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7. 如图，$△ ACE ≌ △ DBF$，给出下列结论：①$AC=DB$；②$AB=DC$；③$∠ 1=∠ 2$；④$AE // DF$；⑤$S_{△ ACE}=S_{△ DFB}$；⑥$BC=AE$；⑦$BF // EC$。其中正确的有 （
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
C
）A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积完全相等。我们先根据△ACE≌△DBF确定所有对应边、对应角的等量关系，再结合线段和差、平行线的判定定理，逐个验证7个结论是否成立即可。
【解析】
已知△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质推导：
1. 由全等三角形对应边相等、对应角相等、面积相等，直接可得$AC=DB$，$S_{△ACE}=S_{△DFB}$，因此结论①、⑤成立。
2. 验证②：因为$AC=DB$，两边同时减去公共线段$BC$，得$AC-BC=DB-BC$，即$AB=DC$，结论②成立。
3. 验证③：因为全等对应角$∠ACE=∠DBF$，两边同时减去公共角，可得$∠1=∠2$，结论③成立。
4. 验证④：因为全等对应角$∠A=∠D$，内错角相等两直线平行，可得$AE // DF$，结论④成立。
5. 验证⑥：全等三角形的对应边为$AC=DB$、$CE=BF$、$AE=DF$，$BC$和$AE$没有对应等量关系，无法推出$BC=AE$，结论⑥不成立。
6. 验证⑦：因为全等对应角$∠ACE=∠DBF$，同位角相等两直线平行，可得$BF // EC$，结论⑦成立。
综上，成立的结论共有①②③④⑤⑦6个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，需要逐个排查结论，易错点是容易混淆全等三角形的对应边、对应角，或忽略线段、角的和差推导。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积完全相等。我们先根据△ACE≌△DBF确定所有对应边、对应角的等量关系，再结合线段和差、平行线的判定定理，逐个验证7个结论是否成立即可。
【解析】
已知△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质推导：
1. 由全等三角形对应边相等、对应角相等、面积相等，直接可得$AC=DB$，$S_{△ACE}=S_{△DFB}$，因此结论①、⑤成立。
2. 验证②：因为$AC=DB$，两边同时减去公共线段$BC$，得$AC-BC=DB-BC$，即$AB=DC$，结论②成立。
3. 验证③：因为全等对应角$∠ACE=∠DBF$，两边同时减去公共角，可得$∠1=∠2$，结论③成立。
4. 验证④：因为全等对应角$∠A=∠D$，内错角相等两直线平行，可得$AE // DF$，结论④成立。
5. 验证⑥：全等三角形的对应边为$AC=DB$、$CE=BF$、$AE=DF$，$BC$和$AE$没有对应等量关系，无法推出$BC=AE$，结论⑥不成立。
6. 验证⑦：因为全等对应角$∠ACE=∠DBF$，同位角相等两直线平行，可得$BF // EC$，结论⑦成立。
综上，成立的结论共有①②③④⑤⑦6个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，需要逐个排查结论，易错点是容易混淆全等三角形的对应边、对应角，或忽略线段、角的和差推导。
【难度系数】
0.7
▲8.如图,在$△ ABC$中,$∠ A:∠ ABC:∠ ACB=3:5:10$,$B'$是$AC$延长线上一点,$A'$是$B'B$延长线上一点,且$△ A'B'C≌△ ABC$,则$∠ BCA':∠ BCB'=$
$1:4$
.答案
8.$1:4$
解析
【分析】
解题时首先根据△ABC三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°，求出∠ACB的度数；再利用邻补角的性质求出∠BCB'的度数；接着根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠A'CB'=∠ACB，进而求出∠BCA'的度数；最后计算两个角的比值即可。
【解析】
设∠A=3x，∠ABC=5x，∠ACB=10x，
根据三角形内角和定理得：$3x+5x+10x=180°$，
解得$x=10°$，
∴$∠ ACB=10×10°=100°$，
∵B'是AC延长线上的点，∠ACB与∠BCB'为邻补角，
∴$∠ BCB'=180°-∠ ACB=180°-100°=80°$，
∵$△ A'B'C≌△ ABC$，
∴$∠ A'CB'=∠ ACB=100°$，
∴$∠ BCA'=∠ A'CB'-∠ BCB'=100°-80°=20°$，
∴$∠ BCA':∠ BCB'=20°:80°=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是先利用角度比例关系求出已知三角形的内角度数，再结合全等对应角相等的性质推导未知角的度数，计算时要注意角的和差关系不要搞错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据△ABC三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°，求出∠ACB的度数；再利用邻补角的性质求出∠BCB'的度数；接着根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠A'CB'=∠ACB，进而求出∠BCA'的度数；最后计算两个角的比值即可。
【解析】
设∠A=3x，∠ABC=5x，∠ACB=10x，
根据三角形内角和定理得：$3x+5x+10x=180°$，
解得$x=10°$，
∴$∠ ACB=10×10°=100°$，
∵B'是AC延长线上的点，∠ACB与∠BCB'为邻补角，
∴$∠ BCB'=180°-∠ ACB=180°-100°=80°$，
∵$△ A'B'C≌△ ABC$，
∴$∠ A'CB'=∠ ACB=100°$，
∴$∠ BCA'=∠ A'CB'-∠ BCB'=100°-80°=20°$，
∴$∠ BCA':∠ BCB'=20°:80°=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是先利用角度比例关系求出已知三角形的内角度数，再结合全等对应角相等的性质推导未知角的度数，计算时要注意角的和差关系不要搞错。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知$△ ABD≌△ ACE$,试证明$BE=CD$. 
