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7. 图6所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是4，9，9，25，则最大的正方形E的面积是
47
。答案
7.47
解析
【分析】
要解决勾股树中最大正方形面积的问题，需结合勾股定理的几何意义分析：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到正方形面积上，就是以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们可以先分别求出正方形A、B的面积和，以及正方形C、D的面积和，再将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B对应的直角三角形的斜边构成的正方形面积为：$S_1 = S_A + S_B = 4 + 9 = 13$
2. 正方形C、D对应的直角三角形的斜边构成的正方形面积为：$S_2 = S_C + S_D = 9 + 25 = 34$
3. 最大正方形E的面积为上述两个正方形的面积和：$S_E = S_1 + S_2 = 13 + 34 = 47$
【答案】
47
【知识点】
勾股定理；勾股定理的几何意义
【点评】
本题以勾股树为载体，考查对勾股定理和正方形面积关系的理解，属于基础应用类题目，只要掌握勾股定理对应的几何面积关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决勾股树中最大正方形面积的问题，需结合勾股定理的几何意义分析：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到正方形面积上，就是以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们可以先分别求出正方形A、B的面积和，以及正方形C、D的面积和，再将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B对应的直角三角形的斜边构成的正方形面积为：$S_1 = S_A + S_B = 4 + 9 = 13$
2. 正方形C、D对应的直角三角形的斜边构成的正方形面积为：$S_2 = S_C + S_D = 9 + 25 = 34$
3. 最大正方形E的面积为上述两个正方形的面积和：$S_E = S_1 + S_2 = 13 + 34 = 47$
【答案】
47
【知识点】
勾股定理；勾股定理的几何意义
【点评】
本题以勾股树为载体，考查对勾股定理和正方形面积关系的理解，属于基础应用类题目，只要掌握勾股定理对应的几何面积关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8. 如图7，一根旗杆在离地面9 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处。求旗杆在折断之前的高度。
答案
8. 解：由题意，得AC ⊥ BC。在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$，
所以$AB^2=9^2+12^2=225$。所以AB=15（m），AB+AC=9+15=24（m）。
所以$AB^2=9^2+12^2=225$。所以AB=15（m），AB+AC=9+15=24（m）。
解析
【分析】
解题时首先分析场景：旗杆垂直于地面，折断后未折断的旗杆部分、地面、折断的旗杆部分刚好围成直角三角形，两条直角边长度分别为9m（离地面的高度）和12m（顶部落地处距旗杆底部的距离）。解题思路为：第一步用勾股定理求出直角三角形的斜边，即折断部分的长度；第二步将折断部分长度与未折断的9m相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得旗杆垂直地面，即$AC ⊥ BC$，$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入$AC=9\mathrm{m}$，$BC=12\mathrm{m}$，可得：
$AB^2=9^2+12^2=81+144=225$，
$AB=\sqrt{225}=15\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
则旗杆折断前的高度为两段之和：$AC+AB=9+15=24\mathrm{m}$。
【答案】
24 m
【知识点】
勾股定理；实际问题与直角三角形
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，注意所求为旗杆原总高度，需将两段长度相加，避免仅算出折断部分长度就直接作答的疏漏。
【难度系数】
0.75
解题时首先分析场景：旗杆垂直于地面，折断后未折断的旗杆部分、地面、折断的旗杆部分刚好围成直角三角形，两条直角边长度分别为9m（离地面的高度）和12m（顶部落地处距旗杆底部的距离）。解题思路为：第一步用勾股定理求出直角三角形的斜边，即折断部分的长度；第二步将折断部分长度与未折断的9m相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得旗杆垂直地面，即$AC ⊥ BC$，$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入$AC=9\mathrm{m}$，$BC=12\mathrm{m}$，可得：
$AB^2=9^2+12^2=81+144=225$，
$AB=\sqrt{225}=15\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
则旗杆折断前的高度为两段之和：$AC+AB=9+15=24\mathrm{m}$。
【答案】
24 m
【知识点】
勾股定理；实际问题与直角三角形
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，注意所求为旗杆原总高度，需将两段长度相加，避免仅算出折断部分长度就直接作答的疏漏。
【难度系数】
0.75
9. 如图8，$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，$D$是斜边$BC$的中点，$E$、$F$分别是$AB$、$AC$边上的点，且$DE ⊥ DF$。
