任务1 确定位置：如图1，要在一条笔直的路边$l$上建一个气化站，向$l$同侧的$A$，$B$两个城镇分别铺设管道输送天然气.试确定气化站的位置，使铺设管道的路线最短.

任务2 理论依据：如图2，作出点$A$关于$l$的对称点$A'$，线段$A'B$与直线$l$的交点$C$的位置即为所求，即在点$C$处建气化站，所得路线$ACB$是最短的.
为了证明点$C$的位置即为所求，不妨在直线$l$上另外任取一点$C'$，连结$AC'$，$BC'$，证明$AC+CB＜AC'+C'B$.请完成这个证明.

连结$A'C'$,
∵点A和点A'关于l对称,点C在l上,
∴CA=CA',
∴AC+BC=A'C+BC=A'B,
同理可得AC'+C'B=A'C'+BC',
∵A'B＜A'C'+C'B,
∴AC+BC＜AC'+C'B

【分析】
要证明$AC+CB＜AC'+C'B$，可利用轴对称性质对线段做等量转化：首先点A和$A'$关于直线$l$对称，直线$l$上任意一点到A、$A'$的距离相等，因此可以把$AC$转化为$A'C$、$AC'$转化为$A'C'$，此时待证不等式可转化为证明$A'B＜A'C'+C'B$，再结合两点之间线段最短的基本事实即可完成证明。
【解析】
证明：连结$A'C'$,
∵点A和点$A'$关于直线$l$对称，点C在直线$l$上,
∴$CA=CA'$,
∴$AC+BC=A'C+BC=A'B$,
同理可得$AC'=A'C'$，因此$AC'+C'B=A'C'+BC'$,
根据两点之间线段最短可得：$A'B＜A'C'+C'B$,
代入等量关系即可得$AC+BC＜AC'+C'B$，因此点C即为所求的气化站位置。
【答案】
连结$A'C'$,
∵点A和点A'关于l对称,点C在l上,
∴CA=CA',
∴AC+BC=A'C+BC=A'B,
同理可得AC'+C'B=A'C'+BC',
∵A'B＜A'C'+C'B,
∴AC+BC＜AC'+C'B

【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径问题
【点评】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径模型题，通过轴对称将同侧两点的路径和问题转化为两点之间线段最短的问题，既考查了几何基本性质的应用，也渗透了转化的数学思想，是几何应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7