4. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m - 1$（$m$为常数）.
(1)若点$(2,-1)$在该函数图象上,求$m$的值;
(2)*求证:该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点.

4. (1) 将$(2,-1)$代入$y=\frac{1}{2}x^2-mx+m-1$,得:$-1=\frac{1}{2}×2^2-2m+m-1$,解得$m=2$.
(2) $\Delta=(-m)^2-4×\frac{1}{2}×(m-1)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1$, $\because (m-1)^2≥0$, $\therefore (m-1)^2+1＞0$, $\therefore \Delta＞0$, $\therefore$ 该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点.

【分析】
(1) 已知点在二次函数图象上，那么点的横、纵坐标一定满足函数解析式，解题时只需将点$(2,-1)$的$x=2$、$y=-1$代入函数表达式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
(2) 二次函数图象与$x$轴的交点个数和对应一元二次方程的根的个数一致，要证明有两个不同公共点，只需证明判别式$\Delta＞0$。先根据函数表达式写出$\Delta$的算式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可完成证明。
【解析】
(1) 将点$(2,-1)$代入$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m - 1$，可得：
$-1=\frac{1}{2}×2^2 - 2m + m - 1$
化简计算：
$-1=2 - m - 1$
$-1=1 - m$
解得$m=2$。
(2) 证明：令二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m - 1$中$y=0$，得到对应一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - mx + m - 1=0$，
计算根的判别式：
$\Delta=(-m)^2 - 4×\frac{1}{2}×(m - 1)=m^2 - 2m + 2$
对判别式配方可得：
$\Delta=(m - 1)^2 + 1$
$\because$ 对任意实数$m$，都有$(m - 1)^2≥0$，
$\therefore (m - 1)^2 + 1＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点，证明成立。
【知识点】
二次函数点坐标特征；根的判别式；二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，第一问考查代入求值的基础运算，难度较低；第二问核心是利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况，配方判断判别式符号是解题的关键，整体侧重对基础概念和基础方法的考查。
【难度系数】
0.85

一、选择题
1. 抛物线$y=x^2 - 2$的顶点坐标为()

A.$(0,-2)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,2)$
D.$(2,0)$

1. A

【分析】
解题时可从两种思路入手：① 回忆二次函数一般式的顶点坐标公式，先确定解析式中a、b、c的取值，再代入公式计算即可得到顶点坐标；② 观察该解析式无一次项，属于$y=ax^2+k$的特殊形式，这类二次函数的对称轴为y轴（$x=0$），顶点横坐标为0，代入$x=0$即可算出顶点纵坐标，也可结合平移规律：$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，向下平移2个单位得到$y=x^2-2$，顶点也同步下移2个单位得到对应坐标。
【解析】
解法一（公式法）：
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
本题中抛物线解析式为$y=x^2-2$，对应$a=1$，$b=0$，$c=-2$。
代入得顶点横坐标：$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2×1}=0$；
顶点纵坐标：$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4×1×(-2)-0^2}{4×1}=-2$。
因此顶点坐标为$(0,-2)$。
解法二（特殊形式法）：
解析式$y=x^2-2$属于$y=ax^2+k$的形式，这类二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=-2$，直接可得顶点坐标为$(0,-2)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标、二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查二次函数顶点坐标的求解方法，难度较低，掌握顶点坐标公式或特殊形式二次函数的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 已知汽车刹车距离$s$(单位:m)与速度$v$(单位:km/h)之间的函数关系是$s=\frac{1}{100}v^2$,则一辆车速为100 km/h的汽车,刹车距离是()

A.1 m
B.10 m
C.100 m
D.200 m

2. C

【分析】
本题考查二次函数的实际求值问题，解题思路清晰：题目已明确给出刹车距离$s$与速度$v$的函数关系式，要求车速为100km/h时的刹车距离，只需将$v=100$代入给定的函数解析式，计算出对应的$s$值即可得到答案。
【解析】
已知刹车距离与速度的函数关系为$s=\frac{1}{100}v^2$，
当车速$v=100\ \mathrm{km/h}$时，将$v=100$代入解析式得：
$\begin{aligned}s&=\frac{1}{100}×100^2\\&=\frac{1}{100}×10000\\&=100\ \mathrm{m}\end{aligned}$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；求函数值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心考查代入求值的计算能力，只要准确代入数值、认真计算即可得分，属于基础送分类题型。
【难度系数】
0.9

3. 若两个数的和为8,则这两个数的积最大为()

A.13
B.14
C.15
D.16

3. D

【分析】
解题时我们可以先根据两个数的和为8的条件设未知数，将两数的积表示为关于其中一个数的函数，不难发现得到的是二次函数，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处可取得最大值，最后利用二次函数求最值的方法计算最大值即可。
【解析】
设其中一个数为$ x $，两数的积为$ y $，则另一个数为$ 8 - x $。
根据题意可列函数关系式：
$ y = x(8 - x) $
整理得：$ y = -x^2 + 8x $
这里二次项系数$ a = -1 ＜ 0 $，因此该函数有最大值。
用配方法变形：
$ y = -x^2 + 8x = -(x^2 - 8x) = -(x^2 - 8x + 16 - 16) = -(x - 4)^2 + 16 $
当$ x = 4 $时，$ y $取得最大值，最大值为16。
因此这两个数的积最大为16。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用题型，解题的核心是正确根据题意建立二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，该类题型是实际应用类问题的常考方向。
【难度系数】
0.8

