★7.若$a,b,c$是直角三角形的三条边长，斜边$c$上的高线长是$h$，给出下列结论：
①长度分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成一个三角形；
②长度分别为$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$的三条线段能组成一个三角形；
③长度分别为$a+b,c+h,h$的三条线段能组成直角三角形；
④长度分别为$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$的三条线段能组成直角三角形。
其中正确结论的序号为。

7.②③

【分析】
首先明确直角三角形的核心性质：斜边最长，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，同时由面积公式可得$ab=ch$（$h$为斜边上的高）。判断三条线段能否组成三角形，依据是“任意两边之和大于第三边”，优先验证两条较短线段之和是否大于最长线段；判断能否组成直角三角形，依据是勾股定理的逆定理，验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方。我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：已知$a^2+b^2=c^2$，不满足两边之和大于第三边，直接排除；
2. 结论②：最长线段是$\sqrt{c}$，只需验证$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$即可，通过平方变形结合原三角形三边关系$a+b＞c$推导；
3. 结论③：最长线段是$c+h$，只需验证$(a+b)^2+h^2$是否等于$(c+h)^2$，代入勾股定理和$ab=ch$化简验证；
4. 结论④：通过举反例或代数推导验证是否满足勾股逆定理。
【解析】
已知直角三角形中$c$为斜边，因此：
$a^2+b^2=c^2$，$a+b＞c$，由面积相等得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$。
逐个判断结论：
① 因为$a^2+b^2=c^2$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此长度为$a^2,b^2,c^2$的线段不能组成三角形，①错误；
② 因为$c$是斜边，$\sqrt{c}$是$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$中的最长线段，将$\sqrt{a}+\sqrt{b}$和$\sqrt{c}$分别平方：
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，$(\sqrt{c})^2=c$，
由原三角形三边关系得$a+b＞c$，因此$a+b+2\sqrt{ab}＞c$，即$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2＞(\sqrt{c})^2$，
因为$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$都是正数，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$，满足三角形三边关系，②正确；
③ $c+h$是三条线段$a+b,c+h,h$中的最长线段，计算平方：
$(a+b)^2+h^2=a^2+2ab+b^2+h^2$，
代入$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$，得：
$a^2+2ab+b^2+h^2=c^2+2ch+h^2=(c+h)^2$，
满足勾股定理逆定理，因此三条线段能组成直角三角形，③正确；
④ 举反例验证：取$a=3,b=4,c=5$，则$\frac{1}{a}=\frac{1}{3},\frac{1}{b}=\frac{1}{4},\frac{1}{c}=\frac{1}{5}$，
$(\frac{1}{5})^2+(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{25}+\frac{1}{16}=\frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，$\frac{41}{400}=0.1025≠\frac{1}{9}$，不满足勾股逆定理，④错误。
综上，正确结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查勾股定理、三角形三边关系的应用，解题时可以结合代数变形和举反例的方法快速判断，注意优先验证最长边相关的不等式，可简化计算过程。
【难度系数】
0.65

8. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且$PA=6$，$PB=8$，$PC=10$，若将$△ PAC$绕点A逆时针旋转后得到$△ P'AB$。
(1)求点P与点$P'$之间的距离。
(2)求$∠ APB$的大小。

8.(1)由旋转的性质知$AP'=AP=6,∠P'AB=∠PAC$，
$\therefore ∠P'AP=∠BAC=60^{\circ },\therefore △P'AP$是等边三角形，$\therefore PP'=6$
(2)$\because P'B=PC=10,PB=8,\therefore P'B^{2}=P'P^{2}+PB^{2}$，
$\therefore △P'PB$为直角三角形，且$∠P'PB=90^{\circ }$，
$\therefore ∠APB=∠P'PB+∠P'PA=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$

【分析】
(1) 求P与P'的距离时，先结合旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，再结合正三角形的内角为60°，推导得出△P'AP是等边三角形，即可直接得到PP'的长度。
(2) 求∠APB的度数时，先由旋转性质得到P'B=PC，再结合PP'、PB的长度，用勾股定理的逆定理判定△P'PB是直角三角形，最后将直角与等边三角形的内角相加即可得到∠APB的度数。
【解析】
(1) 由旋转的性质可得：$AP'=AP=6$，$∠ P'AB=∠ PAC$。
∵$△ ABC$是正三角形，
∴$∠ BAC=60°$，即$∠ PAC+∠ PAB=60°$，
∴$∠ P'AB+∠ PAB=∠ P'AP=60°$，
∴$△ P'AP$是等边三角形，
∴$PP'=AP=6$。
(2) 由旋转的性质可得：$P'B=PC=10$，
已知$PB=8$，$PP'=6$，则$P'P^2 + PB^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，$P'B^2 = 10^2 = 100$，
∴$P'B^2 = P'P^2 + PB^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ P'PB$为直角三角形，且$∠ P'PB=90°$，
又
∵等边$△ P'AP$中$∠ P'PA=60°$，
∴$∠ APB = ∠ P'PB + ∠ P'PA = 90° + 60° = 150°$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，核心是通过旋转将分散的三条线段转化到相关联的三角形中，结合特殊三角形的判定与性质求解，较好地考察了几何变换中线段和角度的转化思维。
【难度系数】
0.7

