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17.若$y$与$2x+1$成正比例关系，且当$x=-2$时，$y=6$.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)若点$(m,3)$在该函数的图象上，求$m$的值.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)若点$(m,3)$在该函数的图象上，求$m$的值.
答案
17.(1)$y=-4x-2$；
(2)$m=-\frac{5}{4}$
(2)$m=-\frac{5}{4}$
解析
【分析】
(1) 首先回忆正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为$A=kB$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式。本题中$y$与$2x+1$成正比例，因此先设$y=k(2x+1)$（$k\ne0$），再将已知的$x=-2$、$y=6$代入式子求出$k$的值，最后整理为$y$关于$x$的函数关系式即可。
(2) 函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此将点$(m,3)$的横、纵坐标代入第一问求出的函数关系式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 解：$\because y$与$2x+1$成正比例关系
$\therefore$设函数关系式为$y=k(2x+1)$（$k\ne0$，$k$为常数）
将$x=-2$，$y=6$代入上式，得：
$6=k×[2×(-2)+1]$
计算括号内的值得：$2×(-2)+1=-3$
即$6=-3k$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入所设关系式，整理得：
$y=-2(2x+1)=-4x-2$
(2) 解：$\because$点$(m,3)$在函数$y=-4x-2$的图象上
$\therefore$将$x=m$，$y=3$代入解析式，得：
$3=-4m-2$
移项合并得：$4m=-5$
解得$m=-\frac{5}{4}$
【答案】
(1)$y=-4x-2$；(2)$m=-\frac{5}{4}$
【知识点】
1. 正比例关系定义
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数图象点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础题型，核心考查正比例关系的理解、待定系数法的应用，以及函数图象和点坐标的对应关系，熟练掌握基础概念和运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为$A=kB$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式。本题中$y$与$2x+1$成正比例，因此先设$y=k(2x+1)$（$k\ne0$），再将已知的$x=-2$、$y=6$代入式子求出$k$的值，最后整理为$y$关于$x$的函数关系式即可。
(2) 函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此将点$(m,3)$的横、纵坐标代入第一问求出的函数关系式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 解：$\because y$与$2x+1$成正比例关系
$\therefore$设函数关系式为$y=k(2x+1)$（$k\ne0$，$k$为常数）
将$x=-2$，$y=6$代入上式，得：
$6=k×[2×(-2)+1]$
计算括号内的值得：$2×(-2)+1=-3$
即$6=-3k$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入所设关系式，整理得：
$y=-2(2x+1)=-4x-2$
(2) 解：$\because$点$(m,3)$在函数$y=-4x-2$的图象上
$\therefore$将$x=m$，$y=3$代入解析式，得：
$3=-4m-2$
移项合并得：$4m=-5$
解得$m=-\frac{5}{4}$
【答案】
(1)$y=-4x-2$；(2)$m=-\frac{5}{4}$
【知识点】
1. 正比例关系定义
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数图象点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础题型，核心考查正比例关系的理解、待定系数法的应用，以及函数图象和点坐标的对应关系，熟练掌握基础概念和运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
18.一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村,到达目的地C村停止运动,甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1)A,B两村相距
(2)求甲、乙两人骑自行车的速度.
(1)A,B两村相距
10
km;(2)求甲、乙两人骑自行车的速度.
答案
18.(1)10
(2)甲的速度为 20 km/h，乙的速度为12 km/h.
(2)甲的速度为 20 km/h，乙的速度为12 km/h.
解析
【分析】
(1) 观察函数图像，初始时刻t=0时甲、乙未出发，此时两人的距离s就是A、B两村的距离，直接读取纵轴初始值即可得到结果。
(2) 先分析图像特殊节点的实际意义：①t=1.25h时s=0，说明甲追上乙，1.25h内甲比乙多走的路程等于A、B两村的距离，可得到两人速度差的关系；②t=2h到t=2.5h时两人距离从6km降到0，说明这段时间甲已到达C村停止运动，乙用0.5h走完6km到达C村，先求出乙的速度，再结合速度差关系求出甲的速度。
【解析】
(1) 当t=0时，s=10km，此时甲在A村、乙在B村，两人的距离就是A、B两村的距离，因此A、B两村相距10km。
(2) 设甲的速度为$v_甲$ km/h，乙的速度为$v_乙$ km/h：
① 由图像可知，2h到2.5h期间甲已经到达C村停止运动，乙在$2.5-2=0.5$h内走了6km到达C村，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得：
$v_乙=\frac{6}{0.5}=12$ km/h
② t=1.25h时甲追上乙，此时甲走的路程=乙走的路程+A、B两村距离，列等式：
$1.25v_甲 = 1.25v_乙 +10$
将$v_乙=12$代入上式：
$1.25v_甲=1.25×12 +10$
$1.25v_甲=25$
解得$v_甲=25÷1.25=20$ km/h
【答案】
(1) 10
(2) 甲的速度为20 km/h，乙的速度为12 km/h