4. 已知二次函数$(0 ≤ x ≤ 3)$的图象如图1所示. 关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()

A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3
D.有最小值-1,无最大值

4. C

【分析】
要判断二次函数在0≤x≤3范围内的最值，需结合图像观察该区间内函数的最高点和最低点：首先确定区间包含二次函数的顶点，顶点为区间内的最低点，对应y值为最小值；再比较区间两个端点的函数值，较大的即为区间内的最大值，据此判断选项即可。
【解析】
观察函数图像可知：
1. 在0≤x≤3的范围内，当x=1时，函数取得最小值，最小值为-1；
2. 区间端点x=0处的函数值为0，x=3处的函数值为3，比较得最大值为3。
因此该函数在给定范围内有最小值-1，有最大值3，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的区间最值
【点评】
本题需要结合自变量的取值范围分析函数最值，不能脱离范围直接认为二次函数的最值只有顶点处的极值，要注意结合区间端点的函数值判断最大值和最小值。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 在函数$y=(2-2x)(5+x)$中，当$x=$时，$y$有最值。

1. -2,大

【分析】
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：第一步，先将给定的乘积形式的函数通过整式乘法展开，整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；第二步，根据二次项系数$a$的正负判断抛物线的开口方向：若$a＞0$，开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，开口向下，函数有最大值；第三步，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算出取最值时对应的$x$的值即可。
【解析】
先将函数展开整理为一般式：
$\begin{aligned}y&=(2-2x)(5+x)\\&=2×5 + 2x - 2x×5 - 2x^2\\&=10 + 2x - 10x - 2x^2\\&=-2x^2 - 8x + 10\end{aligned}$
其中二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，函数$y$有最大值。
代入顶点横坐标公式计算取最值时的$x$值：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2×(-2)}=-2$
【答案】
$-2$，大
【知识点】
二次函数最值，整式乘法，二次函数性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数最值的相关知识，只要熟练掌握二次函数的化简方法、开口方向与最值的对应关系以及顶点坐标公式，就能快速解答。
【难度系数】
0.8

2. 若二次函数$y=(2-x)(x+2m)$在$x=-6$时有最大值，则$m$的值为。

2. 7

【分析】
二次函数的最大值出现在顶点位置，顶点对应的横坐标就是函数的对称轴，因此题目中“x=-6时有最大值”说明该二次函数的对称轴为x=-6。我们可以通过两种思路求解：一是先求出函数与x轴的两个交点，利用二次函数对称轴是两个交点横坐标的中点列式；二是将函数整理为一般式，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列式，最终都能求出m的值。
【解析】
方法1（交点式法）：
令$y=(2-x)(x+2m)=0$，解得函数与x轴的两个交点横坐标为$x=2$和$x=-2m$。
二次函数的对称轴为两个交点横坐标的平均值，即：
$x=\frac{2+(-2m)}{2}=1-m$
由题意知对称轴为$x=-6$，因此列方程：
$1-m=-6$
解得$m=7$。
方法2（一般式法）：
将函数展开整理为二次函数一般式：
$y=(2-x)(x+2m)=-x^2+(2-2m)x+4m$
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-1$，$b=2-2m$，代入得：
$x=-\frac{2-2m}{2×(-1)}=1-m$
结合题意对称轴为$x=-6$，列方程：
$1-m=-6$
解得$m=7$。
【答案】
7
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题核心是明确二次函数的最值点对应对称轴位置，两种解法都属于二次函数的基础应用，熟练掌握对称轴的不同计算方式就能快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 一根80 cm的铁丝围成一个矩形,其面积最大值为.

3. 400 cm²

【分析】
本题是利用二次函数解决几何最值的实际问题，解题思路如下：第一步，先根据矩形周长固定的条件，设其中一边长为自变量，用含自变量的式子表示出另一边的长度；第二步，根据矩形面积公式写出面积关于自变量的函数表达式，判断为二次函数；第三步，结合二次函数的开口方向和自变量的实际取值范围，找到函数的最大值，即为矩形的最大面积。
【解析】
解：设矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
由矩形周长为80cm，可得矩形的宽为$ \frac{80}{2} - x = (40 - x) \, \mathrm{cm} $，其中自变量$ x $的取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 40 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(40 - x) $
整理为二次函数一般式：$ S = -x^2 + 40x $
对函数配方得：$ S = -(x - 20)^2 + 400 $
∵ 二次项系数$ a = -1 ＜ 0 $，
∴ 该函数图象开口向下，存在最大值。
当$ x = 20 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 400 \, \mathrm{cm}^2 $，此时矩形为边长20cm的正方形（正方形是特殊的矩形），符合题意。
【答案】
$ 400 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的基础应用，解题核心是结合几何图形的周长、面积公式建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8