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三、解答题
1. 已知二次函数$y=x^2-2x-3$的图象如图4所示，观察图象确定：
(1)当x取什么值时，函数值等于0？
(2)当x取什么值时，函数值大于0？
(3)当x取什么值时，函数值小于0？
1. 已知二次函数$y=x^2-2x-3$的图象如图4所示，观察图象确定：
(1)当x取什么值时，函数值等于0？
(2)当x取什么值时，函数值大于0？
(3)当x取什么值时，函数值小于0？
答案
1. (1) x=-1或x=3
(2) x＜-1或x＞3
(3) -1＜x＜3
(2) x＜-1或x＞3
(3) -1＜x＜3
解析
【分析】
解决本题需运用数形结合思想：首先，二次函数图象与x轴交点的横坐标就是函数值为0时x的取值，对应一元二次方程的根；其次，函数值大于0对应图象在x轴上方的部分的横坐标范围，函数值小于0对应图象在x轴下方的部分的横坐标范围。解题时可先通过解方程或直接观察图象得到抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口向上的特点，判断不同函数值对应的x的取值范围。
【解析】
(1) 函数值等于0即y=0，代入解析式得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x=-1$或$x=3$，也可观察图象得抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$x=-1$或$x=3$时，函数值等于0。
(2) 函数值大于0即y＞0，对应抛物线在x轴上方的部分，由于抛物线开口向上，结合交点横坐标可得：当$x＜-1$或$x＞3$时，函数值大于0。
(3) 函数值小于0即y＜0，对应抛物线在x轴下方的部分，结合交点横坐标可得：当$-1＜x＜3$时，函数值小于0。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=3$
(2) $x＜-1$或$x＞3$
(3) $-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查数形结合思想的应用，解题关键是明确函数值的符号和图象相对x轴的位置关系的对应规律，掌握这类方法可以快速求解二次函数相关的不等式问题。
【难度系数】
0.8
解决本题需运用数形结合思想：首先，二次函数图象与x轴交点的横坐标就是函数值为0时x的取值，对应一元二次方程的根；其次，函数值大于0对应图象在x轴上方的部分的横坐标范围，函数值小于0对应图象在x轴下方的部分的横坐标范围。解题时可先通过解方程或直接观察图象得到抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口向上的特点，判断不同函数值对应的x的取值范围。
【解析】
(1) 函数值等于0即y=0，代入解析式得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x=-1$或$x=3$，也可观察图象得抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$x=-1$或$x=3$时，函数值等于0。
(2) 函数值大于0即y＞0，对应抛物线在x轴上方的部分，由于抛物线开口向上，结合交点横坐标可得：当$x＜-1$或$x＞3$时，函数值大于0。
(3) 函数值小于0即y＜0，对应抛物线在x轴下方的部分，结合交点横坐标可得：当$-1＜x＜3$时，函数值小于0。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=3$
(2) $x＜-1$或$x＞3$
(3) $-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查数形结合思想的应用，解题关键是明确函数值的符号和图象相对x轴的位置关系的对应规律，掌握这类方法可以快速求解二次函数相关的不等式问题。
【难度系数】
0.8
2. 某抛物线如图5所示，求：
(1)抛物线的解析式；
(2)抛物线与x轴的交点坐标。
图5
(1)抛物线的解析式；
(2)抛物线与x轴的交点坐标。
图5答案
(1) $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
(2) $(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$
(2) $(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$
解析
【分析】
(1) 观察图像可知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，选择顶点式求解解析式更简便：先设二次函数的顶点式，再代入图像上已知的与y轴交点$(0,1)$，求出参数$a$即可得到解析式。
(2) 抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，得到的$x$值即为交点横坐标，即可写出交点坐标。
【解析】
(1) 由图可知抛物线的顶点为$(2,3)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+3\ (a≠0)$。
已知抛物线过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$\quad1=a(0-2)^2+3$
即$1=4a+3$，解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$。
(2) 求抛物线与x轴的交点坐标，令$y=0$，则：
$\quad-\frac{1}{2}(x-2)^2+3=0$
移项得：$(x-2)^2=6$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$
因此抛物线与x轴的交点坐标为$(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
(2) $(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数解析式形式的选择和二次函数与一元二次方程关系的应用，根据图像特征选择顶点式求解可大幅降低计算量，掌握基础运算即可正确解答。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，选择顶点式求解解析式更简便：先设二次函数的顶点式，再代入图像上已知的与y轴交点$(0,1)$，求出参数$a$即可得到解析式。
(2) 抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，得到的$x$值即为交点横坐标，即可写出交点坐标。
【解析】
(1) 由图可知抛物线的顶点为$(2,3)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+3\ (a≠0)$。
已知抛物线过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$\quad1=a(0-2)^2+3$
即$1=4a+3$，解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$。
(2) 求抛物线与x轴的交点坐标，令$y=0$，则：
$\quad-\frac{1}{2}(x-2)^2+3=0$
移项得：$(x-2)^2=6$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$
因此抛物线与x轴的交点坐标为$(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
(2) $(2-\sqrt{6},0)$和$(2+\sqrt{6},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数解析式形式的选择和二次函数与一元二次方程关系的应用，根据图像特征选择顶点式求解可大幅降低计算量，掌握基础运算即可正确解答。
【难度系数】
0.7
3. 如图6，抛物线$y=-x^2+mx$与直线$y=x+b$交于点A和点B，直线AB与y轴交于点$C(0,-2)$，与x轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式$-x^2+mx＞x+b$的解集.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式$-x^2+mx＞x+b$的解集.
