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1. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是 （
A.三个角的比是$1:2:3$
B.三条边满足关系$a^2=c^2-b^2$
C.三条边的比是$2:3:4$
D.三条边长为$1,2,\sqrt{3}$
C
）A.三个角的比是$1:2:3$
B.三条边满足关系$a^2=c^2-b^2$
C.三条边的比是$2:3:4$
D.三条边长为$1,2,\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，有两种常用思路：一是从角的角度出发，利用三角形内角和为180°，计算最大角是否等于90°；二是从边的角度出发，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对四个选项逐一用对应方法验证，就能找到不符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设三个角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，能判断是直角三角形，不符合题意。
B选项：对$a^2=c^2-b^2$移项可得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
C选项：设三条边的长度分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），最长边为$4k$，计算得$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，显然$13k^2≠16k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判断是直角三角形，符合题意。
D选项：三条边中最长边为2，计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握角度判定和边长判定两种方法，应用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的顺序搞错导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断一个三角形是否为直角三角形，有两种常用思路：一是从角的角度出发，利用三角形内角和为180°，计算最大角是否等于90°；二是从边的角度出发，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对四个选项逐一用对应方法验证，就能找到不符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设三个角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，能判断是直角三角形，不符合题意。
B选项：对$a^2=c^2-b^2$移项可得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
C选项：设三条边的长度分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），最长边为$4k$，计算得$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，显然$13k^2≠16k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判断是直角三角形，符合题意。
D选项：三条边中最长边为2，计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握角度判定和边长判定两种方法，应用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的顺序搞错导致判断失误。
【难度系数】
0.8
2.已知$△ ABC$的三条边长分别是6cm,8cm,10cm,则$△ ABC$的面积是 （
A.$24\mathrm{cm}^2$
B.$30\mathrm{cm}^2$
C.$40\mathrm{cm}^2$
D.$48\mathrm{cm}^2$
A
）A.$24\mathrm{cm}^2$
B.$30\mathrm{cm}^2$
C.$40\mathrm{cm}^2$
D.$48\mathrm{cm}^2$
答案
2.A
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算较短两条边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等，则该三角形为直角三角形，较短两边即为直角边，再利用直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，
计算较短两边的平方和：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
最长边的平方：$10^2 = 100$，
∴$6^2 + 8^2 = 10^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且直角边为6cm和8cm，斜边为10cm，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×6×8 = 24\mathrm{cm}^2$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再结合面积公式计算，需要熟练掌握勾股定理逆定理的内容。
【难度系数】
0.9
已知三角形三边长度求面积，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算较短两条边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等，则该三角形为直角三角形，较短两边即为直角边，再利用直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，
计算较短两边的平方和：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
最长边的平方：$10^2 = 100$，
∴$6^2 + 8^2 = 10^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且直角边为6cm和8cm，斜边为10cm，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×6×8 = 24\mathrm{cm}^2$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再结合面积公式计算，需要熟练掌握勾股定理逆定理的内容。
【难度系数】
0.9
3. 如图为一块农家菜地的平面图，其中$AD=4\mathrm{m}$，$CD=3\mathrm{m}$，$AB=13\mathrm{m}$，$BC=12\mathrm{m}$，$∠ ADC=90°$，则这块菜地的面积为
24
$\mathrm{m}^2$。答案
3.24
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知△ADC是直角三角形，且两条直角边长度已知，我们可以先连接辅助线AC，用勾股定理求出AC的长度；其次，将求出的AC长度与已知的BC、AB长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；最后，菜地是不规则图形，它的面积等于直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接AC，步骤如下：
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4\mathrm{m}$，$CD=3\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，所以$AC=5\mathrm{m}$（边长为正数）。
2. 验证$△ ABC$的形状：已知$AC=5\mathrm{m}$，$BC=12\mathrm{m}$，$AB=13\mathrm{m}$，计算得：
$AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ ACB=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
3. 计算菜地面积：
$S_{\mathrm{菜地}}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30(\mathrm{m^2})$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6(\mathrm{m^2})$
所以$S_{\mathrm{菜地}}=30-6=24(\mathrm{m^2})$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，同时考查了勾股定理及其逆定理的综合应用，需要熟练掌握定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，已知△ADC是直角三角形，且两条直角边长度已知，我们可以先连接辅助线AC，用勾股定理求出AC的长度；其次，将求出的AC长度与已知的BC、AB长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；最后，菜地是不规则图形，它的面积等于直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接AC，步骤如下：
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4\mathrm{m}$，$CD=3\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，所以$AC=5\mathrm{m}$（边长为正数）。
2. 验证$△ ABC$的形状：已知$AC=5\mathrm{m}$，$BC=12\mathrm{m}$，$AB=13\mathrm{m}$，计算得：
$AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ ACB=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
3. 计算菜地面积：
$S_{\mathrm{菜地}}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30(\mathrm{m^2})$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6(\mathrm{m^2})$
所以$S_{\mathrm{菜地}}=30-6=24(\mathrm{m^2})$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，同时考查了勾股定理及其逆定理的综合应用，需要熟练掌握定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，相应的三角形是不是直角三角形？如果是，指出哪个角是直角；若不是，请说明理由.
