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任务3 拟订方案：如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保护区，管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域，位置如图3所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图4所示.
①生态保护区是正方形区域，位置如图3所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图4所示.
答案
①在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB(其中点D是正方形的顶点).
②在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是$ACD+\overset{\frown}{DE}+EB$(其中AD,BE都与圆相切)
解析
【分析】
本题是带障碍物限制的最短路径设计问题，解题可按以下思路展开：首先回忆无障碍物时，在直线l上选点C使AC+BC最短的解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与l交于点C，原理是轴对称性质和两点之间线段最短。现有不能穿过的生态保护区，需在基础最短路径的基础上调整路径绕开保护区，同时保证路径总长度最短：
①针对正方形保护区：原无障碍物的最短路径会穿过正方形，因此选择正方形靠近B侧的顶点作为绕经点，让路径经过该顶点即可绕开保护区，同时保障路径最短；
②针对圆形保护区：原无障碍物的最短路径会穿过圆形，根据点到圆的最短连线为切线的特点，分别作对应点到圆的切线，路径沿切线到圆上后，沿劣弧绕行至连接B点的切线端点，即可绕开圆形保护区且路径最短。
【解析】
①正方形生态保护区情形：
第一步：作点A关于直线l的对称点$A'$；
第二步：连接$A'D$（D为正方形生态保护区靠近B点的右上顶点），$A'D$与直线l的交点即为燃气站的位置C；
第三步：铺设管道的路径为$A\to C\to D\to B$，该路径不穿过正方形保护区，且总长度最短。
②圆形生态保护区情形：
第一步：作点A关于直线l的对称点$A'$；
第二步：在直线l上确定点C，过C作圆形保护区的切线CD，过B作圆形保护区的切线BE，D、E为切点；
第三步：铺设管道的路径为$A\to C\to D$，再沿劣弧$\overset{\frown}{DE}$到E，最后$E\to B$，该路径不穿过圆形保护区，且总长度最短。
【答案】
①在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB(其中点D是正方形的顶点).
②在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是$ACD+\overset{\frown}{DE}+EB$(其中AD,BE都与圆相切)
【知识点】
轴对称性质；最短路径设计；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径的规划，在常规轴对称最短路径模型的基础上增加了障碍物限制，既考查了学生对基础几何原理的掌握情况，也锻炼了学生将理论知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是带障碍物限制的最短路径设计问题，解题可按以下思路展开：首先回忆无障碍物时，在直线l上选点C使AC+BC最短的解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与l交于点C，原理是轴对称性质和两点之间线段最短。现有不能穿过的生态保护区，需在基础最短路径的基础上调整路径绕开保护区，同时保证路径总长度最短：
①针对正方形保护区：原无障碍物的最短路径会穿过正方形，因此选择正方形靠近B侧的顶点作为绕经点，让路径经过该顶点即可绕开保护区，同时保障路径最短；
②针对圆形保护区：原无障碍物的最短路径会穿过圆形，根据点到圆的最短连线为切线的特点，分别作对应点到圆的切线，路径沿切线到圆上后，沿劣弧绕行至连接B点的切线端点，即可绕开圆形保护区且路径最短。
【解析】
①正方形生态保护区情形：
第一步：作点A关于直线l的对称点$A'$；
第二步：连接$A'D$（D为正方形生态保护区靠近B点的右上顶点），$A'D$与直线l的交点即为燃气站的位置C；
第三步：铺设管道的路径为$A\to C\to D\to B$，该路径不穿过正方形保护区，且总长度最短。
②圆形生态保护区情形：
第一步：作点A关于直线l的对称点$A'$；
第二步：在直线l上确定点C，过C作圆形保护区的切线CD，过B作圆形保护区的切线BE，D、E为切点；
第三步：铺设管道的路径为$A\to C\to D$，再沿劣弧$\overset{\frown}{DE}$到E，最后$E\to B$，该路径不穿过圆形保护区，且总长度最短。
【答案】
①在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB(其中点D是正方形的顶点).
②在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是$ACD+\overset{\frown}{DE}+EB$(其中AD,BE都与圆相切)
【知识点】
轴对称性质；最短路径设计；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径的规划，在常规轴对称最短路径模型的基础上增加了障碍物限制，既考查了学生对基础几何原理的掌握情况，也锻炼了学生将理论知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
