登录
10. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度$y(°C)$与加热时间$x$（分钟）满足一次函数关系. 右表记录了实验中的部分数据，则加热18分钟时水的温度是(
A.$64°C$
B.$66°C$
C.$68°C$
D.$69°C$
D
)A.$64°C$
B.$66°C$
C.$68°C$
D.$69°C$
答案
10.D
解析
【分析】
题目明确水沸腾前温度y与加热时间x满足一次函数关系，解题思路为：首先用待定系数法，选取表格中两组已知的x、y值求出一次函数解析式，再将x=18代入解析式计算，即可得到对应温度，求出解析式后可代入第三组数据验证正确性，避免计算错误。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=6,y=33\\x=10,y=45\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}6k + b = 33 \\10k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=12$，解得$k=3$。
将$k=3$代入$6k + b = 33$，得$18 + b = 33$，解得$b=15$。
因此函数解析式为$y=3x + 15$。
验证：当$x=15$时，$y=3×15 +15=60$，与表格数据一致，解析式正确。
当$x=18$时，$y=3×18 +15=54+15=69$。
【答案】D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理实验场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，计算完成后可通过第三组已知数据验证解析式是否正确，降低失误概率。
【难度系数】
0.8
题目明确水沸腾前温度y与加热时间x满足一次函数关系，解题思路为：首先用待定系数法，选取表格中两组已知的x、y值求出一次函数解析式，再将x=18代入解析式计算，即可得到对应温度，求出解析式后可代入第三组数据验证正确性，避免计算错误。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=6,y=33\\x=10,y=45\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}6k + b = 33 \\10k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=12$，解得$k=3$。
将$k=3$代入$6k + b = 33$，得$18 + b = 33$，解得$b=15$。
因此函数解析式为$y=3x + 15$。
验证：当$x=15$时，$y=3×15 +15=60$，与表格数据一致，解析式正确。
当$x=18$时，$y=3×18 +15=54+15=69$。
【答案】D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理实验场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，计算完成后可通过第三组已知数据验证解析式是否正确，降低失误概率。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示，在平面直角坐标系中，正比例函数$y=-2x$的图象与一次函数$y=kx+2$（$k$为常数，$k≠0$）的图象交于点$A(a,4)$，则关于$x$的一元一次不等式$-2x＞kx+2$的解集是（
A.$x＜-2$
B.$x＞-2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
A
）A.$x＜-2$
B.$x＞-2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
11.A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用点A在正比例函数图象上的特征，将点A的纵坐标代入正比例函数解析式，求出点A的横坐标a；第二步，理解一元一次不等式$-2x＞kx+2$的几何意义，即正比例函数$y=-2x$的图象位于一次函数$y=kx+2$图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点坐标和图象走势即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标
已知点$A(a,4)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，将$y=4$代入$y=-2x$可得：
$4=-2a$，解得$a=-2$，即点A的坐标为$(-2,4)$。
2. 结合图象判断不等式解集
不等式$-2x＞kx+2$的含义是：同一x值下，正比例函数$y=-2x$的函数值大于一次函数$y=kx+2$的函数值，对应图象上为$y=-2x$的图象在$y=kx+2$图象上方的区域。
由图象可知，两函数交于点$A(-2,4)$，在点A左侧即$x＜-2$时，$y=-2x$的图象在$y=kx+2$图象上方，满足$-2x＞kx+2$。
因此不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数与一元一次不等式
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 正比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的常规题型，核心考查数形结合思想，将抽象的不等式求解转化为直观的函数图象上下位置判断，先求出交点坐标是解题的关键前提。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，利用点A在正比例函数图象上的特征，将点A的纵坐标代入正比例函数解析式，求出点A的横坐标a；第二步，理解一元一次不等式$-2x＞kx+2$的几何意义，即正比例函数$y=-2x$的图象位于一次函数$y=kx+2$图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点坐标和图象走势即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标
已知点$A(a,4)$在正比例函数$y=-2x$的图象上，将$y=4$代入$y=-2x$可得：
$4=-2a$，解得$a=-2$，即点A的坐标为$(-2,4)$。
2. 结合图象判断不等式解集
不等式$-2x＞kx+2$的含义是：同一x值下，正比例函数$y=-2x$的函数值大于一次函数$y=kx+2$的函数值，对应图象上为$y=-2x$的图象在$y=kx+2$图象上方的区域。
由图象可知，两函数交于点$A(-2,4)$，在点A左侧即$x＜-2$时，$y=-2x$的图象在$y=kx+2$图象上方，满足$-2x＞kx+2$。
因此不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数与一元一次不等式
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 正比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的常规题型，核心考查数形结合思想，将抽象的不等式求解转化为直观的函数图象上下位置判断，先求出交点坐标是解题的关键前提。
【难度系数】
0.7
12. 某款电动汽车车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注. 其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低. 如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率$y$（电池含电率$=\frac{电池中的电量}{电池的容量} × 100\%$）随充电时间$x$（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（
A.本次充电持续时间是120分钟
B.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
C.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