(1)$a=7$，$b=24$，$c=25$.
(2)$a=\dfrac{2}{3}$，$b=1$，$c=\dfrac{5}{4}$.
(1)$a=7$，$b=24$，$c=25$.
(2)$a=\dfrac{2}{3}$，$b=1$，$c=\dfrac{5}{4}$.
答案
4.(1)是，∠C为直角 (2)不是，理由略
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，需使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题步骤为：①先找出三个边长中的最长边；②分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③对比两个结果是否相等，相等即为直角三角形，否则不是。
【解析】
(1) 首先确定最长边为$c=25$：
计算两条较短边的平方和：$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
计算最长边的平方：$c^2 = 25^2 = 625$
可得$a^2 + b^2 = c^2$，因此$△ ABC$是直角三角形，最长边$c$所对的角$∠ C$为直角。
(2) 首先确定最长边为$c=\dfrac{5}{4}$：
计算两条较短边的平方和：$a^2 + b^2 = (\dfrac{2}{3})^2 + 1^2 = \dfrac{4}{9} + 1 = \dfrac{13}{9}$
计算最长边的平方：$c^2 = (\dfrac{5}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
因为$\dfrac{13}{9} ≠ \dfrac{25}{16}$，即两条较短边的平方和不等于最长边的平方，因此$△ ABC$不是直角三角形。
【答案】
(1)是，∠C为直角 (2)不是，理由略
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题重点考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是先明确最长边，再验证边长的平方关系，是对勾股定理相关基础应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，需使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题步骤为：①先找出三个边长中的最长边；②分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③对比两个结果是否相等，相等即为直角三角形，否则不是。
【解析】
(1) 首先确定最长边为$c=25$：
计算两条较短边的平方和：$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
计算最长边的平方：$c^2 = 25^2 = 625$
可得$a^2 + b^2 = c^2$，因此$△ ABC$是直角三角形，最长边$c$所对的角$∠ C$为直角。
(2) 首先确定最长边为$c=\dfrac{5}{4}$：
计算两条较短边的平方和：$a^2 + b^2 = (\dfrac{2}{3})^2 + 1^2 = \dfrac{4}{9} + 1 = \dfrac{13}{9}$
计算最长边的平方：$c^2 = (\dfrac{5}{4})^2 = \dfrac{25}{16}$
因为$\dfrac{13}{9} ≠ \dfrac{25}{16}$，即两条较短边的平方和不等于最长边的平方，因此$△ ABC$不是直角三角形。
【答案】
(1)是，∠C为直角 (2)不是，理由略
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题重点考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是先明确最长边，再验证边长的平方关系，是对勾股定理相关基础应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
5. 三边长$a,b,c$满足关系$(a-b)(a^2 + b^2 - c^2)=0$的$△ ABC$是什么三角形？
小明说$△ ABC$是等腰三角形；小刚说$△ ABC$是直角三角形；小亮说$△ ABC$是等腰直角三角形；小慧说$△ ABC$或是等腰三角形或是直角三角形。
亲爱的同学，你认为谁的说法正确，若都不正确，则正确的应该怎样说呢？
小明说$△ ABC$是等腰三角形；小刚说$△ ABC$是直角三角形；小亮说$△ ABC$是等腰直角三角形；小慧说$△ ABC$或是等腰三角形或是直角三角形。
亲爱的同学，你认为谁的说法正确，若都不正确，则正确的应该怎样说呢？
答案
5.小慧的说法正确
解析
【分析】
解题时首先从已知的等式$(a-b)(a^2 + b^2 - c^2)=0$入手，根据乘法的基本性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，分两种情况讨论：第一种是前一个因式为0，第二种是后一个因式为0，再分别结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，注意两种情况是“或”的关系，不需要同时满足。
【解析】
解：$\because (a-b)(a^2 + b^2 - c^2)=0$
$\therefore$ 根据两数相乘为0的性质可得：$a-b=0$ 或 $a^2 + b^2 - c^2=0$
①当$a-b=0$时，得$a=b$，此时$△ ABC$为等腰三角形；
②当$a^2 + b^2 - c^2=0$时，得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，此时$△ ABC$为直角三角形。
