1.(2025·苏州期末)下列方程中,一定是一元二次方程的是 （）

A.$x^2 + y = 1$
B.$x^2 - \frac{1}{x} = 1$
C.$x^2 - 2 = 0$
D.$x^2 + x = x^2 + 1$

1.C

2.将一元二次方程$2x^2 - 3x +1=0$化为$(x+a)^2 =b$的形式，正确的是（）

A.$(x-\dfrac{3}{2})^2=16$
B.$2(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
C.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$

2.C

3.(2025·扬州一模)已知关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$.若$(x_1+1)·(x_2+1)=3$,则$m$的值为（）

A.$-3$
B.$1$
C.$-3$或$1$
D.$-1$或$3$

3.A

4.(2025·苏州高新区期末)如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2000，那么方程$a(x+1)^2+b(x+1)=5$必有一个根为。

4.1999

5.(2025·南通如皋期末)设$m,n$分别为方程$x^2 + 2x - 2025 = 0$的两个实数根，则$m^2 - 3m -5n =$.

5.2035

6.代数式$m^2 + 6m + 10$的最小值为。

6.1

三、解答题
7. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(3-x)^2=5$；
(2)$x^2+2\sqrt{3}x+3=0$；
(3)$x(x-1)=3-3x$。

7.解:(1)原方程可变形为$(x-3)^2=5$,
即$x-3=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$.
(2)原方程可变形为$(x+\sqrt{3})^2=0,\therefore x_1=x_2=-\sqrt{3}$.
(3)原方程可变形为$x(x-1)+3(x-1)=0$,
即$(x-1)·(x+3)=0,\therefore x-1=0$或$x+3=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=-3$.

8.已知关于$x$的方程$x^2-(2k+1)x+4(k-\frac{1}{2})=0.$
(1)求证:无论$k$取何值,此方程总有实数根;
(2)若$x=1$是这个方程的一个根,求$k$的值和它的另一个根;
(3)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=4$,另外两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长.

8.(1)证明: $\because b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4 × 1 × 4(k-\frac{1}{2})=4(k-\frac{3}{2})^2≥0,\therefore$ 方程有实数根.
即无论$k$取何值,此方程总有实数根.
(2)解:若$x=1$是这个方程的一个根,
则$1-(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$,解得$k=1$,
$\therefore$ 关于$x$的方程为$x^2-3x+2=0$,解得$x_1=1,x_2=2$,
$\therefore$ 方程的另一个根是$x=2$.
(3)解:当$a$为底边长时,$b,c$为腰长,且$b=c$,则
$4(k-\frac{3}{2})^2=0$,解得$k=\frac{3}{2}$.
此时原方程化为$x^2-4x+4=0$,
解得$x_1=x_2=2$,即$b=c=2$.
此时三边长分别为4,2,2,不能构成三角形;
当$a,b$为腰长时,$c$为底边长,或$a,c$为腰长,$b$为底边长,此时$x=4$是方程的根,
即$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$,解得$k=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 关于$x$的方程为$x^2-6x+8=0$,
解得$x_1=2,x_2=4,\therefore c=2$或$b=2$,
$\therefore$ 等腰三角形$ABC$的周长为$4+4+2=10$.