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1.(河池)已知关于x的方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根是1，则m=
2
.答案
1. 2
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=1是方程的根，将x=1代入原方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得：$1 - 3 + m = 0$
化简得：$-2 + m = 0$
解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根的定义的理解与应用，代入计算时注意运算准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=1是方程的根，将x=1代入原方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得：$1 - 3 + m = 0$
化简得：$-2 + m = 0$
解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根的定义的理解与应用，代入计算时注意运算准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.(白银)关于x的一元二次方程$(a + 1)x^2 - ax + a^2 - 1 = 0$的一个根为0，那么a=
1
.答案
2. 1
解析
【分析】
解题时需抓住题干的两个关键条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入方程可使等式成立。解题思路为：先将x=0代入方程求出a的所有可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 方程的一个根为0，将x=0代入原方程得：
$(a+1)×0^2 - a×0 + a^2 -1 = 0$
化简得：$a^2 -1 = 0$
解得：$a=1$ 或 $a=-1$
又
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不为0，即：
$a+1 ≠ 0$，解得 $a ≠ -1$
综上，舍去$a=-1$，故$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意一元二次方程的隐含限制条件：二次项系数不能为0，若忽略该条件，会错误得出a=±1的结果。
【难度系数】
0.7
解题时需抓住题干的两个关键条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入方程可使等式成立。解题思路为：先将x=0代入方程求出a的所有可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 方程的一个根为0，将x=0代入原方程得：
$(a+1)×0^2 - a×0 + a^2 -1 = 0$
化简得：$a^2 -1 = 0$
解得：$a=1$ 或 $a=-1$
又
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不为0，即：
$a+1 ≠ 0$，解得 $a ≠ -1$
综上，舍去$a=-1$，故$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意一元二次方程的隐含限制条件：二次项系数不能为0，若忽略该条件，会错误得出a=±1的结果。
【难度系数】
0.7
3.(新疆)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - k = 0$有两个不相等的实数根，那么$k$的取值范围是
$k ＞ -1$
。答案
3. $k ＞ -1$
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的个数和判别式的对应关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式列出关于k的不等式，最后解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$x^2 + 2x - k = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-k$，
代入判别式得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-k) = 4 + 4k ＞ 0$，
解不等式：$4k ＞ -4$，
解得：$k ＞ -1$。
【答案】
$k ＞ -1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题的关键是正确识别方程各项系数，代入判别式列不等式求解，计算时要注意常数项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的个数和判别式的对应关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式列出关于k的不等式，最后解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$x^2 + 2x - k = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-k$，
代入判别式得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(-k) = 4 + 4k ＞ 0$，
解不等式：$4k ＞ -4$，
解得：$k ＞ -1$。
【答案】
$k ＞ -1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题的关键是正确识别方程各项系数，代入判别式列不等式求解，计算时要注意常数项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4.(郴州)已知关于x的一元二次方程$x^2 + bx + b - 1 = 0$有两个相等的实数根，则b的值是
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，可直接联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。解题时首先确定给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式等于0的关系式，得到关于参数b的一元二次方程，求解即可得到b的值，注意不要将题目中的参数b和判别式公式里的一次项系数符号混淆。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + bx + b - 1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=b-1$。
根据题意列方程：
$\Delta = b^2 - 4×1×(b-1) = 0$
整理得：$b^2-4b+4=0$
由完全平方公式得：$(b-2)^2=0$
解得：$b=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，属于基础题型，解题核心是牢记判别式与根的数量的对应规则，准确代入各项系数计算即可。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个相等的实数根，可直接联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。解题时首先确定给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式等于0的关系式，得到关于参数b的一元二次方程，求解即可得到b的值，注意不要将题目中的参数b和判别式公式里的一次项系数符号混淆。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + bx + b - 1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=b-1$。
根据题意列方程：
$\Delta = b^2 - 4×1×(b-1) = 0$