答案
3. (1) $y=-x^2+2x$
(2) 求得点A的坐标为$(-1,-3)$. 观察图象,得不等式$-x^2+mx＞x+b$的解集为$-1＜x＜2$.
(2) 求得点A的坐标为$(-1,-3)$. 观察图象,得不等式$-x^2+mx＞x+b$的解集为$-1＜x＜2$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式仅需求出参数m，需先得到抛物线上已知点的坐标：首先利用直线过点C(0,-2)求出直线解析式，再求直线与x轴交点B的坐标，将B点坐标代入抛物线表达式即可求出m，得到抛物线解析式。
(2) 求点A坐标只需联立抛物线与直线的解析式求解方程组，排除B点的解即为A点坐标；不等式$-x^2+mx＞x+b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值，结合两个交点的横坐标观察图象即可得到解集。
【解析】
(1)
∵直线$y=x+b$经过点$C(0,-2)$，
将$x=0,y=-2$代入直线解析式，得：$-2=0+b$，解得$b=-2$，
∴直线AB的解析式为$y=x-2$。
令$y=x-2$中$y=0$，得$0=x-2$，解得$x=2$，即点B坐标为$(2,0)$。
∵点$B(2,0)$在抛物线$y=-x^2+mx$上，
将$x=2,y=0$代入抛物线解析式，得：$0=-2^2+2m$，
解得$m=2$，故抛物线的解析式为$y=-x^2+2x$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得：
$\begin{cases} y=-x^2+2x \\ y=x-2 \end{cases}$
将$y=x-2$代入抛物线方程，整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2,x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=x-2$，得$y=-3$，故点A的坐标为$(-1,-3)$。
不等式$-x^2+mx＞x+b$对应抛物线图象在直线图象上方的部分，结合两交点横坐标为$-1$和$2$，观察图象可得解集为$-1＜x＜2$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x$
(2) 点A的坐标为$(-1,-3)$，不等式的解集为$-1＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，函数与不等式转化
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是利用点在函数图象上的性质求解参数，结合数形结合思想可以快速得到不等式的解集，是函数类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式仅需求出参数m，需先得到抛物线上已知点的坐标：首先利用直线过点C(0,-2)求出直线解析式，再求直线与x轴交点B的坐标，将B点坐标代入抛物线表达式即可求出m，得到抛物线解析式。
(2) 求点A坐标只需联立抛物线与直线的解析式求解方程组，排除B点的解即为A点坐标；不等式$-x^2+mx＞x+b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值，结合两个交点的横坐标观察图象即可得到解集。
【解析】
(1)
∵直线$y=x+b$经过点$C(0,-2)$，
将$x=0,y=-2$代入直线解析式，得：$-2=0+b$，解得$b=-2$，
∴直线AB的解析式为$y=x-2$。
令$y=x-2$中$y=0$，得$0=x-2$，解得$x=2$，即点B坐标为$(2,0)$。
∵点$B(2,0)$在抛物线$y=-x^2+mx$上，
将$x=2,y=0$代入抛物线解析式，得：$0=-2^2+2m$，
解得$m=2$，故抛物线的解析式为$y=-x^2+2x$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得：
$\begin{cases} y=-x^2+2x \\ y=x-2 \end{cases}$
将$y=x-2$代入抛物线方程，整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2,x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=x-2$，得$y=-3$，故点A的坐标为$(-1,-3)$。
不等式$-x^2+mx＞x+b$对应抛物线图象在直线图象上方的部分，结合两交点横坐标为$-1$和$2$，观察图象可得解集为$-1＜x＜2$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x$
(2) 点A的坐标为$(-1,-3)$，不等式的解集为$-1＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，函数与不等式转化
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是利用点在函数图象上的性质求解参数，结合数形结合思想可以快速得到不等式的解集，是函数类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
