6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是 41，小正方形的面积是 1，设直角三角形较长的直角边为 $ b $，较短的直角边为 $ a $，则 $ a + b $ 的值是 （ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

A

7. 到目前为止，勾股定理的证明方法已超过400种，其中一种简洁易懂的方法叫作“常春证法”。
将两个直角三角形如图摆放，已知$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$，点$F$在$AC$上，点$C$与点$E$重合，斜边$AB$与斜边$CD$交于点$M$，连接$AD$、$BD$。若$AC=9$，$BC=5$，则四边形$ACBD$的面积为______。

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8. 第24届国际数学家大会会标取材于赵爽弦图，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为$a$，较长的直角边为$b$，下列说法：①$a^2 + b^2 = 13$；②$b^2 = 1$；③$a^2 - b^2 = 12$；④$ab = 6$。其中正确结论序号是________。

①④

9. 如图,在$△ ABD$中,$AC ⊥ BD$于点$C$,$E$为$AC$上一点,连接$BE$、$DE$,$DE$的延长线交$AB$于点$F$,已知$DE=AB$,$∠ CAD=45°$.
(1)求证:$DF ⊥ AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$.求证:$a^2+b^2=c^2$.

证明：
(1)因为$AC\perp BD，$$\angle CAD = 45^{\circ}，$
所以$AC = DC，$$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEC$中，$\begin{cases}AC = DC\\AB = DE\end{cases}，$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEC$（HL），所以$\angle BAC=\angle EDC。$
又因为$\angle CED=\angle AEF，$所以$\angle AFE=\angle DCE = 90^{\circ}，$
所以$DF\perp AB。$ (2)由
(1)知，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEC，$所以$EC = BC = a，$$DC = AC = b，$$DE = AB = c。$
因为$S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}，$
所以$\frac{1}{2}BC\cdot EC+\frac{1}{2}DC\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot DF-\frac{1}{2}AB\cdot EF，$
即$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c\cdot DF-\frac{1}{2}c\cdot EF=\frac{1}{2}c\cdot(DF - EF)=\frac{1}{2}c\cdot DE=\frac{1}{2}c^{2}，$所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}。$