整理得：$b^2-4b+4=0$
由完全平方公式得：$(b-2)^2=0$
解得：$b=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，属于基础题型，解题核心是牢记判别式与根的数量的对应规则，准确代入各项系数计算即可。
【难度系数】
0.8
5.(呼和浩特)已知$m,n$是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个实数根，则$m^2 + 3m + n - mn =$
8
.答案
5. 8
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式值的问题时，优先考虑两个核心知识点：①一元二次方程根的定义（根代入方程等式成立），可用于将代数式中的高次项降次；②根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和、两根之积。本题中所求代数式含有m²，先利用根的定义得到m²+2m=5，再将所求代数式拆分为含m²+2m、m+n、mn的形式，最后代入韦达定理的结果计算即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的实数根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 2m - 5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$
∵m、n是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-5$
∴$m+n = -\frac{2}{1} = -2$，$mn = \frac{-5}{1} = -5$
对所求代数式变形：
$m^2 + 3m + n - mn = (m^2 + 2m) + (m + n) - mn$
将$m^2+2m=5$，$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式：
原式$= 5 + (-2) - (-5) = 5 - 2 + 5 = 8$
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题型，解题核心是通过合理拆分代数式，结合整体代入的思想简化运算，避免了直接求解方程根的繁琐步骤，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.7
遇到已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式值的问题时，优先考虑两个核心知识点：①一元二次方程根的定义（根代入方程等式成立），可用于将代数式中的高次项降次；②根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和、两根之积。本题中所求代数式含有m²，先利用根的定义得到m²+2m=5，再将所求代数式拆分为含m²+2m、m+n、mn的形式，最后代入韦达定理的结果计算即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的实数根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 2m - 5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$
∵m、n是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-5$
∴$m+n = -\frac{2}{1} = -2$，$mn = \frac{-5}{1} = -5$
对所求代数式变形：
$m^2 + 3m + n - mn = (m^2 + 2m) + (m + n) - mn$
将$m^2+2m=5$，$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式：
原式$= 5 + (-2) - (-5) = 5 - 2 + 5 = 8$
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题型，解题核心是通过合理拆分代数式，结合整体代入的思想简化运算，避免了直接求解方程根的繁琐步骤，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.7
6.(内江)如果关于x的一元二次方程$ax^2 + 4x - 2 = 0$有实数根，那么a的取值范围是
$a ≥ -2 且 a ≠ 0$
。答案
6. $a ≥ -2 且 a ≠ 0$
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中“一元二次方程”的关键条件，首先明确一元二次方程的定义要求二次项系数不为0，即a≠0；其次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，我们可以代入系数求出Δ的表达式，解不等式得到a的取值范围，最后结合两个限制条件就能得到最终a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + 4x - 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中二次项系数为a，一次项系数为4，常数项为-2，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × a × (-2) = 16 + 8a ≥ 0$
解不等式$16 + 8a ≥ 0$：
$8a ≥ -16$
$a ≥ -2$
综上，a的取值范围是$a ≥ -2$且$a ≠ 0$
【答案】
$a ≥ -2$且$a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到不完整的范围，审题时要注意抓准题干的限定条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题目中“一元二次方程”的关键条件，首先明确一元二次方程的定义要求二次项系数不为0，即a≠0；其次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，我们可以代入系数求出Δ的表达式，解不等式得到a的取值范围，最后结合两个限制条件就能得到最终a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + 4x - 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中二次项系数为a，一次项系数为4，常数项为-2，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × a × (-2) = 16 + 8a ≥ 0$
解不等式$16 + 8a ≥ 0$：
$8a ≥ -16$
$a ≥ -2$
综上，a的取值范围是$a ≥ -2$且$a ≠ 0$
【答案】
$a ≥ -2$且$a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到不完整的范围，审题时要注意抓准题干的限定条件。
【难度系数】
0.7
7.(襄阳)若正数a是一元二次方程$x^2 - 5x + m = 0$的一个根，$-a$是一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的一个根，则a的值是
5
。答案
7. 5
解析
【分析】
解题时先根据一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，代入方程可使等式成立。因此我们可以将a代入第一个方程、将-a代入第二个方程，得到两个同时含有a和m的等式，再通过消元法消去参数m，得到只含a的方程，最后结合a是正数的限定条件求解即可。
【解析】
∵正数a是一元二次方程$x^2 - 5x + m = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 5a + m = 0$ ①
∵$-a$是一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的一个根，
∴将$x=-a$代入方程得：$(-a)^2 + 5×(-a) - m = 0$，化简得$a^2 - 5a - m = 0$ ②