D.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
C
）A.本次充电持续时间是120分钟
B.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
C.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
D.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
答案
12.C
解析
【分析】
本题是函数图像信息类题目，首先明确横坐标x表示充电时间（单位：分钟），纵坐标y表示电池含电率。解题时只需将每个选项的描述与图像对应信息逐一比对，结合简单的百分数计算即可判断正误，最终选出错误的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 由图像可知，充电结束时对应横坐标x=120分钟，即本次充电持续时间是120分钟，该选项说法正确，不符合题意；
B. 充电开始时即x=0时，对应y=10%，说明本次充电开始时汽车电池仅剩10%的电量，该选项说法正确，不符合题意；
C. 从无电到充满电耗电70千瓦时，即电池总容量对应70千瓦时。本次充电从含电率10%到90%，实际充电的电量占比为90%-10%=80%，因此本次充电耗电量为$70×80\%=56$千瓦时，不是63千瓦时，该选项说法错误，符合题意；
D. 由图像可知，x=40分钟时，对应的y=80%，即充电40分钟时电池含电率达到80%，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像信息提取，百分数实际应用
【点评】
本题结合电动汽车充电的生活场景出题，需要学生准确读取图像的关键节点信息，计算时要注意初始电量的存在，避免直接用最终含电率计算耗电量的错误。
【难度系数】
0.7
本题是函数图像信息类题目，首先明确横坐标x表示充电时间（单位：分钟），纵坐标y表示电池含电率。解题时只需将每个选项的描述与图像对应信息逐一比对，结合简单的百分数计算即可判断正误，最终选出错误的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 由图像可知，充电结束时对应横坐标x=120分钟，即本次充电持续时间是120分钟，该选项说法正确，不符合题意；
B. 充电开始时即x=0时，对应y=10%，说明本次充电开始时汽车电池仅剩10%的电量，该选项说法正确，不符合题意；
C. 从无电到充满电耗电70千瓦时，即电池总容量对应70千瓦时。本次充电从含电率10%到90%，实际充电的电量占比为90%-10%=80%，因此本次充电耗电量为$70×80\%=56$千瓦时，不是63千瓦时，该选项说法错误，符合题意；
D. 由图像可知，x=40分钟时，对应的y=80%，即充电40分钟时电池含电率达到80%，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像信息提取，百分数实际应用
【点评】
本题结合电动汽车充电的生活场景出题，需要学生准确读取图像的关键节点信息，计算时要注意初始电量的存在，避免直接用最终含电率计算耗电量的错误。
【难度系数】
0.7
13. 在函数$y=\frac{\sqrt{x-5}}{x+3}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≥5$
。答案
13.$x≥5$
解析
【分析】
要确定函数中自变量x的取值范围，需要结合函数中含有的运算类型分析限制条件：首先，函数分子是二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数才有意义；其次，函数是分式形式，根据分式的性质，分母不能为0才有意义。我们需要分别列出这两个条件对应的不等式，求解后取它们的公共解集，就是自变量x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-5}}{x+3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x-5≥0$，解得$x≥5$；
2. 分式的分母不为0：$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
由于$x≥5$已经满足$x≠-3$的要求，因此两个条件的公共解集为$x≥5$。
【答案】
$x≥5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的常规题型，解题关键是准确识别函数中包含的运算对应的限制条件，注意最终取值范围要同时满足所有限制条件，取各不等式解集的公共部分。
【难度系数】
0.85
要确定函数中自变量x的取值范围，需要结合函数中含有的运算类型分析限制条件：首先，函数分子是二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数才有意义；其次，函数是分式形式，根据分式的性质，分母不能为0才有意义。我们需要分别列出这两个条件对应的不等式，求解后取它们的公共解集，就是自变量x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-5}}{x+3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x-5≥0$，解得$x≥5$；
2. 分式的分母不为0：$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
由于$x≥5$已经满足$x≠-3$的要求，因此两个条件的公共解集为$x≥5$。
【答案】
$x≥5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的常规题型，解题关键是准确识别函数中包含的运算对应的限制条件，注意最终取值范围要同时满足所有限制条件，取各不等式解集的公共部分。
【难度系数】
0.85
14.已知一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，当$1≤ x≤4$时，y的最大值是
$\frac{3}{2}$
，y的最小值是$0$
。答案
14.$\frac{3}{2}$，$0$
解析
【分析】
解题前先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题首先观察一次函数的$k$值，判断出函数的增减性，再结合给定的$x$的取值范围，确定$y$取最大值和最小值时对应的$x$值，最后代入函数解析式计算即可。
【解析】
对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，其中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤4$：
1. 当$x$取最小值1时，$y$取得最大值，代入解析式得：
$y_{max}=-\frac{1}{2}×1 + 2 = \frac{3}{2}$
2. 当$x$取最大值4时，$y$取得最小值，代入解析式得：
$y_{min}=-\frac{1}{2}×4 + 2 = 0$
【答案】
$\frac{3}{2}$，$0$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数代入求值
【点评】
本题考查一次函数性质的应用，解题的核心是根据$k$的正负准确判断函数的增减性，再结合自变量的取值范围求解最值，掌握一次函数的增减性规律是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题首先观察一次函数的$k$值，判断出函数的增减性，再结合给定的$x$的取值范围，确定$y$取最大值和最小值时对应的$x$值，最后代入函数解析式计算即可。
【解析】
对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，其中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤4$：
1. 当$x$取最小值1时，$y$取得最大值，代入解析式得：
$y_{max}=-\frac{1}{2}×1 + 2 = \frac{3}{2}$
2. 当$x$取最大值4时，$y$取得最小值，代入解析式得：
$y_{min}=-\frac{1}{2}×4 + 2 = 0$
【答案】
$\frac{3}{2}$，$0$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数代入求值
【点评】