(第9题)
(第9题)答案
证明：
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件$△ ABD≌△ ACE$入手，根据全等三角形的性质可得到对应边相等，即$AD=AE$、$AB=AC$。再观察待证的线段$BE$、$CD$的构成：$BE$是线段$AE$与$AB$的差，$CD$是线段$AD$与$AC$的差，结合等式的基本性质，相等的量减去相等的量差相等，即可推导出$BE=CD$。
【解析】
证明：
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
【答案】
证明：
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 等式的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边，结合线段的和差关系即可完成推导，侧重对基础概念和基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$△ ABD≌△ ACE$入手，根据全等三角形的性质可得到对应边相等，即$AD=AE$、$AB=AC$。再观察待证的线段$BE$、$CD$的构成：$BE$是线段$AE$与$AB$的差，$CD$是线段$AD$与$AC$的差，结合等式的基本性质，相等的量减去相等的量差相等，即可推导出$BE=CD$。
【解析】
证明：
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
【答案】
证明：
∵ $△ ABD ≌ △ ACE$，
∴ $AD = AE$，$AB = AC$（全等三角形的对应边相等），
∴ $AE - AB = AD - AC$，
即 $BE = CD$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 等式的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是准确找到全等三角形的对应边，结合线段的和差关系即可完成推导，侧重对基础概念和基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
10.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动,设运动的时间为ts.
(1)求CP的长(用含t的代数式表示).
★(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值.
(1)求CP的长(用含t的代数式表示).
★(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值.
答案
10.(1)$\because BP=3t(\mathrm{cm}),BC=(8\mathrm{cm}),\therefore CP=(8-3t)\mathrm{cm}$
(2)$a$的值为3或$\dfrac{15}{4}$
(2)$a$的值为3或$\dfrac{15}{4}$
解析
【分析】
(1) 先根据“路程=速度×时间”求出线段BP的长度，再用BC的总长度减去BP的长度，即可得到CP的长度表达式；
(2) 先求出BD的长度，已知∠B和∠C是对应角，因此两个三角形全等时对应边有两种组合情况：①BD与CP为对应边，BP与CQ为对应边；②BD与CQ为对应边，BP与CP为对应边。分别根据全等三角形对应边相等列方程求解t，再代入求出a的值即可，注意验证解是否符合运动的实际范围。
【解析】
(1) 已知点P的运动速度为3cm/s，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$BP=3t\ \mathrm{cm}$，
又$\because BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CP=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$（$0≤ t≤ \frac{8}{3}$）。
(2) $\because D$是AB的中点，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
由题意∠B和∠C是对应角，△BDP和△CPQ全等分两种情况：
情况一：当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，对应边相等：$BD=CP$，$BP=CQ$，
即$\begin{cases}5=8-3t \\ 3t=at \end{cases}$，
解得$t=1$，代入得$a=3$，符合题意。
情况二：当$△ BDP ≌ △ CQP$时，对应边相等：$BD=CQ$，$BP=CP$，
即$\begin{cases}5=at \\ 3t=8-3t \end{cases}$，
解得$t=\frac{4}{3}$，代入得$a=\frac{15}{4}$，符合题意。
综上，$a$的值为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】
(1) $CP=(8-3t)\mathrm{cm}$
(2) $a$的值为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{\dfrac{15}{4}}$
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题属于动点背景下的全等三角形常考题，解题核心是明确对应角固定时，全等的对应边存在两种组合，需分类讨论，同时要注意所求时间需符合运动的实际取值范围，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据“路程=速度×时间”求出线段BP的长度，再用BC的总长度减去BP的长度，即可得到CP的长度表达式；
(2) 先求出BD的长度，已知∠B和∠C是对应角，因此两个三角形全等时对应边有两种组合情况：①BD与CP为对应边，BP与CQ为对应边；②BD与CQ为对应边，BP与CP为对应边。分别根据全等三角形对应边相等列方程求解t，再代入求出a的值即可，注意验证解是否符合运动的实际范围。
【解析】
(1) 已知点P的运动速度为3cm/s，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$BP=3t\ \mathrm{cm}$，
又$\because BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CP=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$（$0≤ t≤ \frac{8}{3}$）。
(2) $\because D$是AB的中点，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
由题意∠B和∠C是对应角，△BDP和△CPQ全等分两种情况：
情况一：当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，对应边相等：$BD=CP$，$BP=CQ$，
即$\begin{cases}5=8-3t \\ 3t=at \end{cases}$，
解得$t=1$，代入得$a=3$，符合题意。
情况二：当$△ BDP ≌ △ CQP$时，对应边相等：$BD=CQ$，$BP=CP$，
即$\begin{cases}5=at \\ 3t=8-3t \end{cases}$，
解得$t=\frac{4}{3}$，代入得$a=\frac{15}{4}$，符合题意。
综上，$a$的值为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】
(1) $CP=(8-3t)\mathrm{cm}$
(2) $a$的值为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{\dfrac{15}{4}}$
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题属于动点背景下的全等三角形常考题，解题核心是明确对应角固定时，全等的对应边存在两种组合，需分类讨论，同时要注意所求时间需符合运动的实际取值范围，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
