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1. 下列说法正确的是 (
A.若a，b，c是$△ ABC$的三边长，则$a^2+b^2=c^2$
B.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，则$a^2+b^2=c^2$
C.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，$∠ A=90°$，则$a^2+b^2=c^2$
D.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，$∠ A=90°$，则$c^2+b^2=a^2$
D
)A.若a，b，c是$△ ABC$的三边长，则$a^2+b^2=c^2$
B.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，则$a^2+b^2=c^2$
C.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，$∠ A=90°$，则$a^2+b^2=c^2$
D.若a，b，c是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，$∠ A=90°$，则$c^2+b^2=a^2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基本应用，解题时需明确勾股定理的两个核心要点：①仅适用于直角三角形；②公式中等于平方和的边是直角所对的斜边，是直角三角形中最长的边。解题时先逐一排查每个选项是否满足勾股定理的适用条件，再确认斜边是否对应正确即可选出正确答案。
【解析】
首先回顾勾股定理的内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为直角所对的边。
对各选项逐一分析：
A选项：未说明△ABC是直角三角形，不满足勾股定理的适用前提，因此A错误；
B选项：虽明确是Rt△ABC，但未指明哪个角为直角，无法确定c为斜边，不能直接得出$a^2+b^2=c^2$，因此B错误；
C选项：已知$∠A=90°$，则$∠A$的对边$a$是斜边，$b$、$c$为直角边，应满足$b^2+c^2=a^2$，因此C错误；
D选项：$∠A=90°$，$a$为斜边，$b$、$c$为直角边，符合勾股定理$c^2+b^2=a^2$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边判定
【点评】
本题是勾股定理的基础概念题，易错点是容易忽略勾股定理的适用条件，或者混淆直角对应的斜边，解题时只要先确定直角位置，找准斜边，就能轻松判断选项正误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的基本应用，解题时需明确勾股定理的两个核心要点：①仅适用于直角三角形；②公式中等于平方和的边是直角所对的斜边，是直角三角形中最长的边。解题时先逐一排查每个选项是否满足勾股定理的适用条件，再确认斜边是否对应正确即可选出正确答案。
【解析】
首先回顾勾股定理的内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为直角所对的边。
对各选项逐一分析：
A选项：未说明△ABC是直角三角形，不满足勾股定理的适用前提，因此A错误；
B选项：虽明确是Rt△ABC，但未指明哪个角为直角，无法确定c为斜边，不能直接得出$a^2+b^2=c^2$，因此B错误；
C选项：已知$∠A=90°$，则$∠A$的对边$a$是斜边，$b$、$c$为直角边，应满足$b^2+c^2=a^2$，因此C错误；
D选项：$∠A=90°$，$a$为斜边，$b$、$c$为直角边，符合勾股定理$c^2+b^2=a^2$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边判定
【点评】
本题是勾股定理的基础概念题，易错点是容易忽略勾股定理的适用条件，或者混淆直角对应的斜边，解题时只要先确定直角位置，找准斜边，就能轻松判断选项正误。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
B
）A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
答案
2.B
解析
【分析】
要确定小鸟飞行的最短距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径就是两棵树树梢的连线。接下来将实际问题转化为几何模型：两棵树的高度差、两树的水平距离与这条最短连线刚好构成直角三角形，其中高度差和水平距离是两条直角边，最短连线是斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
第一步，计算两棵树的高度差：$10 - 4 = 6$（米）
已知两树水平相距8米，小鸟最短飞行路径为两树梢的连线，该连线是直角三角形的斜边，两条直角边分别为高度差6米、水平间距8米。
根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（米）
因此小鸟至少飞行10米，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理的应用
2.最短路径判定
【点评】
这道题是生活场景和几何知识结合的典型基础题，解题核心是正确将实际问题转化为直角三角形模型，找准直角边的长度后代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
要确定小鸟飞行的最短距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径就是两棵树树梢的连线。接下来将实际问题转化为几何模型：两棵树的高度差、两树的水平距离与这条最短连线刚好构成直角三角形，其中高度差和水平距离是两条直角边，最短连线是斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
第一步，计算两棵树的高度差：$10 - 4 = 6$（米）
已知两树水平相距8米，小鸟最短飞行路径为两树梢的连线，该连线是直角三角形的斜边，两条直角边分别为高度差6米、水平间距8米。
根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（米）
因此小鸟至少飞行10米，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理的应用
2.最短路径判定
【点评】
这道题是生活场景和几何知识结合的典型基础题，解题核心是正确将实际问题转化为直角三角形模型，找准直角边的长度后代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图2，若$∠ BAD=∠ DBC=90°$，$AB=3$，$AD=4$，$BC=12$，则$CD$的值为（
A.5
B.13
C.17
D.18
B
）A.5
B.13
C.17
D.18
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，题目给出两个直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出Rt△ABD的斜边BD的长度，BD同时是Rt△DBC的一条直角边，再再次利用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=4，
根据勾股定理可得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∴ $BD = 5$（边长为正数，舍去负根）。
在Rt△DBC中，∠DBC=90°，BD=5，BC=12，
根据勾股定理可得：$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
∴ $CD = 13$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，需要连续两次运用勾股定理求解线段长度，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边BD作为中间量，熟练掌握勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件，题目给出两个直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出Rt△ABD的斜边BD的长度，BD同时是Rt△DBC的一条直角边，再再次利用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=4，
根据勾股定理可得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∴ $BD = 5$（边长为正数，舍去负根）。
在Rt△DBC中，∠DBC=90°，BD=5，BC=12，
根据勾股定理可得：$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