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，追及问题
【点评】
本题结合s-t图像考查行程类实际问题，解题核心是读懂图像特殊点、线段对应的实际含义，结合路程、速度、时间三者的关系逐步推导即可，侧重考查图像分析能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察函数图像，初始时刻t=0时甲、乙未出发，此时两人的距离s就是A、B两村的距离，直接读取纵轴初始值即可得到结果。
(2) 先分析图像特殊节点的实际意义：①t=1.25h时s=0，说明甲追上乙，1.25h内甲比乙多走的路程等于A、B两村的距离，可得到两人速度差的关系；②t=2h到t=2.5h时两人距离从6km降到0，说明这段时间甲已到达C村停止运动，乙用0.5h走完6km到达C村，先求出乙的速度，再结合速度差关系求出甲的速度。
【解析】
(1) 当t=0时，s=10km，此时甲在A村、乙在B村，两人的距离就是A、B两村的距离，因此A、B两村相距10km。
(2) 设甲的速度为$v_甲$ km/h，乙的速度为$v_乙$ km/h：
① 由图像可知，2h到2.5h期间甲已经到达C村停止运动，乙在$2.5-2=0.5$h内走了6km到达C村，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得：
$v_乙=\frac{6}{0.5}=12$ km/h
② t=1.25h时甲追上乙，此时甲走的路程=乙走的路程+A、B两村距离，列等式：
$1.25v_甲 = 1.25v_乙 +10$
将$v_乙=12$代入上式：
$1.25v_甲=1.25×12 +10$
$1.25v_甲=25$
解得$v_甲=25÷1.25=20$ km/h
【答案】
(1) 10
(2) 甲的速度为20 km/h，乙的速度为12 km/h
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，追及问题
【点评】
本题结合s-t图像考查行程类实际问题，解题核心是读懂图像特殊点、线段对应的实际含义，结合路程、速度、时间三者的关系逐步推导即可，侧重考查图像分析能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
19.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,2)$和点$(-1,3)$.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若$P(m,y_1)$,$Q(m-1,y_2)$是该一次函数图象上的两点，比较$y_1$与$y_2$的大小关系；
(3)当$-3＜y＜2$时，求$x$的取值范围.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若$P(m,y_1)$,$Q(m-1,y_2)$是该一次函数图象上的两点，比较$y_1$与$y_2$的大小关系；
(3)当$-3＜y＜2$时，求$x$的取值范围.
答案
19.(1)$y=-x+2$；
(2)$y_1＜y_2$；
(3)$0＜x＜5$.
(2)$y_1＜y_2$；
(3)$0＜x＜5$.
解析
【分析】
(1)求一次函数表达式可采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到函数解析式。
(2)比较函数值大小，可先通过$k$的正负判断一次函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
(3)求$x$的取值范围，可将函数表达式代入$y$的取值范围，得到关于$x$的不等式组，解不等式组即可得到结果，也可结合函数增减性，找到$y$取边界值时对应的$x$，再确定$x$的范围。
【解析】
(1)将点$(0,2)$和$(-1,3)$代入$y=kx+b$：
把$x=0$，$y=2$代入得：$b=2$；
把$b=2$，$x=-1$，$y=3$代入得：$3=-k+2$，解得$k=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由(1)得$k=-1＜0$，所以该一次函数中$y$随$x$的增大而减小。
点$P$的横坐标为$m$，点$Q$的横坐标为$m-1$，因为$m＞m-1$，所以$y_1＜y_2$。
(3)将$y=-x+2$代入$-3＜y＜2$，得到不等式组：
$\begin{cases}-x+2＞-3 \\ -x+2＜2\end{cases}$
解第一个不等式：$-x＞-5$，两边同乘$-1$不等号方向改变，得$x＜5$；
解第二个不等式：$-x＜0$，两边同乘$-1$不等号方向改变，得$x＞0$。
因此$x$的取值范围是$0＜x＜5$。
【答案】
(1)$y=-x+2$；(2)$y_1＜y_2$；(3)$0＜x＜5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握一次函数的基本性质，解不等式时注意乘负数时不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.8
(1)求一次函数表达式可采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到函数解析式。
(2)比较函数值大小，可先通过$k$的正负判断一次函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
(3)求$x$的取值范围，可将函数表达式代入$y$的取值范围，得到关于$x$的不等式组，解不等式组即可得到结果，也可结合函数增减性，找到$y$取边界值时对应的$x$，再确定$x$的范围。
【解析】
(1)将点$(0,2)$和$(-1,3)$代入$y=kx+b$：
把$x=0$，$y=2$代入得：$b=2$；
把$b=2$，$x=-1$，$y=3$代入得：$3=-k+2$，解得$k=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由(1)得$k=-1＜0$，所以该一次函数中$y$随$x$的增大而减小。
点$P$的横坐标为$m$，点$Q$的横坐标为$m-1$，因为$m＞m-1$，所以$y_1＜y_2$。
(3)将$y=-x+2$代入$-3＜y＜2$，得到不等式组：
$\begin{cases}-x+2＞-3 \\ -x+2＜2\end{cases}$
解第一个不等式：$-x＞-5$，两边同乘$-1$不等号方向改变，得$x＜5$；
解第二个不等式：$-x＜0$，两边同乘$-1$不等号方向改变，得$x＞0$。
因此$x$的取值范围是$0＜x＜5$。
【答案】
(1)$y=-x+2$；(2)$y_1＜y_2$；(3)$0＜x＜5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握一次函数的基本性质，解不等式时注意乘负数时不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.8