9.在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，设$c$为最长边，当$a^2+b^2=c^2$时，$△ ABC$是直角三角形；当$a^2+b^2≠c^2$时，利用代数式$a^2+b^2$和$c^2$的大小关系，探究$△ ABC$的形状(按角分类).
(1)当$△ ABC$的三边长分别为$6,8,9$时，$△ ABC$为三角形；当$△ ABC$的三边长分别为$6,8,11$时，$△ ABC$为三角形.
(2)猜想，当$a^2+b^2$$c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2$$c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形.
(3)判断当$a=2,b=3$时，$△ ABC$的形状，并求出对应的$c$的取值范围.

9.(1)当两直角边分别为6,8时,斜边=10，
$\therefore$当$△ABC$三边分别为6,8,9时,$△ACB$为锐角三角形；
当$△ABC$三边分别为6,8,11时,$△ABC$为钝角三角形
(2)当$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$时,$△ABC$为锐角三角形；当$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$时,$△ABC$为钝角三角形
(3)$\because c$为最长边,$a=2,b=3,2+3=5,\therefore 3≤ c＜5,a^{2}+b^{2}=2^{2}+3^{2}=13.$
①当$a^{2}+b^{2}=c^{2}$时,$c^{2}=13,c=\sqrt {13}$,$\therefore$当$c=\sqrt {13}$时,这个三角形是直角三角形
②当$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$时,$c^{2}＜13,\therefore 0＜c＜\sqrt {13},$
$\therefore$当$3≤ c＜\sqrt {13}$时,这个三角形是锐角三角形
③当$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$时,$c^{2}＞13,c＞\sqrt {13},$
$\therefore$当$\sqrt {13}＜c＜5$时,这个三角形是钝角三角形

【分析】
本题围绕勾股定理逆定理拓展探究三角形按角分类的判定方法，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先求出边长为6、8的直角三角形的斜边长为10，再将给出的第三边与10比较：若第三边小于10，则最大边的平方小于两短边平方和，最大角为锐角，三角形是锐角三角形；若第三边大于10，则最大边的平方大于两短边平方和，最大角为钝角，三角形是钝角三角形。2. 第(2)问可直接由第(1)问的结论猜想得到$a^2+b^2$和$c^2$的大小关系与三角形形状的对应规律。3. 第(3)问首先要抓住“c为最长边”的前提，先根据三角形三边关系确定c的初步取值范围：$c≥ 3$（最长边不小于另外两边的较大值）且$c＜2+3=5$（两边之和大于第三边），再分$a^2+b^2=c^2$、$a^2+b^2＞c^2$、$a^2+b^2＜c^2$三种情况讨论，结合初步范围得到不同形状下c的对应取值范围。
【解析】
(1) 当直角三角形两直角边长为6、8时，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$。
当三边长为6、8、9时，$6^2+8^2=100＞9^2=81$，最大角为锐角，故△ABC为锐角三角形；
当三边长为6、8、11时，$6^2+8^2=100＜11^2=121$，最大角为钝角，故△ABC为钝角三角形。
(2) 结合(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，△ABC为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，△ABC为钝角三角形。
(3) 已知c为最长边，$a=2$，$b=3$，因此首先确定c的取值范围：
$c≥ 3$（最长边不小于另外两边的最大值3），且根据三角形三边关系$c＜a+b=2+3=5$，即$3≤ c＜5$。
计算得$a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$，分三种情况讨论：
① 当$a^2+b^2=c^2$时，$c^2=13$，即$c=\sqrt{13}$（c为边长，取正值），此时△ABC是直角三角形；
② 当$a^2+b^2＞c^2$时，$c^2＜13$，即$c＜\sqrt{13}$，结合$3≤ c＜5$，得$3≤ c＜\sqrt{13}$，此时△ABC是锐角三角形；
③ 当$a^2+b^2＜c^2$时，$c^2＞13$，即$c＞\sqrt{13}$，结合$3≤ c＜5$，得$\sqrt{13}＜c＜5$，此时△ABC是钝角三角形。
【答案】
(1) 锐角；钝角
(2) ＞；＜
(3) 当$c=\sqrt{13}$时，△ABC是直角三角形；当$3≤ c＜\sqrt{13}$时，△ABC是锐角三角形；当$\sqrt{13}＜c＜5$时，△ABC是钝角三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形三边关系；三角形按角分类
【点评】
本题是勾股定理逆定理的拓展应用，核心是明确最长边对应三角形的最大角，只需通过$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系判断最大角的类型即可确定三角形形状，解题时要注意“c为最长边”的前提，结合三角形三边关系确定取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6