∴ $CD = 13$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，需要连续两次运用勾股定理求解线段长度，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边BD作为中间量，熟练掌握勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图3，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$，且$AB=4$，$BD=5$，则点$D$到$BC$的距离是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确所求为点D到BC的距离，结合题干中BD是∠ABC的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到BC的距离等于点D到AB的距离。又因为∠A=90°，所以AD垂直AB，即AD的长度就是点D到AB的距离，接下来只需在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长度即可得到答案。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E，DE的长度即为点D到BC的距离。
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
又
∵BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴AD=DE。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴DE=3，即点D到BC的距离为3。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质将未知的垂线段距离转化为易求的线段AD的长度，再结合勾股定理计算即可，解题时需注意角平分线性质的适用条件，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确所求为点D到BC的距离，结合题干中BD是∠ABC的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到BC的距离等于点D到AB的距离。又因为∠A=90°，所以AD垂直AB，即AD的长度就是点D到AB的距离，接下来只需在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长度即可得到答案。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E，DE的长度即为点D到BC的距离。
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
又
∵BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴AD=DE。
在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴DE=3，即点D到BC的距离为3。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质将未知的垂线段距离转化为易求的线段AD的长度，再结合勾股定理计算即可，解题时需注意角平分线性质的适用条件，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
5. 如图4，在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（
A.21
B.15
C.6
D.9
A
）A.21
B.15
C.6
D.9
答案
5.A
解析
【分析】
题目中给出了BC边上的高AD，可得到两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，解题时先分别在两个直角三角形中运用勾股定理求出BD、CD的长度，再将两段线段相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理：
BD² = AB² - AD² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225，
∵线段长度为正数，
∴BD=15。
在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理：
CD² = AC² - AD² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36，
∵线段长度为正数，
∴CD=6。
∴BC = BD + CD = 15 + 6 = 21。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形高的定义
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是利用高的直角属性构造直角三角形，再运用勾股定理计算对应线段长度即可。
【难度系数】
0.8
题目中给出了BC边上的高AD，可得到两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，解题时先分别在两个直角三角形中运用勾股定理求出BD、CD的长度，再将两段线段相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理：
BD² = AB² - AD² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225，
∵线段长度为正数，
∴BD=15。
在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理：
CD² = AC² - AD² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36，
∵线段长度为正数，
∴CD=6。
∴BC = BD + CD = 15 + 6 = 21。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形高的定义
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是利用高的直角属性构造直角三角形，再运用勾股定理计算对应线段长度即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图5，在$△ ABC$中，$CA=CB$，$AD ⊥ BC$，$BE ⊥ AC$，$AB=5$，$AD=4$，则$AE=$
3
。答案
6.3
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形（CA=CB），AD、BE分别是BC、AC边上的高。第一步先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度；接下来要找AE和已知线段的关联，可通过证明△ADC和△BEC全等得到CD=CE，再结合CA=CB，利用线段和差关系就能推出AE=BD，进而求出AE的长度。
【解析】
解：
1.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB=5，AD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
2.
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ADC和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C \\∠ADC=∠BEC \\CA=CB\end{array} $
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴CD=CE。
3. 又
∵CA=CB，
∴CA - CE = CB - CD，即AE=BD=3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先通过勾股定理求出BD的长度，再借助全等三角形的性质得到相等线段，最终推导AE的长度，很好地考查了学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形（CA=CB），AD、BE分别是BC、AC边上的高。第一步先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度；接下来要找AE和已知线段的关联，可通过证明△ADC和△BEC全等得到CD=CE，再结合CA=CB，利用线段和差关系就能推出AE=BD，进而求出AE的长度。
【解析】
解：
1.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB=5，AD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
2.
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ADC和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C \\∠ADC=∠BEC \\CA=CB\end{array} $
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴CD=CE。
3. 又
∵CA=CB，
∴CA - CE = CB - CD，即AE=BD=3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先通过勾股定理求出BD的长度，再借助全等三角形的性质得到相等线段，最终推导AE的长度，很好地考查了学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