注：两个条件可同时满足，此时$△ ABC$为等腰直角三角形，也属于“等腰三角形或直角三角形”的范畴。
综上，$△ ABC$是等腰三角形或是直角三角形，因此小慧的说法正确。
【答案】
小慧的说法正确
【知识点】
乘积为0的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是容易误解为两个因式必须同时为0，错误判断为等腰直角三角形，或只考虑其中一种因式为0的情况，漏判另一种三角形形状，解题时要注意“或”和“且”的逻辑区别。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等式$(a-b)(a^2 + b^2 - c^2)=0$入手，根据乘法的基本性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，分两种情况讨论：第一种是前一个因式为0，第二种是后一个因式为0，再分别结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，注意两种情况是“或”的关系，不需要同时满足。
【解析】
解：$\because (a-b)(a^2 + b^2 - c^2)=0$
$\therefore$ 根据两数相乘为0的性质可得：$a-b=0$ 或 $a^2 + b^2 - c^2=0$
①当$a-b=0$时，得$a=b$，此时$△ ABC$为等腰三角形；
②当$a^2 + b^2 - c^2=0$时，得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，此时$△ ABC$为直角三角形。
注：两个条件可同时满足，此时$△ ABC$为等腰直角三角形，也属于“等腰三角形或直角三角形”的范畴。
综上，$△ ABC$是等腰三角形或是直角三角形，因此小慧的说法正确。
【答案】
小慧的说法正确
【知识点】
乘积为0的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是容易误解为两个因式必须同时为0，错误判断为等腰直角三角形，或只考虑其中一种因式为0的情况，漏判另一种三角形形状，解题时要注意“或”和“且”的逻辑区别。
【难度系数】
0.7
6.已知M,N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，BC，则△ABC一定是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
6.B
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，首先需要求出其三边的长度：第一步先根据线段AB上已知的各段长度，计算出AN、BM和AB的总长；第二步根据同圆半径相等的性质，得到AC=AN、BC=BM，从而确定△ABC三边的长度；第三步利用勾股定理的逆定理，验证三边的平方关系，即可判断三角形的类型。
【解析】
首先计算各线段长度：
∵ AM=MN=2，NB=1
∴ AN = AM + MN = 2 + 2 = 4，BM = MN + NB = 2 + 1 = 3
AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5
由题意可知，AC是以A为圆心、AN为半径的圆的半径，BC是以B为圆心、BM为半径的圆的半径：
∴ AC = AN = 4，BC = BM = 3
验证三边平方关系：
∵ AC² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，AB² = 5² = 25
∴ AC² + BC² = AB²
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
线段和差计算、圆的半径性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过线段运算和圆的性质得到三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算量小，思路清晰，主要考查学生对基础几何知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，首先需要求出其三边的长度：第一步先根据线段AB上已知的各段长度，计算出AN、BM和AB的总长；第二步根据同圆半径相等的性质，得到AC=AN、BC=BM，从而确定△ABC三边的长度；第三步利用勾股定理的逆定理，验证三边的平方关系，即可判断三角形的类型。
【解析】
首先计算各线段长度：
∵ AM=MN=2，NB=1
∴ AN = AM + MN = 2 + 2 = 4，BM = MN + NB = 2 + 1 = 3
AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5
由题意可知，AC是以A为圆心、AN为半径的圆的半径，BC是以B为圆心、BM为半径的圆的半径：
∴ AC = AN = 4，BC = BM = 3
验证三边平方关系：
∵ AC² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，AB² = 5² = 25
∴ AC² + BC² = AB²
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
线段和差计算、圆的半径性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过线段运算和圆的性质得到三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算量小，思路清晰，主要考查学生对基础几何知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