（1）如图8-①，试证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$；
（2）如图8-②，若$AB=AC$，$BE=12$，$CF=5$，求$△ DEF$的面积。
（1）如图8-①，试证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$；
（2）如图8-②，若$AB=AC$，$BE=12$，$CF=5$，求$△ DEF$的面积。
答案
9.（1）证明：延长ED至点G，使DG=DE，连接FG、CG，
因为DE=DG，$DF ⊥ DE$，所以DF垂直平分DE，所以EF=FG。
因为D是BC的中点，所以BD=CD。
在△BDE和△CDG中，$BD=CD$，$∠ BDE= ∠ CDG$，$DE=DG$，
所以$△ BDE ≌ △ CDG$。
所以BE=CG，$∠ ABC = ∠ DCG$。
因为$∠ ACB+ ∠ ABC=90°$ ，所以$∠ ACB+ ∠ DCG=90°$ ，即$∠ FCG=90°$ 。
在$Rt△FCG$中，由勾股定理，得$CG^2+CF^2=FG^2$，所以$BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）解：连接AD，
因为AB=AC，D是BC的中点，所以$∠ BAD= ∠ C=45°$ ，$AD=BD=CD$。
因为$∠ ADE+ ∠ ADF=90°$ ，$∠ ADF+ ∠ CDF=90°$ ，所以$∠ ADE= ∠ CDF$。
在△ADE和△CDF中，$∠ EAD= ∠ C$，$AD=CD$，$∠ ADE = ∠ CDF$，
所以$△ ADE ≌ △ CDF$。所以$S_{四边形AEDF}= \frac{1}{2} S_{△ABC}$，AE=CF。
所以BE=AF，即AB=AC=17。
因为$S_{△AEF}= \frac{1}{2} ×5×12=30$，所以$S_{△DEF}= \frac{1}{2} S_{△ABC} - S_{△AEF} = \frac{169}{4}$。
解析
【分析】
（1）要证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$，该形式符合勾股定理特征，但三条线段不在同一个直角三角形中，因此考虑构造全等转化线段：采用倍长中线的思路，延长$ED$到$G$使$DG=DE$，先证$DF$垂直平分$EG$得$EF=FG$，再证$△ BDE≌△ CDG$将$BE$转化为$CG$，最后证明$∠ FCG=90°$，在$Rt△ FCG$中用勾股定理即可得证。
（2）求$△ DEF$的面积时，结合$AB=AC$的等腰直角三角形特征，连接$AD$，利用等腰直角三角形三线合一的性质，得$AD=CD$、$∠ EAD=∠ C=45°$，再通过同角的余角相等得$∠ ADE=∠ CDF$，证明$△ ADE≌△ CDF$，得到$AE=CF$、$BE=AF$，先求出$△ ABC$和$△ AEF$的面积，通过面积差即可求出$△ DEF$的面积。
【解析】
（1）证明：
延长$ED$至点$G$，使$DG=DE$，连接$FG$、$CG$，
$\because DE=DG$，$DF⊥ DE$，
$\therefore DF$垂直平分$EG$，$\therefore EF=FG$。
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ BDE=∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CG$，$∠ ABC=∠ DCG$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ ACB+∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ DCG=90°$，即$∠ FCG=90°$。
在$Rt△ FCG$中，由勾股定理得$CG^2+CF^2=FG^2$，
代入$CG=BE$、$FG=EF$，得$BE^2+CF^2=EF^2$。
---
（2）解：
连接$AD$，
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD=BD=CD$，$∠ BAD=∠ C=45°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADF+∠ CDF=90°$。
$\because DE⊥ DF$，$\therefore ∠ ADE+∠ ADF=90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠ EAD=∠ C \\ AD=CD \\ ∠ ADE=∠ CDF \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF=5$，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
同理可得$BE=AF=12$，$\therefore AB=AC=5+12=17$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×17×17=\frac{289}{2}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=\frac{289}{4}-30=\frac{169}{4}$。
【答案】
（1）证明：延长ED至点G，使DG=DE，连接FG、CG，
因为DE=DG，$DF ⊥ DE$，所以DF垂直平分DE，所以EF=FG。
因为D是BC的中点，所以BD=CD。
在△BDE和△CDG中，$BD=CD$，$∠ BDE= ∠ CDG$，$DE=DG$，
所以$△ BDE ≌ △ CDG$。
所以BE=CG，$∠ ABC = ∠ DCG$。
因为$∠ ACB+ ∠ ABC=90°$ ，所以$∠ ACB+ ∠ DCG=90°$ ，即$∠ FCG=90°$ 。
在$Rt△FCG$中，由勾股定理，得$CG^2+CF^2=FG^2$，所以$BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）解：连接AD，
因为AB=AC，D是BC的中点，所以$∠ BAD= ∠ C=45°$ ，$AD=BD=CD$。