本题考查一次函数性质的应用，解题的核心是根据$k$的正负准确判断函数的增减性，再结合自变量的取值范围求解最值，掌握一次函数的增减性规律是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
15.已知直线$y=-x+2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，$P$是$x$轴正半轴上的一点，连接$PB$.当$△ APB$的面积等于$4$时，直线$PB$的表达式为
$y=-\frac{1}{3}x+2$
.答案
15.$y=-\frac{1}{3}x+2$
解析
【分析】
解题时先从已知直线AB的表达式入手，先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标；再观察△APB的特征，它的底边AP在x轴上，高为点B到x轴的距离（即OB的长度），结合已知的面积可算出AP的长度；再根据P在x轴正半轴的条件确定P点的坐标；最后用待定系数法，代入B、P两点坐标即可求出直线PB的表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于直线$y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，故点A坐标为$(2,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，故点B坐标为$(0,2)$，即$OB=2$。
2. 求点P的坐标：
设点P坐标为$(t,0)$（$t＞0$，因P在x轴正半轴），△APB的面积为4，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，此处底为$AP$，高为$OB=2$，代入得：
$\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$。
因A点坐标为$(2,0)$，故$AP=|t-2|=4$，解得$t=6$或$t=-2$，又$t＞0$，故舍去$t=-2$，即点P坐标为$(6,0)$。
3. 求直线PB的表达式：
设直线PB的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,2)$代入得$b=2$；再将$P(6,0)$代入得：
$0=6k+2$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
故直线PB的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+2$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+2$
【知识点】
一次函数交点求法；三角形面积计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，解题核心是先利用面积条件确定未知点P的坐标，要注意题干中P在x轴正半轴的限制条件，避免出现多余错解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知直线AB的表达式入手，先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标；再观察△APB的特征，它的底边AP在x轴上，高为点B到x轴的距离（即OB的长度），结合已知的面积可算出AP的长度；再根据P在x轴正半轴的条件确定P点的坐标；最后用待定系数法，代入B、P两点坐标即可求出直线PB的表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于直线$y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，故点A坐标为$(2,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，故点B坐标为$(0,2)$，即$OB=2$。
2. 求点P的坐标：
设点P坐标为$(t,0)$（$t＞0$，因P在x轴正半轴），△APB的面积为4，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，此处底为$AP$，高为$OB=2$，代入得：
$\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$。
因A点坐标为$(2,0)$，故$AP=|t-2|=4$，解得$t=6$或$t=-2$，又$t＞0$，故舍去$t=-2$，即点P坐标为$(6,0)$。
3. 求直线PB的表达式：
设直线PB的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,2)$代入得$b=2$；再将$P(6,0)$代入得：
$0=6k+2$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
故直线PB的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+2$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+2$
【知识点】
一次函数交点求法；三角形面积计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，解题核心是先利用面积条件确定未知点P的坐标，要注意题干中P在x轴正半轴的限制条件，避免出现多余错解。
【难度系数】
0.7
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$相交于点A，则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+a, \\ y=-3x+b\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
16.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二元一次方程组和一次函数的对应关系：两个一次函数的交点坐标同时满足这两个函数的解析式，因此交点的横、纵坐标就是对应二元一次方程组的解。接下来我们只需从图中读出两条直线交点A的坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
∵ 直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$的交点坐标为$A(1,3)$，
且交点坐标同时满足两个直线的解析式，
∴ 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+a, \\ y=-3x+b\end{cases}$的解就是交点A的横、纵坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数交点性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是理解一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，不需要复杂计算，直接读取图像信息即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确二元一次方程组和一次函数的对应关系：两个一次函数的交点坐标同时满足这两个函数的解析式，因此交点的横、纵坐标就是对应二元一次方程组的解。接下来我们只需从图中读出两条直线交点A的坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
∵ 直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$的交点坐标为$A(1,3)$，
且交点坐标同时满足两个直线的解析式，
∴ 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+a, \\ y=-3x+b\end{cases}$的解就是交点A的横、纵坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数交点性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是理解一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，不需要复杂计算，直接读取图像信息即可得到结果。
【难度系数】
0.9
