9. (2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $(其中 $ k_1k_2 \neq 0 $，$ k_1 $，$ k_2 $，$ b_1 $，$ b_2 $ 为常数)的图象分别为直线 $ l_1 $，$ l_2 $. 下列结论正确的是 (
A.$ b_1 + b_2 ＞ 0 $
B.$ b_1b_2 ＞ 0 $
C.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $
A
)A.$ b_1 + b_2 ＞ 0 $
B.$ b_1b_2 ＞ 0 $
C.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $
答案
9.A
解析
解：由图可知，直线$l_1$与$y$轴交于正半轴，所以$b_1＞0$；直线$l_2$与$y$轴交于负半轴，所以$b_2＜0$。
A. 由图估计$b_1\approx2$，$b_2\approx-1$，则$b_1 + b_2\approx2+(-1)=1＞0$，A正确；
B. $b_1＞0$，$b_2＜0$，所以$b_1b_2＜0$，B错误；
C. 直线$l_1$，$l_2$均从左到右上升，所以$k_1＞0$，$k_2＞0$，则$k_1 + k_2＞0$，C错误；
D. $k_1＞0$，$k_2＞0$，所以$k_1k_2＞0$，D错误。
结论正确的是A。
A. 由图估计$b_1\approx2$，$b_2\approx-1$，则$b_1 + b_2\approx2+(-1)=1＞0$，A正确；
B. $b_1＞0$，$b_2＜0$，所以$b_1b_2＜0$，B错误；
C. 直线$l_1$，$l_2$均从左到右上升，所以$k_1＞0$，$k_2＞0$，则$k_1 + k_2＞0$，C错误；
D. $k_1＞0$，$k_2＞0$，所以$k_1k_2＞0$，D错误。
结论正确的是A。
10. 将直线 $ y = kx - 2 $ 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，正好经过点 $ (2, -4) $，则k的值为
-2
.答案
10.-2 解析：直线y = kx - 2经过两次平移后为直线y = k(x - 3) - 2 - 4，将(2,-4)代入y = k(x - 3) - 2 - 4，得-4 = (2 - 3)k - 2 - 4，解得k = -2。
解析
解：直线$y = kx - 2$向右平移3个单位长度得$y = k(x - 3)-2$，再向下平移4个单位长度后得$y = k(x - 3)-2 - 4$。将点$(2, -4)$代入，得$-4 = k(2 - 3)-2 - 4$，即$-4=-k - 6$，解得$k=-2$。
11. 已知一次函数 $ y = (2 - 2k)x + k - 3 $，根据下列条件确定k的值或取值范围.
(1) 函数图象经过原点；
(2) 函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3) 函数图象不经过第三象限.
(1) 函数图象经过原点；
(2) 函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3) 函数图象不经过第三象限.
答案
11.(1)把(0,0)代入y = (2 - 2k)x + k - 3，得k - 3 = 0，解得k = 3 (2)根据题意，得k - 3＜0，2 - 2k ≠ 0，解得k＜3且k ≠ 1
(3)根据题意，得2 - 2k＜0，k - 3≥0，解得k≥3
(3)根据题意，得2 - 2k＜0，k - 3≥0，解得k≥3
12. 如图，一次函数 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $ 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，$ \angle ABO $ 的平分线交x轴于点C，过点C作直线 $ CD \perp AB $，垂足为D，交y轴于点E.
(1) 求直线CE对应的函数表达式；
(2) 直线AB与直线 $ y = \frac{3}{4}x - 4 $ 之间的距离为
(1) 求直线CE对应的函数表达式；
(2) 直线AB与直线 $ y = \frac{3}{4}x - 4 $ 之间的距离为
8
.答案
12.(1)在$y = \frac{3}{4}x + 6$中，令x = 0，得y = 6，
∴点B的坐标是(0,6)，
∴OB = 6.令y = 0，得x = -8，
∴点A的坐标是(-8,0)，
∴OA = 8，
∴在$Rt\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10.$设OC = t(t＞0)，则AC = 8 - t.
∵BC平分$\angle ABO，$
∴$\angle DBC = \angle OBC.$又
∵CD⊥AB，
∴$\angle CDB = \angle COB = 90°.$
∵BC = BC，
∴$\triangle BCD ≌ \triangle BCO(AAS)，$
∴DC = OC = t，DB = OB = 6，
∴AD = AB - DB = 4，
∴在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AD^{2} + DC^{2} = AC^{2}，$即$4^{2} + t^{2} = (8 - t)^{2}，$解得t = 3，
∴OC = 3，即点C的坐标是(-3,0).在$\triangle EBD$和$\triangle ABO$中，$\begin{cases} \angle EBD = \angle ABO, \\ BD = BO, \\ \angle EDB = \angle AOB = 90° \end{cases} $
∴$\triangle EBD ≌ \triangle ABO(ASA)，$
∴EB = AB = 10，
∴OE = EB - OB = 4，
∴点E的坐标是(0,-4).设直线CE对应的函数表达式为y = kx + b，则$\begin{cases} b = -4, \\ -3k + b = 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = -\frac{4}{3}, \\ b = -4. \end{cases} $
∴直线CE对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x - 4$
(2)8 解析：
∵易得直线AB与直线$y = \frac{3}{4}x - 4$互相平行，且直线$y = \frac{3}{4}x - 4$经过点E(0,-4)，
∴它们之间的距离即为线段DE的长.由$\triangle EBD ≌ \triangle ABO，$得DE = OA = 8.
∴点B的坐标是(0,6)，
∴OB = 6.令y = 0，得x = -8，
∴点A的坐标是(-8,0)，
∴OA = 8，
∴在$Rt\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10.$设OC = t(t＞0)，则AC = 8 - t.
∵BC平分$\angle ABO，$
∴$\angle DBC = \angle OBC.$又
∵CD⊥AB，
∴$\angle CDB = \angle COB = 90°.$
∵BC = BC，
∴$\triangle BCD ≌ \triangle BCO(AAS)，$
∴DC = OC = t，DB = OB = 6，
∴AD = AB - DB = 4，
∴在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AD^{2} + DC^{2} = AC^{2}，$即$4^{2} + t^{2} = (8 - t)^{2}，$解得t = 3，
∴OC = 3，即点C的坐标是(-3,0).在$\triangle EBD$和$\triangle ABO$中，$\begin{cases} \angle EBD = \angle ABO, \\ BD = BO, \\ \angle EDB = \angle AOB = 90° \end{cases} $
∴$\triangle EBD ≌ \triangle ABO(ASA)，$
∴EB = AB = 10，
∴OE = EB - OB = 4，
∴点E的坐标是(0,-4).设直线CE对应的函数表达式为y = kx + b，则$\begin{cases} b = -4, \\ -3k + b = 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = -\frac{4}{3}, \\ b = -4. \end{cases} $
∴直线CE对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x - 4$
(2)8 解析：
∵易得直线AB与直线$y = \frac{3}{4}x - 4$互相平行，且直线$y = \frac{3}{4}x - 4$经过点E(0,-4)，
∴它们之间的距离即为线段DE的长.由$\triangle EBD ≌ \triangle ABO，$得DE = OA = 8.