因为$∠ ADE+ ∠ ADF=90°$ ，$∠ ADF+ ∠ CDF=90°$ ，所以$∠ ADE= ∠ CDF$。
在△ADE和△CDF中，$∠ EAD= ∠ C$，$AD=CD$，$∠ ADE = ∠ CDF$，
所以$△ ADE ≌ △ CDF$。所以$S_{四边形AEDF}= \frac{1}{2} S_{△ABC}$，AE=CF。
所以BE=AF，即AB=AC=17。
因为$S_{△AEF}= \frac{1}{2} ×5×12=30$，所以$S_{△DEF}= \frac{1}{2} S_{△ABC} - S_{△AEF} = \frac{169}{4}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，第一问用到的倍长中线是几何中常用的辅助线构造方法，通过全等实现线段的转移，结合勾股定理完成证明；第二问需要熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过全等转化线段和面积关系求解。对几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$，该形式符合勾股定理特征，但三条线段不在同一个直角三角形中，因此考虑构造全等转化线段：采用倍长中线的思路，延长$ED$到$G$使$DG=DE$，先证$DF$垂直平分$EG$得$EF=FG$，再证$△ BDE≌△ CDG$将$BE$转化为$CG$，最后证明$∠ FCG=90°$，在$Rt△ FCG$中用勾股定理即可得证。
（2）求$△ DEF$的面积时，结合$AB=AC$的等腰直角三角形特征，连接$AD$，利用等腰直角三角形三线合一的性质，得$AD=CD$、$∠ EAD=∠ C=45°$，再通过同角的余角相等得$∠ ADE=∠ CDF$，证明$△ ADE≌△ CDF$，得到$AE=CF$、$BE=AF$，先求出$△ ABC$和$△ AEF$的面积，通过面积差即可求出$△ DEF$的面积。
【解析】
（1）证明：
延长$ED$至点$G$，使$DG=DE$，连接$FG$、$CG$，
$\because DE=DG$，$DF⊥ DE$，
$\therefore DF$垂直平分$EG$，$\therefore EF=FG$。
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ BDE=∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CG$，$∠ ABC=∠ DCG$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ ACB+∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ DCG=90°$，即$∠ FCG=90°$。
在$Rt△ FCG$中，由勾股定理得$CG^2+CF^2=FG^2$，
代入$CG=BE$、$FG=EF$，得$BE^2+CF^2=EF^2$。
---
（2）解：
连接$AD$，
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD=BD=CD$，$∠ BAD=∠ C=45°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADF+∠ CDF=90°$。
$\because DE⊥ DF$，$\therefore ∠ ADE+∠ ADF=90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠ EAD=∠ C \\ AD=CD \\ ∠ ADE=∠ CDF \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF=5$，$S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
同理可得$BE=AF=12$，$\therefore AB=AC=5+12=17$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×17×17=\frac{289}{2}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=\frac{289}{4}-30=\frac{169}{4}$。
【答案】
（1）证明：延长ED至点G，使DG=DE，连接FG、CG，
因为DE=DG，$DF ⊥ DE$，所以DF垂直平分DE，所以EF=FG。
因为D是BC的中点，所以BD=CD。
在△BDE和△CDG中，$BD=CD$，$∠ BDE= ∠ CDG$，$DE=DG$，
所以$△ BDE ≌ △ CDG$。
所以BE=CG，$∠ ABC = ∠ DCG$。
因为$∠ ACB+ ∠ ABC=90°$ ，所以$∠ ACB+ ∠ DCG=90°$ ，即$∠ FCG=90°$ 。
在$Rt△FCG$中，由勾股定理，得$CG^2+CF^2=FG^2$，所以$BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）解：连接AD，
因为AB=AC，D是BC的中点，所以$∠ BAD= ∠ C=45°$ ，$AD=BD=CD$。
因为$∠ ADE+ ∠ ADF=90°$ ，$∠ ADF+ ∠ CDF=90°$ ，所以$∠ ADE= ∠ CDF$。
在△ADE和△CDF中，$∠ EAD= ∠ C$，$AD=CD$，$∠ ADE = ∠ CDF$，
所以$△ ADE ≌ △ CDF$。所以$S_{四边形AEDF}= \frac{1}{2} S_{△ABC}$，AE=CF。
所以BE=AF，即AB=AC=17。
因为$S_{△AEF}= \frac{1}{2} ×5×12=30$，所以$S_{△DEF}= \frac{1}{2} S_{△ABC} - S_{△AEF} = \frac{169}{4}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，第一问用到的倍长中线是几何中常用的辅助线构造方法，通过全等实现线段的转移，结合勾股定理完成证明；第二问需要熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过全等转化线段和面积关系求解。对几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