①+②消去m，可得：$2a^2 - 10a = 0$
提取公因式得：$2a(a-5)=0$
解得$a=0$或$a=5$
∵a是正数，
∴$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.因式分解法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的应用，解题核心是利用根的定义建立等量关系，消去参数后求解，注意不要忽略题目中“正数a”的限定条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
解题时先根据一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，代入方程可使等式成立。因此我们可以将a代入第一个方程、将-a代入第二个方程，得到两个同时含有a和m的等式，再通过消元法消去参数m，得到只含a的方程，最后结合a是正数的限定条件求解即可。
【解析】
∵正数a是一元二次方程$x^2 - 5x + m = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 5a + m = 0$ ①
∵$-a$是一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的一个根，
∴将$x=-a$代入方程得：$(-a)^2 + 5×(-a) - m = 0$，化简得$a^2 - 5a - m = 0$ ②
①+②消去m，可得：$2a^2 - 10a = 0$
提取公因式得：$2a(a-5)=0$
解得$a=0$或$a=5$
∵a是正数，
∴$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.因式分解法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的应用，解题核心是利用根的定义建立等量关系，消去参数后求解，注意不要忽略题目中“正数a”的限定条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
8.(宜宾)某企业五月份的利润是25万元,预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x,依题意列方程是
$25(1+x)^2 = 36$
.答案
8. $25(1+x)^2 = 36$
解析
【分析】
这是平均增长率类应用题，解题需先明确增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先已知初始量为五月份的25万元利润，平均月增长率为x，先推导六月份的利润，再以六月份利润为基数推导七月份的利润，最后结合七月份利润为36万元的条件列等式即可。
【解析】
已知五月份利润为25万元，平均月增长率为x：
1. 计算六月份利润：六月份在五月份基础上增长x，因此六月份利润为$25(1+x)$万元；
2. 计算七月份利润：七月份在六月份基础上再增长x，因此七月份利润为$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的七月份利润为36万元的条件，可列方程：$25(1+x)^2 = 36$。
【答案】
$25(1+x)^2 = 36$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是典型的增长率基础应用题，解题核心是掌握连续增长后量的计算方法，明确每次增长的基数，避免出现漏写平方、基数混淆的错误。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类应用题，解题需先明确增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先已知初始量为五月份的25万元利润，平均月增长率为x，先推导六月份的利润，再以六月份利润为基数推导七月份的利润，最后结合七月份利润为36万元的条件列等式即可。
【解析】
已知五月份利润为25万元，平均月增长率为x：
1. 计算六月份利润：六月份在五月份基础上增长x，因此六月份利润为$25(1+x)$万元；
2. 计算七月份利润：七月份在六月份基础上再增长x，因此七月份利润为$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的七月份利润为36万元的条件，可列方程：$25(1+x)^2 = 36$。
【答案】
$25(1+x)^2 = 36$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是典型的增长率基础应用题，解题核心是掌握连续增长后量的计算方法，明确每次增长的基数，避免出现漏写平方、基数混淆的错误。
【难度系数】
0.8
9.(天津)一元二次方程$x^2 + x - 12 = 0$的两个根为…………………………【 】
A.$-2,6$
B.$-6,2$
C.$-3,4$
D.$-4,3$
A.$-2,6$
B.$-6,2$
C.$-3,4$
D.$-4,3$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求根，我们可以用九年级常用的方法求解：方法一：因式分解法，观察方程左边的二次三项式，用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积等于常数项-12、和等于一次项系数1，即可将方程转化为两个一次方程求解；方法二：公式法，先确定a、b、c的取值，计算判别式后套用求根公式计算；方法三：也可将选项中的值逐一代入方程验证，能使方程左右两边相等的就是方程的根。
【解析】
我们用十字相乘法因式分解求解：
对于方程$x^2 + x - 12 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-12。
将二次三项式因式分解可得：$x^2 + x -12 = (x + 4)(x - 3)$
因此原方程转化为：$(x + 4)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 4 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得：$x_1 = -4$，$x_2 = 3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法，十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的求根能力，熟练掌握因式分解法、公式法等常用解法，就能快速准确得出结果，也可通过代入选项验证的方法提高解题速度。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程的求根，我们可以用九年级常用的方法求解：方法一：因式分解法，观察方程左边的二次三项式，用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积等于常数项-12、和等于一次项系数1，即可将方程转化为两个一次方程求解；方法二：公式法，先确定a、b、c的取值，计算判别式后套用求根公式计算；方法三：也可将选项中的值逐一代入方程验证，能使方程左右两边相等的就是方程的根。
【解析】
我们用十字相乘法因式分解求解：
对于方程$x^2 + x - 12 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-12。
将二次三项式因式分解可得：$x^2 + x -12 = (x + 4)(x - 3)$
因此原方程转化为：$(x + 4)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 4 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得：$x_1 = -4$，$x_2 = 3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法，十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的求根能力，熟练掌握因式分解法、公式法等常用解法，就能快速准确得出结果，也可通过代入选项验证的方法提高解题速度。
【难度系数】
0.8
10.(黄冈)方程$x^2 -6x +c=0$的一个根为2，则另一个根为………………【 】
A.2
B.3
C.4
D.8
