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1. 下图所示圆柱的高AB=3，底面直径BC=3。现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，试求出蚂蚁爬行的最短距离。
答案
解：
将圆柱侧面沿AB剪开，展开为平面长方形。
已知圆柱高AB=3，底面直径为3，因此展开后C点到点B的水平距离为底面半圆弧长：
$\frac{1}{2} × π × 3 = \frac{3π}{2}$
在展开得到的直角三角形中，两条直角边长分别为3和$\frac{3π}{2}$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{3^2 + ( \frac{3π}{2} )^2} = \sqrt{9 + \frac{9π^2}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
答：蚂蚁爬行的最短距离为$\frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$。
将圆柱侧面沿AB剪开，展开为平面长方形。
已知圆柱高AB=3，底面直径为3，因此展开后C点到点B的水平距离为底面半圆弧长：
$\frac{1}{2} × π × 3 = \frac{3π}{2}$
在展开得到的直角三角形中，两条直角边长分别为3和$\frac{3π}{2}$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{3^2 + ( \frac{3π}{2} )^2} = \sqrt{9 + \frac{9π^2}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
答：蚂蚁爬行的最短距离为$\frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$。
解析
【分析】
要解决圆柱表面的最短爬行距离问题，我们采用“化曲为直”的思路：首先把圆柱侧面展开为平面，因为平面内两点之间线段最短，展开后A、C两点的线段长就是最短距离。接下来需确定展开后对应直角三角形的两条直角边长度：一条是圆柱的高AB=3；另一条是展开后C点到B点的水平距离，即底面半圆弧长（C在A的对角位置，对应底面半圈），算出半弧长后，再用勾股定理求解AC的长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AB剪开，展开为平面长方形。
已知圆柱高AB=3，底面直径BC=3，因此展开后C点到B点的水平距离为底面半圆弧长：
$\frac{1}{2} × π × 3 = \frac{3π}{2}$
在展开得到的直角三角形中，两条直角边长分别为3和$\frac{3π}{2}$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{3^2 + ( \frac{3π}{2} )^2} = \sqrt{9 + \frac{9π^2}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
【答案】
$\frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，核心是将曲面转化为平面求解，解题时要注意准确确定展开后对应点的位置，以及边长的正确计算，避免误用整圆周长代替半周长导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱表面的最短爬行距离问题，我们采用“化曲为直”的思路：首先把圆柱侧面展开为平面，因为平面内两点之间线段最短，展开后A、C两点的线段长就是最短距离。接下来需确定展开后对应直角三角形的两条直角边长度：一条是圆柱的高AB=3；另一条是展开后C点到B点的水平距离，即底面半圆弧长（C在A的对角位置，对应底面半圈），算出半弧长后，再用勾股定理求解AC的长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AB剪开，展开为平面长方形。
已知圆柱高AB=3，底面直径BC=3，因此展开后C点到B点的水平距离为底面半圆弧长：
$\frac{1}{2} × π × 3 = \frac{3π}{2}$
在展开得到的直角三角形中，两条直角边长分别为3和$\frac{3π}{2}$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{3^2 + ( \frac{3π}{2} )^2} = \sqrt{9 + \frac{9π^2}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
【答案】
$\frac{3}{2}\sqrt{π^2 + 4}$
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，核心是将曲面转化为平面求解，解题时要注意准确确定展开后对应点的位置，以及边长的正确计算，避免误用整圆周长代替半周长导致错误。
【难度系数】
0.6
2. 周末，明明和爸爸一起去钓鱼。已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的鱼线BC的长为$3\sqrt{2}$ m（如图所示）。明明想看看鱼钩上的情况，爸爸把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长为$\sqrt{34}$ m。爸爸请明明帮他算BB'的长。如果你是明明，该怎么算呢？
答案
解：由题意可知，$∠ ABC=∠ AB'C'=90°$，$AC=AC'=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2-BC^2\\&=6^2-(3\sqrt{2})^2\\&=36-18\\&=18\end{aligned}$
$\therefore AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB'^2&=AC'^2-B'C'^2\\&=6^2-(\sqrt{34})^2\\&=36-34\\&=2\end{aligned}$
$\therefore AB'=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BB'=AB-AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
答：$BB'$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2-BC^2\\&=6^2-(3\sqrt{2})^2\\&=36-18\\&=18\end{aligned}$
$\therefore AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB'^2&=AC'^2-B'C'^2\\&=6^2-(\sqrt{34})^2\\&=36-34\\&=2\end{aligned}$
$\therefore AB'=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BB'=AB-AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
答：$BB'$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要求BB'的长度，首先观察图形可知BB'=AB-AB'，因此只需要求出AB和AB'的长度即可。由题意可得△ABC和△AB'C'都是直角三角形，且鱼竿长度不变，即AC=AC'=6m，我们可以分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AB、AB'的长度，最后作差就能得到BB'的长。
【解析】
解：由题意可知，$∠ ABC=∠ AB'C'=90°$，$AC=AC'=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2-BC^2\\&=6^2-(3\sqrt{2})^2\\&=36-18\\&=18\end{aligned}$
$\therefore AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB'^2&=AC'^2-B'C'^2\\&=6^2-(\sqrt{34})^2\\&=36-34\\&=2\end{aligned}$
$\therefore AB'=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BB'=AB-AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；实际问题几何应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是抓住鱼竿长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算过程中要注意二次根式的化简，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要求BB'的长度，首先观察图形可知BB'=AB-AB'，因此只需要求出AB和AB'的长度即可。由题意可得△ABC和△AB'C'都是直角三角形，且鱼竿长度不变，即AC=AC'=6m，我们可以分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AB、AB'的长度，最后作差就能得到BB'的长。
【解析】
解：由题意可知，$∠ ABC=∠ AB'C'=90°$，$AC=AC'=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2-BC^2\\&=6^2-(3\sqrt{2})^2\\&=36-18\\&=18\end{aligned}$
$\therefore AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}AB'^2&=AC'^2-B'C'^2\\&=6^2-(\sqrt{34})^2\\&=36-34\\&=2\end{aligned}$
$\therefore AB'=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BB'=AB-AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；实际问题几何应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是抓住鱼竿长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算过程中要注意二次根式的化简，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
