) $(a - 2b)^2 - (2a + b)(b - 2a) - 4a(a - b)$；
(2) $(2x + 3y)^2 - (4x - 9y)(4x + 9y) + (3x - 2y)^2$。

7.解 (1)原式=$a^2-4ab+4b^2-b^2+4a^2-4a^2+4ab=a^2+3b^2$。
(2)原式=$4x^2+12xy+9y^2-16x^2+81y^2+9x^2-12xy+4y^2=-3x^2+94y^2$。

【分析】
这两道题属于整式的混合运算类题目，解题思路可分为三步：第一步先识别每一项对应的整式乘法法则，完全平方项用完全平方公式展开，两数和乘两数差的项用平方差公式展开，单项式乘多项式项按对应法则展开；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第三步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和指数不变，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 分别展开各项：
根据完全平方公式，$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2$
根据平方差公式，$(2a+b)(b-2a)=(b+2a)(b-2a)=b^2-(2a)^2=b^2-4a^2$
根据单项式乘多项式法则，$4a(a-b)=4a^2-4ab$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a^2-4ab+4b^2-(b^2-4a^2)-(4a^2-4ab)\\&=a^2-4ab+4b^2 - b^2 +4a^2 -4a^2 +4ab\\&=(a^2+4a^2-4a^2)+(-4ab+4ab)+(4b^2-b^2)\\&=a^2+3b^2\end{aligned}$
(2) 分别展开各项：
根据完全平方公式，$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，$(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
根据平方差公式，$(4x-9y)(4x+9y)=(4x)^2-(9y)^2=16x^2-81y^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+12xy+9y^2-(16x^2-81y^2)+9x^2-12xy+4y^2\\&=4x^2+12xy+9y^2 -16x^2 +81y^2 +9x^2 -12xy +4y^2\\&=(4x^2-16x^2+9x^2)+(12xy-12xy)+(9y^2+81y^2+4y^2)\\&=-3x^2+94y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2+3b^2$；(2) $-3x^2+94y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活应用，解题时需准确区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，去括号时注意符号变化，合并同类项时要避免漏项、错算系数，是整式运算的基础题型。
【难度系数】
0.8

8.【阅读理解】
若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(4-x)^2+(x-9)^2$的值.
解:设$9-x=a$，$x-4=b$，则$(9-x)(x-4)=ab=4$，$a+b=(9-x)+(x-4)=5$，$\therefore (4-x)^2+(x-9)^2=(9-x)^2+(x-4)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$.
【拓展应用】
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若$x$满足$(5-x)(x-2)=2$，求$(5-x)^2+(x-2)^2$的值；
(2)已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$E$，$F$分别是$AD$，$DC$上的点，且$AE=1$，$CF=3$，长方形$EMFD$的面积是48，分别以$MF$，$DF$为边作正方形.
①$MF=$，$DF=$；(用含$x$的式子表示)
②求阴影部分的面积.

8.解 (1)设$5-x=a,x-2=b$，则$(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2)①$MF=DE=x-1,DF=x-3$，故答案为$x-1;x-3$。
②$(x-1)(x-3)=48$，阴影部分的面积=$FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$。
设$x-1=a,x-3=b$，则$(x-1)(x-3)=ab=48,a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$，
$\therefore a+b=±14$，
又$a+b＞0,\therefore a+b=14$，
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$。
即阴影部分的面积是28。

【分析】
(1) 仿照题干给出的换元方法，设$5-x=a$，$x-2=b$，先求出$ab$和$a+b$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
(2) ①根据正方形ABCD边长为$x$，结合线段和差关系：$MF=DE=AD-AE$，$DF=CD-CF$，代入已知长度即可写出含$x$的表达式；②阴影部分面积为以MF为边的正方形面积减去以DF为边的正方形面积，即$(x-1)^2-(x-3)^2$，继续用换元法，设$a=x-1$，$b=x-3$，先由长方形面积得$ab=48$，再求出$a-b$的值，利用$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$求出$a+b$的正值，最后用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$代入计算得到阴影面积。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，则$(5-x)(x-2)=ab=2$，$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ①正方形ABCD边长为$x$，则$AD=CD=x$，
$MF=DE=AD-AE=x-1$，$DF=CD-CF=x-3$。
②由长方形EMFD的面积是48，可得$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分面积$=MF^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$。
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$ab=48$，$a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$，
$\because a,b$为线段长度，故$a+b＞0$，$\therefore a+b=14$，
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) ①$\boxed{x-1}$，$\boxed{x-3}$；②$\boxed{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活应用，通过阅读材料掌握换元法简化计算的思路，将所求代数式转化为已知两式的和、差、积的形式是解题的关键，在几何应用中要注意结合实际意义舍去不符合条件的负值。
【难度系数】
0.7