A.2
B.3
C.4
D.8
答案
C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数c的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系计算另一个根，该方法无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一：根据方程根的定义，把x=2代入原方程$x^2 -6x +c=0$，得：
$2^2 -6×2 +c=0$
计算得$4-12+c=0$，解得$c=8$
则原方程为$x^2 -6x +8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，故另一个根为4。
方法二：设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-6$，已知一个根为2，因此：
$2 + x_1 = -\frac{-6}{1}=6$
解得$x_1=6-2=4$，故另一个根为4。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法均为核心考点，灵活运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一，利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数c的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系计算另一个根，该方法无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一：根据方程根的定义，把x=2代入原方程$x^2 -6x +c=0$，得：
$2^2 -6×2 +c=0$
计算得$4-12+c=0$，解得$c=8$
则原方程为$x^2 -6x +8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，故另一个根为4。
方法二：设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-6$，已知一个根为2，因此：
$2 + x_1 = -\frac{-6}{1}=6$
解得$x_1=6-2=4$，故另一个根为4。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法均为核心考点，灵活运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
11.(泸州)设$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-3=0$的两个实数根，则$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值为 【 】
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
答案
B
解析
【分析】
本题所求代数式是关于方程两根的分式和，若直接求解方程的根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路为：第一步根据韦达定理求出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式通过通分、完全平方公式变形，转化为用两根之和与两根之积表示的形式；第三步代入数值计算得到结果。
【解析】
解：已知$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-3=0$的两个实数根，该方程中$a=1,b=3,c=-3$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{9+6}{-3}=-5$
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，分式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题型，解题关键是熟练掌握韦达定理的应用，通过代数变形避免直接求根的复杂运算，解题时需注意符号计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题所求代数式是关于方程两根的分式和，若直接求解方程的根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路为：第一步根据韦达定理求出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式通过通分、完全平方公式变形，转化为用两根之和与两根之积表示的形式；第三步代入数值计算得到结果。
【解析】
解：已知$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-3=0$的两个实数根，该方程中$a=1,b=3,c=-3$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{9+6}{-3}=-5$
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，分式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题型，解题关键是熟练掌握韦达定理的应用，通过代数变形避免直接求根的复杂运算，解题时需注意符号计算的准确性。
【难度系数】
0.7
12.(滨州) 下列一元二次方程中，无实数根的是 ………………………………………………【 】
A.$x^2 - 2x - 3 = 0$
B.$x^2 + 3x + 2 = 0$
C.$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + 2x + 3 = 0$
A.$x^2 - 2x - 3 = 0$
B.$x^2 + 3x + 2 = 0$
C.$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + 2x + 3 = 0$
答案
D
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有实数根，可借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$（其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，且$a≠0$）判定：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。解题时只需分别计算四个选项方程的判别式，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】对于一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，逐一计算各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，
$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，有实根，不符合要求；
B选项：$x^2 + 3x + 2 = 0$中，$a=1,b=3,c=2$，
$\Delta=3^2-4×1×2=9-8=1＞0$，有实根，不符合要求；
C选项：$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\frac{1}{2},b=-2,c=1$，
$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×1=4-2=2＞0$，有实根，不符合要求；
D选项：$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=2,c=3$，
$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，无实根，符合要求。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式；实数根判定
【点评】本题为基础题型，核心考查根的判别式的应用，熟练掌握判别式的计算规则和对应根的情况即可快速解题。
【难度系数】0.85
【解析】对于一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，逐一计算各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，
$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，有实根，不符合要求；
B选项：$x^2 + 3x + 2 = 0$中，$a=1,b=3,c=2$，
$\Delta=3^2-4×1×2=9-8=1＞0$，有实根，不符合要求；
C选项：$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\frac{1}{2},b=-2,c=1$，
$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×1=4-2=2＞0$，有实根，不符合要求；
D选项：$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=2,c=3$，
$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，无实根，符合要求。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式；实数根判定
【点评】本题为基础题型，核心考查根的判别式的应用，熟练掌握判别式的计算规则和对应根的情况即可快速解题。
【难度系数】0.85
13.(内江)若关于x的一元二次方程$(k - 1)x^2 + 2x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是………………【 】
A.$k ＞ \frac{1}{2}$
B.$k ＞ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$
C.$k ≥ \frac{1}{2}$
D.$k ≥ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$
A.$k ＞ \frac{1}{2}$
B.$k ＞ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$
C.$k ≥ \frac{1}{2}$
D.$k ≥ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分就能得到最终k的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$k - 1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$。
第二步：根据方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$(k - 1)x^2 + 2x - 2 = 0$中，$a = k-1$，$b=2$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×(-2) ＞ 0$
计算得：$4 + 8(k-1) ＞ 0$
展开括号：$4 + 8k - 8 ＞ 0$
整理得：$8k ＞ 4$
解得：$k ＞ \frac{1}{2}$
第三步：结合两个条件取公共部分，得$k ＞ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式的应用
【点评】
本题是常见易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅根据判别式求范围误选A，做这类题时要先确认方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分就能得到最终k的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$k - 1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$。
第二步：根据方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$(k - 1)x^2 + 2x - 2 = 0$中，$a = k-1$，$b=2$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×(-2) ＞ 0$
计算得：$4 + 8(k-1) ＞ 0$
展开括号：$4 + 8k - 8 ＞ 0$
整理得：$8k ＞ 4$
解得：$k ＞ \frac{1}{2}$
第三步：结合两个条件取公共部分，得$k ＞ \frac{1}{2}$且$k ≠ 1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式的应用
【点评】
本题是常见易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅根据判别式求范围误选A，做这类题时要先确认方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
14.(衡阳)某种药品经过两次降价后,每瓶的零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得 ……………………【 】
A.$168(1+x)^2 = 128$
B.$168(1-x)^2 = 128$
C.$168(1-2x) = 128$
D.$168(1-x^2) = 128$
A.$168(1+x)^2 = 128$
B.$168(1-x)^2 = 128$
C.$168(1-2x) = 128$
D.$168(1-x^2) = 128$
答案
B
解析
【分析】
这是一道降低率列方程的应用题，解题时首先要明确每次降价的计算规则：每次降价都是在前一次售价的基础上，乘以(1-降价百分率)。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后的最终售价列出等式即可。
【解析】
第一步，计算第一次降价后的售价：原价为168元，降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为 $168(1-x)$ 元。
第二步，计算第二次降价后的售价：第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为 $168(1-x) × (1-x) = 168(1-x)^2$ 元。
第三步，结合题意，两次降价后售价为128元，因此可列方程：$168(1-x)^2 = 128$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 降低率问题 2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，核心易错点有两个：一是误将降价当成涨价错选A，二是误以为两次降价的总幅度是2x错选C，解题时要牢记每次降价的基数是前一次的实际售价，两次降价就是连续两次乘(1-降价率)。
【难度系数】
0.8
这是一道降低率列方程的应用题，解题时首先要明确每次降价的计算规则：每次降价都是在前一次售价的基础上，乘以(1-降价百分率)。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后的最终售价列出等式即可。
【解析】
第一步，计算第一次降价后的售价：原价为168元，降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为 $168(1-x)$ 元。
第二步，计算第二次降价后的售价：第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为 $168(1-x) × (1-x) = 168(1-x)^2$ 元。
第三步，结合题意，两次降价后售价为128元，因此可列方程：$168(1-x)^2 = 128$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 降低率问题 2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，核心易错点有两个：一是误将降价当成涨价错选A，二是误以为两次降价的总幅度是2x错选C，解题时要牢记每次降价的基数是前一次的实际售价，两次降价就是连续两次乘(1-降价率)。
【难度系数】
0.8
